大学物理课件

1、大学物理大学物理 （college physics） 云南大学信息学院云南大学信息学院 宗容宗容 第一章第一章 质点的运动质点的运动 第一部分第一部分 力学力学 1什么是力学什么是力学 机械运动机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置 的变化。的变化。 机械运动的机械运动的绝对绝对性性运动本是绝对的运动本是绝对的 机械运动的机械运动的相对相对性性运动的描述是相对的运动的描述是相对的 力学力学研究机械运动及其规律的物理学分支。研究机械运动及其规律的物理学分支。 2力学的分类力学的分类 根据研究根据研究内容内容分类分类 运动学运动学（kinema

2、ticskinematics）研究物体运动的规律研究物体运动的规律 动力学动力学（dynamicsdynamics） 研究物体运动的原因研究物体运动的原因 静力学静力学（staticsstatics） 研究物体平衡时的规律研究物体平衡时的规律 根据研究根据研究对象对象分类分类 质点力学质点力学研究对象为质点研究对象为质点 刚体力学刚体力学研究对象为刚体研究对象为刚体 3数学工具数学工具微积分和矢量微积分和矢量 力学的总框架力学的总框架 力学力学 运动学运动学 动力学动力学 牛顿牛顿 定律定律 守恒守恒 定律定律 动量守恒定律动量守恒定律 机械能守恒定律机械能守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定

3、律 经典力学经典力学 描述物体的运动描述物体的运动 状态状态运动学运动学 寻求物体具有某种运动寻求物体具有某种运动 状态的原因状态的原因动力学动力学 万万 有有 引引 力力 定定 律律 质点质点 运动运动 学学 刚体刚体 运动运动 学学 静力学静力学动力学动力学 质点质点 力平力平 衡衡 刚体刚体 力矩力矩 平衡平衡 质点质点 动力动力 学学 刚体刚体 动力动力 学学 内容结构内容结构 第一章第一章 质点的运动质点的运动 运动学运动学研究物体位置随时间变化的规律研究物体位置随时间变化的规律 主要内容有：主要内容有： 三个概念：三个概念： 参考系、坐标系、质点参考系、坐标系、质点 四个物理量：四

4、个物理量： 位置矢量、位移、速度、加速度位置矢量、位移、速度、加速度 四种运动：四种运动： 直线运动、曲线运动、斜抛运动、直线运动、曲线运动、斜抛运动、 圆周运动圆周运动 动力学动力学研究物体之间的相互作用，以及研究物体之间的相互作用，以及 这种相互作用所引起的物体的运动状态发生这种相互作用所引起的物体的运动状态发生 变化的规律。变化的规律。 牛顿运动定律牛顿运动定律质点动力学的基础。质点动力学的基础。 物理量和量纲物理量和量纲 引入或定义一个物理引入或定义一个物理 量，必须：量，必须： 规定一种测量这个物理量规定一种测量这个物理量 的方法或标准的方法或标准 规定一个度量单位规定一个度量单位

5、国际上规定国际上规定7 7个基本物个基本物 理量理量国际单位制国际单位制 其它量的的单位均可其它量的的单位均可 由基本单位导出由基本单位导出 量的名称量的名称 单位名单位名 称称 单位单位 符号符号 长度长度米米m m 质量质量千克千克kgkg 时间时间秒秒s s 电流电流安安 培培 a a 热力学温度热力学温度 开开 尔尔 文文 k k 物质的量物质的量摩摩 尔尔 molmol 发光强度发光强度 坎坎 德德 拉拉 cdcd 国际单位制（国际单位制（si） 量纲量纲 sqp tmlq dim 只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接；只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接； 量纲可以

6、用来帮助记忆与推导公式。量纲可以用来帮助记忆与推导公式。 物理量分类物理量分类 标量标量计算遵从代数运算定则计算遵从代数运算定则 1.1.只有正值，如质量、速率、动能、温度和频率只有正值，如质量、速率、动能、温度和频率 2.2.既有正值，也有负值，如电流强度、电动势、既有正值，也有负值，如电流强度、电动势、 功和电量功和电量 矢量矢量计算遵从平行四边形定则计算遵从平行四边形定则 既有大小又有方向，如：力、位移、电场强度和既有大小又有方向，如：力、位移、电场强度和 能流密度能流密度 张量张量计算遵从矩阵运算法则计算遵从矩阵运算法则 在一定坐标系下由若干个数值组成矩阵来表示的在一定坐标系下由若干个

7、数值组成矩阵来表示的 物理量，如各向异性的电介质的极化率、铁磁值物理量，如各向异性的电介质的极化率、铁磁值 的磁化率和弹性体的应力等的磁化率和弹性体的应力等 第一章第一章 质点的运动质点的运动 （6学时学时） 1-1 质点和参考系质点和参考系 一、质点一、质点 二、参考系二、参考系 1-2 描述质点运动的坐描述质点运动的坐 标系标系 一、直角坐标系一、直角坐标系 二、平面极坐标系二、平面极坐标系 三、自然坐标系三、自然坐标系 1-3 描述质点运动的物描述质点运动的物 理量理量 一、时刻和时间一、时刻和时间 二、位置矢量二、位置矢量 三、位移和路程三、位移和路程 四、速度与速率四、速度与速率 五

