湖南省长沙市高三高考模拟数学(理)试题

1、 科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3. 本试题卷共 5 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。姓名准考证号第 1 页 共 11 页1 长沙市高考模拟试卷（一）数 学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150 分时量：120 分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、

2、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知z 是复数，i 是虚数单位，( )在复平面中对应的点为 p，若 p 对应的复数是模等于 2 的1- i zz =负实数，那么-1- ia-1+ ic1- i-idb( )-1,2b(ax - )6x2maa + 2bx - 2m， 是二项式2已知不等式的解集为的展开式的常数项，那么= 077ax + b-15- 5- 5acd5ab( )xy22f x = 4 - 2n的零点为公比的等比数列的前 项3以双曲线1的离心率为首项，以函数-=x45s =的和n332n+13234 2n

3、( )a3 2n -1 -b3-cd-22n3 34已知几何体m 的正视图是一个面积为 2p 的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为侧 视4 3ppp3 8 3 pa6 和b6 +4和334 334 3p3pp 3d4( + )和pc6 +4和俯 视结束35执行下列的程序框图，输出的s =是s=0i=1a=is=s+ac5050相切倾斜角为135 0的直线 l 与 x轴和 y 轴的交点分别是 a 和 b，那么过 a、bi=i+1i否开始100-( mod 100)200?a9900b10100d4950y = 8x6与抛物线2y2 = 8x两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长

4、为第 2 页 共 11 页2 22da4b2c2600。l与平面 平行，p 是直线l 上的一点，平面 内的动点 b 满足：pb 与直线 l 成aa7已知直线那么 b 点轨迹是a.双曲线b椭圆c抛物线d两直线147 ( )( )( )(),b a b a,b的实数对= x2 - x - a x b8使得函数 f x的值域为 a555有()对a1b2c3d无数二填空题：(每大题共8 小题，考生作答7 小题，每小题5 分，共35 分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13 题、14 题和 15 题中选两题作答，全做则按前两题记分）( )( )p= 2 cos x + 3a 1的概率9 g x 表示函

5、数 y的导数，在区间,p 上，随机取值 , g a-3为； ( )( )rra x, y= -，b x2 ,1=x a b|10已知向量 =，设集合， = | 0, 0, 0, + 2 + 3 = 3 ，那么的最小值，离(x+ ) +(2y+ ) +(3z+ )xyzxyz2224y6z2x为；2x y216方程+a b=1( a,b 1，2，3，4，2013)的曲线中，所有圆面积的和等于第 3 页 共 11 页3 心率最小的椭圆方程为.三、解答题：（前三题各 12 分，后三道题各13 分，满分 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）wx( )= 6 cos217函数 f x( )

6、+ 3 sinwx - 3 w 0在一个周期内的图像如2图所示,a为图像的最高点,b.c为图像与 轴的交点,且xdabc为正三角形. 0 ,1( )f x 的值域;(1)若 x,求函数10 2( )8 3+1的值.( )(2)若,且,求 f xx - , f x =0003 3518如图一， abc 是正三角形， abd 是等腰直角三角形，ab=bd=2。将 abd 沿边 ab 折起，o-使得 abd 与 abc 成 30 的二面角 d ab c ,如图二，在二面角d ab c 中.(1) 求 d、c 之间的距离；(2) 求 cd 与面 abc 所成的角的大小;(3) 求证：对于 ad 上任意

7、点 h，ch 不与面 abd 垂直。aaccddbb图一图二19某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为 元/千克，政府补贴为 元/千克，根据xt市场调查，当16 24 时，这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日需量 万千克近似地满足qx2(p = x + t -4 14 ,) (x 16,t 0 ，)20 ()。当 p= q关系:市场价格称为市场平q= 24 + 8lnx, 16 24x衡价格。（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；第 4 页 共 11 页4 （2）为使市场平衡价