8、、加速度五、加速度 1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律 （自学）（自学） 一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律 二、牛顿第二定律二、牛顿第二定律 三、牛顿第三定律三、牛顿第三定律 1-5 力学中常见的力力学中常见的力 一、万有引力一、万有引力 二、弹性力二、弹性力 三、摩擦力三、摩擦力 1-6 伽利略相对性原伽利略相对性原 理理 一、伽利略相对性原一、伽利略相对性原 理理 二、伽利略变换二、伽利略变换 三、惯性力三、惯性力 （particle，mass point） 质点的引入质点的引入 任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分的位置变任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分的位置变 化是不

9、同的，物体的运动情况是非常复杂的。化是不同的，物体的运动情况是非常复杂的。 质点的概念质点的概念 当物体的当物体的大小大小和和形状形状忽略不计时，可以把物体当做只有质量忽略不计时，可以把物体当做只有质量 没有形状和大小的点没有形状和大小的点质点。质点。 说明说明 u质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个 理想化的力学模型。理想化的力学模型。而不真实存在（物理中有很多理想模型）而不真实存在（物理中有很多理想模型） u质点突出了物体两个基本性质质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量）具有质量 2）占有位置）占有位置 1-1 1-1 质

10、点和参考系质点和参考系 一、质点一、质点 理想物理模型理想物理模型 1.质点模型质点模型：当物体的线度：当物体的线度(大小和几何形状大小和几何形状)对所研究物体运对所研究物体运 动状态的影响可以忽略不计时，动状态的影响可以忽略不计时， 用一个集中了物体所有质量用一个集中了物体所有质量 的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。 2.刚体模型刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不 计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体 u一个物体能否当做质点，是有条件的、

11、相对的，取决于研一个物体能否当做质点，是有条件的、相对的，取决于研 究问题的性质。究问题的性质。 例如：地球绕太阳公转：地球可当做质点例如：地球绕太阳公转：地球可当做质点; 地球自转地球自转 ：地球不可当：地球不可当 做质点做质点 附：地球公转轨道平均半径：附：地球公转轨道平均半径：1.5108 km，地球半径地球半径 ： 6370 km 两者之比两者之比 ：2.33104 u当一个物体不能当作质点时，可以把整个物体看作是由许当一个物体不能当作质点时，可以把整个物体看作是由许 多质点组成的多质点组成的质点系质点系（system of particlesystem of particle）。分析

12、这些质）。分析这些质 点的运动，就可以弄清楚整个物体的运动。因此研究质点的点的运动，就可以弄清楚整个物体的运动。因此研究质点的 运动是研究实际物体复杂运动的基础。运动是研究实际物体复杂运动的基础。 二、参考系二、参考系 （reference system） 运动的绝对性与相对性运动的绝对性与相对性 运动的绝对性：运动的绝对性： 所有的物体都在不停地运所有的物体都在不停地运 动，没有绝对不动的物体动，没有绝对不动的物体 运动的相对性：运动的相对性： 描述物体的运动或静止总是相描述物体的运动或静止总是相 对于某个选定的物体而言的对于某个选定的物体而言的 演示演示 参考系的定义参考系的定义: : 为

13、描述物体的运动而选择的标准物称为参考系为描述物体的运动而选择的标准物称为参考系 说明说明 参考系的选择是任意的，主参考系的选择是任意的，主 要根据问题的性质和研究方要根据问题的性质和研究方 便而定。便而定。但在动力学中，就但在动力学中，就 只能选择只能选择惯性参考系惯性参考系。 在描述物体的运动时，必须在描述物体的运动时，必须 指明参考系。指明参考系。 若不指明参考系，则认为以若不指明参考系，则认为以 地面为参考系。地面为参考系。 选不同的参照系，运动的描选不同的参照系，运动的描 述是不同的。述是不同的。 以地球为参照系以地球为参照系 地球地球 月亮月亮 以太阳为参照系以太阳为参照系 太阳太阳

14、 月亮月亮 地球轨道地球轨道 参照物与参照系参照物与参照系 参照物：参照物：被选取、且能用来描述物体运动状况的物体被选取、且能用来描述物体运动状况的物体 参照系：参照系：固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置 和方向而引入的数学坐标系。和方向而引入的数学坐标系。 参照物与参照系的关系：参照物与参照系的关系：参照系是参照物的数学抽象，必须参照系是参照物的数学抽象，必须 能够建立坐标系的物体才能充当参照物。能够建立坐标系的物体才能充当参照物。 引入坐标系的必要性引入坐标系的必要性 定量地描述物体相对于参照系的运动。定量地描述物体相对于参照系的运动。

15、 坐标系的原点一般选在参考系上，并取通过坐标系的原点一般选在参考系上，并取通过 原点标有单位长度的有向直线作为坐标轴。原点标有单位长度的有向直线作为坐标轴。 物理学中常用的坐标系物理学中常用的坐标系 直角坐标系直角坐标系（rectangular coordination） 另外还有的坐标系另外还有的坐标系 极坐标系（极坐标系（polar coordinationpolar coordination） 自然坐标系（自然坐标系（natural coordinationnatural coordination） 柱坐标系（柱坐标系（cylindrical coordinationcylindrica