8、格不高于每千克20 元，政府补贴至少为每千克多少元？( )0,+(a + 5)x + b( )f x20设命题p:函数=在上是增函数；命题q:方程x2 - ax + b - 2 = 0 有两个不相x +1( ),b等的负实数根。求使得p q 是真命题的实数对a 为坐标的点的轨迹图形及其面积。1( ,0)yx21已知 a，点 b 是 轴上的动点，过 b 作 ab 的垂线 交 轴于点 q，若l4( )ap + aq = 2ab, m4,0.(1)求点 p 的轨迹方程；= ax = a的相交弦长为定值，若存在,求出定直(2)是否存在定直线 x，以 pm 为直径的圆与直线线方程;若不存在,请说明理由。

9、ybq o ax第 5 页 共 11 页5 ( )+ b + c = 1,a,b,c 0,+a log a + blog b + clog c -1;22(1)已知a,求证：333a + a + + a = 1n(2)已知， a 0(i=1,2,3,3 )，求证：12n3ia log a + a log a + a log a + a log a -n131232333n3n332013 年长沙市高考数学模拟试卷 （一）数学（理科）参考答案及评分标准一选择题：(本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号答案1a2d3b4c5b6c

10、7a8b二填空题：(每大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在题中的横线上)7873- ln 260 012.9.10. (-8，111.5p6274313. (2，)14. 315.x2y2x2y216. 2027091 p ；+=1 和+=1，2 0 1 2 20132013 2012三、解答题：（前三题各 12 分，后三道题各 13 分，满分 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第 6 页 共 11 页6 p( )17.解(1)由已知得:wwwf x = 3 cos x + 3 sin x = 2 3 sin x + 3( )dabc2

11、 3又为 正 三 角 形 , 且 高 为, 则 bc=4. 所 以 函 数 f x 的 最 小 正 周 期 为 8, 即2pppp, ( ) .= 8,w =f x = 2 3 sin x + w443 7pp pp 0,1( )因为 x,所以.,3 f x 2 3 x + 3 4 3 12 ( )函数 f x 的值域为3,2 36 分pxp8 35px8 3p45( )(2)因为,有(x ) = 2 3sin (+ ) =3， 即s i n( 0) =f x =f+005443010 2pxpp p由 x（- ， ），得( 0 + ) (- , )03 3432 2所以，即cos(pxp43

12、5+ ) = 1- ( ) =02435px p pppp(x +1) =x故 f2 3sin ()0 + += 2 3sin( 0 + ) + 044 3434= 2 3sin(pxpppxpp+ ) cos + cos(+ ) sin0043443442 3+ 5 22= 2 3( )5 27 6512 分= q18. 解: 依题意， abd=90 ，建立如图的坐标系使得 abc 在 yoz 平面上， abd 与 abco成 30o 的二面角,dby=30o，又 ab=bd=2，a(0，0，2)，b(0，0，0)，33，0)，c(0，1)，d(1，z(1- 0) + ( 3 - 3) +

13、(0 -1)2 5分(1)|cd|=222 =aq(2) x 轴与面 abc 垂直，故(1，0，0)是面 abc 的一个法向量。q设 cd 与面 abc 成的角为 ，而cd = (1，0，-1)，cd| (1,0,0) (1,0,-1) |2qsin =21 + 0 + 0 1 + 0 + (-1)b222222yp0， ，2pqqq = ；8分4x第 7 页 共 11 页7 ah ad33(3) 设=t= t(1，-2)= (t，t，-2 t)，ch ca ah33333t- ，-2 t+1)，=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，1ch ba3若，则 (t，t-，-2 t

14、+1)(0，0，2)=0 得 t= ， 10分213此时ch=( ，-2，0)，21 3bd3ch bd ch bd= - =-1 0, 和 不垂直，而=(1，0)，2 2即 ch 不可能同时垂直 bd 和 ba，即 ch 不与面 abd 垂直。12分2019. 解：（1）由 p=q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln（16x24 ，t0）。x13 120t= - x+ ln（16x24）。3 分2 4x1 1q - 0。0a 024 分q 真方程 x -ax+b-2=0 有两个不相等的负实数根a2 - 4b + 8 0boa第 8 页 共 11 页8 a 0a - b + 5