16、l coordination） 球坐标系（球坐标系（spherical coordinationspherical coordination） x y z o 说明说明 坐标系的选择是任意的，主要由研究问题的方便而定。坐标系的选择是任意的，主要由研究问题的方便而定。 坐标系的选择不同，描述物体运动的方程是不同的。坐标系的选择不同，描述物体运动的方程是不同的。 1-2 1-2 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系 一、直角坐标系一、直角坐标系 在参考系上取一固定点作为坐在参考系上取一固定点作为坐 标原点标原点o 过点过点o画三条相互垂直的带有画三条相互垂直的带有 刻度的坐标轴（刻度的坐标轴（

17、x轴，轴，y轴，轴，z 轴），就构成了直角坐标系。轴），就构成了直角坐标系。 通常采用的直角坐标系属通常采用的直角坐标系属右旋右旋 系系，即但当右手四指由，即但当右手四指由x轴方轴方 向转向向转向y轴方向时，拇指方向轴方向时，拇指方向 为为z轴的正方向。轴的正方向。 描述坐标系中质点描述坐标系中质点p的位置，的位置， 可用（可用（x,y,z）三个量来描述。）三个量来描述。 x z y p(x,y,z) o 直角坐标系直角坐标系 二、平面极坐标系二、平面极坐标系 在参考系上取一固定点在参考系上取一固定点o作为作为极点极点，过，过 极点极点o作一条固定射线作一条固定射线oa为为极轴极轴。过极。过极

18、 轴作平面，假定质点在该平面内运动。轴作平面，假定质点在该平面内运动。 在某时刻质点处于点在某时刻质点处于点p，连线，连线op称为点称为点 p的的极径极径，用，用表示，自表示，自oa到到op所转过所转过 的角的角为点为点p的的极角极角。 a p(,) o 平面极坐标系平面极坐标系 利用上述关系，可以进行两种坐标系之间的转换。利用上述关系，可以进行两种坐标系之间的转换。 在平面极坐标系中，也定义了两个单位矢量，及径向单位矢在平面极坐标系中，也定义了两个单位矢量，及径向单位矢 量和横向单位矢量。量和横向单位矢量。径向单位矢量径向单位矢量沿极径沿极径增大的方向，增大的方向，横横 向单位矢量向单位矢量

19、与径向单位矢量垂直，沿极角与径向单位矢量垂直，沿极角增大的方向增大的方向 。 x y yx sinycosx arctan; ; 22 ； 描述坐标系中质点描述坐标系中质点p的位置，可用（的位置，可用（,）两个量来描述）两个量来描述 显然，平面极坐标系与二维直角坐标系之间的变换关系可显然，平面极坐标系与二维直角坐标系之间的变换关系可 以表示为：以表示为： 三、自然坐标系三、自然坐标系 该坐标系也定义两个随质点位置的变化而改变方向单位矢该坐标系也定义两个随质点位置的变化而改变方向单位矢 量，一个指向质点运动方向的量，一个指向质点运动方向的切向单位矢量切向单位矢量，用，用表示，另表示，另 一个是垂

20、直于切向并指向轨道凹侧的一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量法向单位矢量，用，用n 表示。他们也随质点位置的不同而不同。表示。他们也随质点位置的不同而不同。 在自然坐标系中表示质点速度，非常简单，因为无论质点在自然坐标系中表示质点速度，非常简单，因为无论质点 在什么位置上速度都只有切向分量，无法向分量。在什么位置上速度都只有切向分量，无法向分量。 自然坐标系不仅适用于平面运动，也可用于三维空间运动。自然坐标系不仅适用于平面运动，也可用于三维空间运动。 不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量。不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量。 n o 自然坐标系自然坐标系 沿着质点的运动轨

21、道所建立的坐标系称沿着质点的运动轨道所建立的坐标系称 为自然坐标系。为自然坐标系。 在质点运动轨道上任取一点作为坐标原在质点运动轨道上任取一点作为坐标原 点点o，质点在任意时刻的位置都可用它，质点在任意时刻的位置都可用它 到坐标原点到坐标原点o的轨迹长度的轨迹长度s来表示。来表示。 四、柱坐标系四、柱坐标系 在底面上取平面极坐标系，过极点作在底面上取平面极坐标系，过极点作 垂直于平面的垂直于平面的z轴，构成柱坐标系。轴，构成柱坐标系。 描述坐标系中质点描述坐标系中质点p的位置，可用的位置，可用 （,z）三个量来描述。）三个量来描述。 p(,z) z oa 柱坐标系柱坐标系 基本概念：基本概念：

22、一个过程对应的时间间隔称时间，某一个过程对应的时间间隔称时间，某 一瞬时称时刻。一瞬时称时刻。 时间时间时间间隔时间间隔 时刻时刻某一瞬时某一瞬时 说明说明 在一定坐标系中考察质点运动时，质点的位置是与时刻在一定坐标系中考察质点运动时，质点的位置是与时刻 相对应的。相对应的。 质点运动所经过的路程是与时间相对应的质点运动所经过的路程是与时间相对应的 时间是标量，单位：秒（时间是标量，单位：秒（s） 1-3 1-3 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 一、时间与时刻一、时间与时刻 二、位置矢量、运动方程、轨迹方程二、位置矢量、运动方程、轨迹方程 1、位置矢量、位置矢量（position v