15、0p q 是真命题p 真且 q 真pab2 - 4 + 8 0ab8实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) 分 - +a b5 = 0a - b + 5 = 0解：得 a = -2，a = 6， 解得 a= -3;- 4b + 8 = 012b= 2a2(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：-2(a + 5 - 2)da-3 a( + 2 - 2)da -2(a + 3)daada11 分2200s=+=+ 44-2-3-211713=( a +3a)| +-2-3a3| 0 = 分y22126-21m 0，m=-4t ，q21. 解: (1)设 b(0，t)，设

16、 q(m，0)，t = |m|，22b41q(-4t ，0)，设 p(x，y)，则 ap =(x- ，y)，x2411qaq =(-4t - ，0)，2 ab =(- ，2 t)，ap + aq =2 ab 。242111(x- ，y)+ (-4t - ，0)= (- ，2 t)，24426y =x，此即点 p 的轨迹方程； 分。x=4t ，y=2 t，22q(2)由(1)，点 p 的轨迹方程是 y =x；设 p(y ，y)， m (4，0) ，则以 pm 为直径的圆的圆心即 pm22y+ 4 y2的中点 t(， ), 以 pm 为直径的圆与直线 x=a 的相交弦长:22y2 + 4yy2 +

17、 4l=2 (- 4) + ( - 0) - (- a)222222y21510=2 (a - 4)(y - a) +=2 ( - ) 2 - ( - 4) 分2ay a a44151515若 a 为常数，则对于任意实数 y，l 为定值的条件是 a- =0, 即 a= 时，l=4415415存在定直线x=，以pm 为直径的圆与直线x= 的相交弦长为定值1513。 分422. 解： (1)证明：qa+b+c=1，a、b、c(0，+)，alog a+blog b+clog c= alog a+blog b+(1-a-b) log (1-a-b)=f(a)333333第 9 页 共 11 页9 1-

18、 b1-b那么 f (a)= log a-log (1-a-b)，当 a(0，)时 f (a)0，22331- b21-bf(a)在(0，上递减，在，1) 上递增；21-b1-b1-bf(a) f()=(1-b) log3+blog b，记 g(b)= (1-b) log+blog b，3 分22332131-b1得：g(b)= log b-log，当 b(0， )时 g(b) 0，33233111g(b) g( )=-1。g(b)在(0， )递减，在( ，1)上递增；33315 分alog a+blog b+clog c -1当 a=b=c= 时等号成立。3333a aa(2)证明：n=1

19、时， + + =1， 0(i=1,2,3)，由(1)知a312ia l o g a a log a a log a-1 成立，即 n=1 时，结论成立。+131232333a aa设 n=k 时结论成立，即 + + a =1， 0(i=1,2,3,3k)时12i3ka log a a log a a log aa log a3k+-ka aa那么，n=k+1 时,若 + + a + a+ a =1， 0(i=1,2,3,3k+1)时，12i3k3k +1+a3k +1aa1a2令 a+ a =t，则+=1，由归纳假设：k31- t 1- t1- t3k +13k +1

20、aaa1aa1 l o g2 log2log8-k. 分+kk331- t1- t 1- t1- t1- t1- t333 a log a a log a a log aa log alog-(1-t) (1-t) -k(1-t).+1312323333k33k3 a log a a log a a log aa log alog-k(1-t)+ (1-t) (1-t)(1)+1312323333k33k3aa3k +2a设 a+ a =s，则a+ a=t-s，+=1，3k +123kt - s t - st - s23k +13k +13k +123kaaaaaalog3 +13 +2 log3 +223 log23k由归纳假设：+-k.3k +1kkkkt - st