23、ector） 基本概念基本概念 从原点从原点o到质点所在的位置到质点所在的位置p点的点的 有向线段，叫做有向线段，叫做位置矢量位置矢量或或位矢位矢 kzj yi xtrr )( 222 zyxrr r z cos r y cos r x cos 说明说明 位置矢量是矢量：有大小和方向；位置矢量是矢量：有大小和方向； 具有瞬时性；具有瞬时性； 具有相对性；具有相对性； 单位：米（单位：米（m） z o x y p(x,y,z) k j r i 方向方向由方向余弦决定由方向余弦决定 r=xi+yj+zk(1-1) o x y z p(x,y,z) x y z a b c r , i xoa , j

24、 yab kzbp bpaboar 222 zyxrr 位置矢量位置矢量 r 的的大小大小 (即即质点质点p到原点到原点o的距离的距离)为：为： a c a+b+c b bac =? 单位矢量单位矢量: i、j、k分别分别沿沿 x, y, z 轴的正方向。轴的正方向。 1kji 式中式中 , , 分别表示分别表示 r 与与x,y,z轴正方向之间的夹角轴正方向之间的夹角(取取 小于小于180的值的值), 它们满足以下关它们满足以下关 系式系式: cos2 + cos2 + cos2 =1 故三个方向余弦中只有两个是独立的。故三个方向余弦中只有两个是独立的。 位置矢量的位置矢量的方向方向,可由其可

25、由其方向余弦方向余弦确定确定: cos =x/r,cos =y/r,cos =z/r o x y z p(x,y,z) x y z a b c r 在在 国际单位制国际单位制(si)中中,位置矢位置矢 量大小的单位为米量大小的单位为米(m),与长度与长度 单位相同。单位相同。 在平面极坐标系中，极点在平面极坐标系中，极点p的位置矢量为：的位置矢量为： )()()(tettr )(te 是极径方向的单位矢量，长度为是极径方向的单位矢量，长度为1，沿，沿 增大的方向。增大的方向。随着随着p点运动，极角点运动，极角 在改变，单位矢量也在改变，它是时在改变，单位矢量也在改变，它是时 间的函数。间的函数

26、。 a p(,) o 2、运动方程、运动方程 质点运动时，它相对坐标原点质点运动时，它相对坐标原点o的位置矢量的位置矢量r是随时间变是随时间变 化的。因此，化的。因此，r是时间的函数是时间的函数 ktzjtyitx trr )()()( )( )( )( )( tzz tyy txx 运动学的重要任务之一，就运动学的重要任务之一，就 是找出各种具体运动所遵循是找出各种具体运动所遵循 的运动方程。的运动方程。 x z y z( t ) y( t ) x( t ) r( t ) p( t ) 0 矢量式矢量式 标量式标量式 运动方程不仅给出了质点运运动方程不仅给出了质点运 动的轨迹，也给出了质点在

27、动的轨迹，也给出了质点在 任意时刻所处的位置。任意时刻所处的位置。 运动方程一般写出矢量式运动方程一般写出矢量式 例例1、自由落体运动的运动方程为、自由落体运动的运动方程为 2 2 1 gty 例例2、平抛运动的运动方程、平抛运动的运动方程 2 0 2 1 gty tvx 2 2 0 2 x v g y 为轨迹方程为轨迹方程 3。轨迹方程。轨迹方程 质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为运动的轨运动的轨 迹迹。 即在运动方程的分量式中，即在运动方程的分量式中，消去消去时间时间 t 得得 f (x,y,z)=0 轨迹是直线：轨迹是直线：直线运动直线运动 轨迹是曲

28、线：轨迹是曲线：曲线运动曲线运动 从运动方程中消去从运动方程中消去 t , 得得 r t)cos( trx )sin( try jtritrtr )sin()cos()( 222 ryx 例例3：质点从如图所示位置开始做匀速圆周运动：质点从如图所示位置开始做匀速圆周运动 求：运动方程与轨道方程求：运动方程与轨道方程 解：运动方程：解：运动方程： 轨道方程：轨道方程： 定义定义 把由始点到终点的有向线段定把由始点到终点的有向线段定 义为质点的位移矢量，简称义为质点的位移矢量，简称位位 移。移。它是描述质点位置变化的它是描述质点位置变化的 物理量物理量。 计算计算 12 21 rrr rrr kz

29、zjyyixx kzjyixkzjyix rrr )()()( )()( 121212 111222 12 x y z o p1 1 r p2 2 r r 说明说明 位移是矢量；位移是矢量； 具有瞬时性；具有瞬时性； 具有相对性；具有相对性； 单位：米单位：米(m) 位移位移（displacement） r 三、位移和路程三、位移和路程 如图所示如图所示, ,质点沿曲线质点沿曲线c c运动，在时刻运动，在时刻t,t,质点位质点位 于于a a点点, , 而在时刻而在时刻t+t+ t t, ,质点到达质点到达b b点。点。 (1).由图可见，由图可见，位移是位置位移是位置 矢量矢量 r 在时间在时

30、间 t内内的增量的增量: 可见位移可通过位置矢可见位移可通过位置矢 量来计算。量来计算。 从起点从起点a a指向终点指向终点b b的有向线段的有向线段 ab=ab= r r, , 称为质称为质 点在时间点在时间 t t内的内的位移位移。而。而a a到到b b的路径长度的路径长度 s s, ,称为称为 路程路程。 )()(trttrr 1、位移和路程、位移和路程 r(t) r r(t+ t) z y o x b s a c 位移演示位移演示 对直线运动对直线运动(如沿如沿x轴运动轴运动)，位移为，位移为 通常可不必写为矢量，而直接把位移写为通常可不必写为矢量，而直接把位移写为 x = x2-x1

31、 注意注意：坐标的增量是位移坐标的增量是位移，而不是路程。，而不是路程。只有质只有质 点沿直线运动点沿直线运动, ,且不改变方向时且不改变方向时, ,两者的大小才相两者的大小才相 等。等。 (2).位移和路程是两个不同的概念位移和路程是两个不同的概念。 在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为时刻的位矢分别为r1和和 r2 ,则这段时间内的位移为则这段时间内的位移为 kzzjyyixxrr )()()( 12121212 r ixxrr )( 1212 r 位移位移代表代表位置变化位置变化，是，是矢量矢量，在图中，是有向线，在图中，是有向线 段段ab, 它的大小是它的大小

32、是| r , 即割线即割线ab的长度。的长度。 即使在直线运动中，如质即使在直线运动中，如质 点从点从a点到点到b点又折回点又折回c点点,显显 然位移和路程也截然不同然位移和路程也截然不同: 位移位移=ac路程路程=ab+bc a b 路程路程表示表示路径长度路径长度，是，是标量标量，它的大小是曲线弧，它的大小是曲线弧 ab的长度的长度 s 。在一般情况下。在一般情况下, s和和| r |并不相等并不相等 ba c 只有当只有当 t0时时,才有才有 |r | s 。即即 r(t) r r(t+ t) z y o x b s a c sr tt 00 limlim ab c 问题：问题：a. 什

33、么情形下物体路程与位移相等？什么情形下物体路程与位移相等？ b. 判断：判断： 物体在时间物体在时间t内路程为内路程为0，则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止 物体在时间物体在时间t内位移为内位移为0，则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止 a： 只有在质点作单向性直线运动时，位移的大小才等于路程只有在质点作单向性直线运动时，位移的大小才等于路程 b: 路程为路程为0 0，则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止 2、 位移与位置矢量位移与位置矢量 相同点：相同点： 都是矢量，都与参考系的选取有关都是矢量，都与参考系的选取有关 不同点：不同点： 位置矢量与参考点（坐标原

34、点）的选取位置矢量与参考点（坐标原点）的选取有关有关 位移与参考点的选取位移与参考点的选取无关无关 位置矢量是表示质点位置的，总与某一确定位置矢量是表示质点位置的，总与某一确定 时刻相对应，它是时刻相对应，它是瞬时量瞬时量； 位移矢量是表示质点位置变化的，总与某一位移矢量是表示质点位置变化的，总与某一 确定时间间隔相对应，它是确定时间间隔相对应，它是过程量过程量； rrr 和、3 如果质点在如果质点在t t时刻处于点时刻处于点a a，位置矢量为，位置矢量为r ra a, ,经过经过 t t时间到达时间到达b b，位置矢量变为，位置矢量变为r rb b，则质点的位移，则质点的位移 为：为： )(

35、)(trttrrrr ab a b c o ra rb r | |r| 或位移矢量的大小则表示位移矢量的模，而 的长度之差与始位置矢量 置矢量意义相同，都代表末位和 矢量的模或长度意义相同，都表示位置和 r r rrr rr a b 质点在时间质点在时间 t t内的内的平均速率平均速率: : 如图所示如图所示, ,质点在时刻质点在时刻t t到到t+t+ t t这段时间内的位这段时间内的位 移为移为 r, ,路径为路径为 s，于是我们定义，于是我们定义， 质点在时间质点在时间 t t内的内的平均速度平均速度: : t trttr t r )()( t s 即即: :平均速度平均速度为单位时间内为

36、单位时间内 的的位移位移; ;而而平均速率平均速率为单位为单位 时间内的时间内的路程。路程。 可见，平均速度和平均速率也是不同的概念。可见，平均速度和平均速率也是不同的概念。 r(t) r r(t+ t) z y o x b s a c 四、速度和速率四、速度和速率 又如，质点经时间又如，质点经时间t t绕半径绕半径r r 的圆周运动一圈，的圆周运动一圈， 为了确切描述质点在某一时刻运动的快慢和方向为了确切描述质点在某一时刻运动的快慢和方向, , 我们对上述定义式取极限我们对上述定义式取极限, ,就得就得: : 即使在直线运动中，如质点经时间即使在直线运动中，如质点经时间 t t从从a点到点到

37、b 点又折回点又折回c点点,显然显然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同: ba c 而平均速率为而平均速率为 t r t s 2 0 t r 则则平均速度平均速度为为 t bcab t ac (2)(2)矢量的导数矢量的导数= =矢量大小的导数矢量大小的导数+ +矢量方向的导数矢量方向的导数。 = ,即即速率速率= =速度的大小速度的大小 (1)(1)当当 t 0时，时， |r| s 例例: (a); dt dr (b); dt rd (c) dt rd 质点的质点的( (瞬时瞬时) )速度速度: : t r lim t0 dt rd 质点的质点的( (瞬时瞬时) )速率

38、速率: : lim t0 t s = dt ds 这表明这表明, ,质点在质点在t t时刻的时刻的速度速度 等于等于位置矢量位置矢量 对时对时 间的一阶导数间的一阶导数; ;而速率而速率 等于路程等于路程 s s 对时间的一阶对时间的一阶 导数。导数。 r t r lim t0 lim t0 t s = 速度与位置矢量关系速度与位置矢量关系 由速度定义知由速度定义知 dttvrd)( 故故: : dt rd t r lim t0 若求质点从若求质点从t t0 0到到t t时间内完成的位移，对上时间内完成的位移，对上 式积分，即式积分，即 t t r r dttvrdrrr 00 )( 0 速度

39、和速率的单位同为速度和速率的单位同为米米/ /秒秒( (m/s)/s)。 速度的大小也可由下式给出速度的大小也可由下式给出 dt dz dt dy dt dx zyx , 显然显然, ,速度在三个坐标轴上的分量分别速度在三个坐标轴上的分量分别 等于相应坐标对时间的一阶导数等于相应坐标对时间的一阶导数: : kji r dt dz dt dy dt dx dt d (3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中, , 222 zyx k zj yi xr 为了弄清楚其意义，如图所示：为了弄清楚其意义，如图所示： 式中式中,d,d /dt /dt是单位矢量是单位矢量d的方向随时间的变化率的方向随时间的变

40、化率 dt ed e dt d e dt d dt d t r )()( (4)(4)在平面极坐标系中在平面极坐标系中, , )()()(tettr 三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形，当t0时，时， 底边趋于与腰垂直，底边趋于与腰垂直， 的方向趋的方向趋 于极角增大的方向，引入该方向的于极角增大的方向，引入该方向的 单位矢量单位矢量，于是有，于是有 由于由于 1)()(ttete a a图为质点由图为质点由a a沿任意曲线沿任意曲线l l到达到达b,b,极角增量为极角增量为, , b b图为将单位矢量平移后的图图为将单位矢量平移后的图 e dt d e t e t e dt ed tt

41、 00 limlim evev e dt d e dt d dt ed e dt d e dt d dt d t r )()( 所以有：所以有： 质点沿直线运动，极角为常量质点沿直线运动，极角为常量 一般，速度的大小也可由下式给出一般，速度的大小也可由下式给出 22 22 dt d dt d 0, v dt d v 质点沿圆周运动，极径为常量质点沿圆周运动，极径为常量 dt d vv , 0 v dt ds dt d dt d v 圆周运动横向速度圆周运动横向速度 即切向速度即切向速度 在圆周运动引入在圆周运动引入角速度角速度概念，定义为：概念，定义为： dt d 则横向速度可表示为：则横向速

42、度可表示为： dt d v 线量和角量的关系线量和角量的关系 说明说明 u速度是速度是矢量矢量，有大小和方向，有大小和方向 匀速运动匀速运动：速度为恒量：速度为恒量 变速运动变速运动：速度为变量。：速度为变量。 其其方向方向是平均速度的极限方向，即沿运行轨道切线并指是平均速度的极限方向，即沿运行轨道切线并指 向质点前进的方向。向质点前进的方向。 a.即时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线运动情即时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线运动情 形下两者相等形下两者相等 b.平均速率不一定等于即时速率平均速率不一定等于即时速率 c.即时速率与即时速度的大小相等即时速率与即时速度的大小相等v t

43、 r t s v tt 00 limlim u速度具有速度具有瞬时性瞬时性；它反映了质点在某一瞬间或某一位置；它反映了质点在某一瞬间或某一位置 上运动的快慢和方向。注意与平均速度相区别。上运动的快慢和方向。注意与平均速度相区别。 u速度具有速度具有具有具有相对性相对性；它与参考系选择有关，当参考系；它与参考系选择有关，当参考系 变换了，速度的大小和方向也随着变化。变换了，速度的大小和方向也随着变化。 例：判断下列写法是否正确例：判断下列写法是否正确 dt ds va . dt rd vb . dt rd vc . dt rd vd . 矢量的导数矢量的导数=矢量大小的导数矢量大小的导数+矢量方

44、向的导数矢量方向的导数 标量的导数标量的导数=标量大小的导数标量大小的导数 解解 a正确正确，速率的定义式。，速率的定义式。 b正确正确，速率与速度大小相等。，速率与速度大小相等。 c正确正确，由，由b的数学运算变形可得到的数学运算变形可得到c。 d错误错误，位移的大小不等于路程，位移的大小不等于路程 222 2 222 222 )( )()()( zyx zyxzyx vvv dt dzdydx dt kdzjdyidx dt rd v vvvkvjviv dt kdzjdyidx dt rd v dt zyxd dt kzj yi xd dt rd v 222 r1 r2 |dr| d|r

45、| dr, |dr| jtritrtr )sin()cos()( 作为特例，讨论例子：作为特例，讨论例子： 0 22 dt dr dt yxd dt j yi xd dt rd v rvvjtritr dt rd v )cos()sin( 可见，两种表达式结果不同；几何意义的区别如图可见，两种表达式结果不同；几何意义的区别如图 一般，质点运动的速度是在变化的，包括一般，质点运动的速度是在变化的，包括 速度大小（速率）和方向的变化速度大小（速率）和方向的变化 若运动时若运动时 速度大小随速度大小随t变化，而方向不变变化，而方向不变变速直线变速直线 运动运动 速度大小恒定，而方向变化速度大小恒定，

46、而方向变化匀速曲线运动匀速曲线运动 速度大小、方向都随速度大小、方向都随t变化变化任意曲线运动任意曲线运动 为描述速度随时间的变化，引入为描述速度随时间的变化，引入加速度加速度物物 理量理量 四、加速度四、加速度 为了描述速度随时间的为了描述速度随时间的 变化情况，我们定义：质变化情况，我们定义：质 点的点的平均加速度平均加速度 则在时间则在时间 t t内质点内质点速度的增量速度的增量为为 如图所示如图所示, , 设时刻设时刻t t质点位于质点位于a点，速度为点，速度为 , ,)(t )()(ttt t a 经时间经时间 t t运动到运动到b点，速度为点，速度为 , ,)(tt o x y z

47、 a. )(t b. )(tt 质点的质点的( (瞬时瞬时) )加速度加速度定义为定义为 lim t 0 t a 2 2 dt rd dt d 加速度的方向与加速度的方向与t0t0时时v的极限方的极限方 向一致。向一致。 这就是说这就是说, ,质点在某时刻或某位置的质点在某时刻或某位置的( (瞬瞬 时时) )加速度加速度等于速度矢量等于速度矢量 对时间的对时间的一阶一阶 导数导数, ,或等于矢径或等于矢径 对时间的对时间的二阶导数二阶导数。 r 当质点作减速运动时，加速度方向与速度当质点作减速运动时，加速度方向与速度 方向成钝角，如图方向成钝角，如图(a)(a) x y z o 2 v 1 v

48、 v 当质点作加速运动时，加速度方向与速当质点作加速运动时，加速度方向与速 度方向成钝角，如图度方向成钝角，如图(b)(b) 当当v va a=v=vb b时，时， 有有/2,/2,即质点作即质点作 匀速率曲线运动时，匀速率曲线运动时， 加速度的方向与速度加速度的方向与速度 的方向相垂直。的方向相垂直。 在曲线运动中在曲线运动中, ,加速度的方加速度的方 向总是指向曲线向总是指向曲线凹凹的一边的。的一边的。 加速度的加速度的方向方向是：当是：当 t t00时时, ,速度增量速度增量 的极限的极限 方向。应该注意到方向。应该注意到, , 的方向和它的极限方向一般不的方向和它的极限方向一般不 同于

49、速度同于速度 的方向的方向, ,因而加速度的方向与同一时刻速度因而加速度的方向与同一时刻速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。 在国际单位制中在国际单位制中, ,加速度的加速度的单位单位为为米米/ /秒秒2 2( (ms-2) )。 质点作质点作直线直线运动时，运动时， 极限方向也一定沿该直线极限方向也一定沿该直线 质点作质点作加速加速运动时，运动时， 方向必定与方向必定与 方向相同；方向相同； 质点作质点作减速减速运动时，运动时， 方向必定与方向必定与 方向相反；方向相反； 质点作质点作曲线曲线运动时，运动时， 的极限方向不但决定于质点是作加的极限方向不但决定于质点是作加 速还是减速

50、运动，而且还与曲线弯曲形状有关。速还是减速运动，而且还与曲线弯曲形状有关。 质点作质点作加速加速运动时，加速度的方向与速度方向成锐角；运动时，加速度的方向与速度方向成锐角； 质点作质点作减速减速运动时，加速度的方向与速度方向成钝角；运动时，加速度的方向与速度方向成钝角； 例：例：;)( dt d aa ;)( dt d ab dt d ac )( 由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速 度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明, ,任何一个任何一个 曲线运动都可以分解为沿曲线运动都可以分解为沿

51、x,y, z x,y, z 三个方向的直线运动三个方向的直线运动, ,每个每个 方向上的运动是相互独立的方向上的运动是相互独立的, ,整个运动可看作是沿三个坐标整个运动可看作是沿三个坐标 轴方向的直线运动的叠加轴方向的直线运动的叠加, ,这就是这就是运动的叠加原理运动的叠加原理。 说明说明 1)1)加速度是矢量，有大小和方向加速度是矢量，有大小和方向 匀变速运动：加速度为恒量匀变速运动：加速度为恒量 非匀变速运动：加速度为变量非匀变速运动：加速度为变量 2)2)加速度具有加速度具有瞬时性瞬时性 3)3) 具有具有相对性相对性 4)4) 单位：单位： m ms s-2 -2 加速度与速度、位置矢

52、量关系加速度与速度、位置矢量关系 由加速度定义知由加速度定义知 dttavd)( 若求质点从若求质点从t t0 0到到t t时间内速度的变化，对上时间内速度的变化，对上 式积分，即式积分，即 t t t t t t t t r r dtdttavrr dttavv dttavdvvv 00 0 00 )( )( )( 00 0 0 则 或 速度公式速度公式 位移矢量的一般表达式位移矢量的一般表达式 kji kjia dt zd dt yd dt xd dt d dt d dt d dt d z y x 2 2 2 2 2 2 (1) (1) 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,加速度的表示加速度

53、的表示 式是式是 而加速度而加速度a a在三个坐标轴上的分量分别为在三个坐标轴上的分量分别为 2 2 2 2 2 2 , dt zd dt d a dt yd dt d a dt xd dt d a z z y y x x x y z o 2 v 1 v v 222 zyx aaaaa 加速度加速度a a的大小的大小: : 运动叠加原理：质点的任意运动都可以看做是，由在三个运动叠加原理：质点的任意运动都可以看做是，由在三个 坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成。坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成。 dt ed dt d e dt d dt d dt d dt ed dt d e dt

54、 xd evev dt d dt d a )( )( 2 2 2 2 (2) (2) 在平面极坐标系中在平面极坐标系中, ,加速度的表示式是加速度的表示式是 如图所示，如图所示，t0t0时，时， 趋于与 趋于与 垂直，指向 垂直，指向 的方向，其大小为：的方向，其大小为： 1e e dt d t e t e dt ed tt 00 limlim 径向径向加速度加速度 eaea e dt d dt d dt d e dt d e dt d a 2)( 2 2 2 2 2 dt d dt d dt d a dt d e dt d a 2 )( 2 2 2 2 2 横向横向加速度加速度 质点沿直线运

55、动，极角为常量质点沿直线运动，极角为常量0, 2 2 a dt d a 质点沿圆周运动，极径为常量质点沿圆周运动，极径为常量 dt dv dt d dt d dt d a v dt d dt d a 2 2 2 22 1 向心向心加速度加速度 切向切向加速度加速度 在圆周运动引入在圆周运动引入角加速度角加速度概念，定义为：概念，定义为： 2 2 dt d dt d a 则径向加速度和横向加速度可分别表示为：则径向加速度和横向加速度可分别表示为： aaa , 2 dt ed ve dt dv ev dt d dt d tetvtv t tt t a )( )()()( (3) (3) 在自然坐标

56、系中在自然坐标系中, ,速度、加速度的表示式是速度、加速度的表示式是 第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分 量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道切向量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道切向 切向加速度切向加速度 第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量 n e v n e dt dv n e dt d n dt d tt e va t t t 2 00 limlim 如图所示：如图所示： t0t0时，时，0，趋于与趋于与t t的极限方向必定垂直于的极限方向必定垂直于 t(t) ，指向轨道凹侧，与法向单位矢量

57、，指向轨道凹侧，与法向单位矢量n n一致一致 ntnntt e v e dt dv eaeaa 2 法向法向加速度加速度 1、位置矢量位置矢量和和速度速度是描述是描述质点状态质点状态的物理量，的物理量，位移位移和和加加 速度速度是反映是反映质点运动状态变化质点运动状态变化的物理量。的物理量。 2、质点运动学的两类问题、质点运动学的两类问题： 第一类问题第一类问题：已知质点的运动方程，求质点的状态：已知质点的运动方程，求质点的状态 用微分方法求解；用微分方法求解； 第二类问题第二类问题：已知质点的状态，求质点的运动方程：已知质点的状态，求质点的运动方程 用积分方法求解。用积分方法求解。 小结小结

58、 以上内容的学习以上内容的学习要点要点是是：认真学习用微积分来处理物理认真学习用微积分来处理物理 问题的方法问题的方法。 r=xi+yj+zk dt dr dt d a 例题例题1-11-1 一质点沿一质点沿x x轴运动轴运动, ,运动方程为运动方程为x x=t=t3 39t9t2 2 +15t+1 (si), +15t+1 (si), 求求: (1): (1)质点首先向哪个方向运动质点首先向哪个方向运动? ?哪些时刻质点调头了？哪些时刻质点调头了？ (2)(2)质点在质点在0-2s0-2s内的位移和路程。内的位移和路程。 可得：可得：t=1,5s;t=1,5s;又由于又由于1,5s1,5s前

59、后速度前后速度 改变了方改变了方 向向( (正负号），所以正负号），所以t=1,5st=1,5s调头了。调头了。 因因t=0t=0时速度时速度 =+15m/s,=+15m/s,所以质点首先向所以质点首先向x x轴轴 正方向运动。正方向运动。 =3t=3t2 2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 调头的必要条件是调头的必要条件是速度为零速度为零，即，即 解（解（1 1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？）质点做直线运动时，调头的条件是什么？ dt dx x x= =x x(2)-(2)-x x(0)=3-1=2m(0)=3-1=2m 考虑到考虑

60、到t=1st=1s时调头了，故时调头了，故02s02s内的内的路程应为路程应为 s=|s=|x x(1)-(1)-x x(0)|+|(0)|+|x x(2)-(2)-x x(1)|=7+5=12m(1)|=7+5=12m (2)(2)质点在质点在02s02s内的位移可表示为内的位移可表示为 例题例题1-21-2 在离水面高度为在离水面高度为h h的岸边，一人以恒定的速率的岸边，一人以恒定的速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x x时，船的速度时，船的速度 和加速度。和加速度。 解解 对矢径未知的问题对矢径未知的问题, , 须先建立坐标系须先建立坐标系,