大一上学期(第一学期)高数期末考试题(同名11374)

1、大一上学期高数期末考试 、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分， 1 设 f ( x) cos x(x sin x ),则在x0处有( 共16分) ) (B) f (0) 1 (C) f (0) 0 (D) f (x)不可导. (A) f(0)2 设(x) -x, (x) 3 3Vx，则当 x1时( 2.1 x (A)(X)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (X)与(X)是等价无穷小； (C)(X)是比(X)高阶的无穷小； 高阶的无穷小. X o(2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且 ). 3.若 F(x) f (x) 0，则( 函数F(x)必在x 0处取

2、得极大值; 函数F(x)必在x 0处取得极小值; 0处没有极值， (A) (B) (C) 函数F(x)在x 拐点； (D) 函数F(x)在x 0处没有极值, 的拐点。 A 设f (X)是连续 4. (A) 2 函数，且f ( X) X2 2 2(C) (B) (B) (D) (x)是比(x) 但点(0，F(O)为曲线y 点(0,F(0)也不是曲线 1 2 o f (t)dt ,贝y f (x) F(x)的 y F(x) 二、填空题(本大题有 2 lim (13x)sin x x 0 4小题，每小题 (D) x 2. 4分，共16分) 5. 已知cosx是f(x)的一个原函数 x 则 f(x)

3、cosxdx x 2 2 2 lim (cos cos L n n nn cos2) n 6. 7. 1 2 2 x arcs in x 1 dx 1V1 x2 8. 2 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 设函数y y(x)由方程 y (0). 7 x 7 dx. x7) x xe ,x 2 x x 2,0 9. 10. 设 f (x) y sin (xy) 1 确定，求y(X)以及 11. 12. g(x) 设函数f(x)连续， 数.求g(x)并讨论g(x)在x x 1 f (xt)dt 0，且 0处的连续性. 1 3 f (x)dx. lim X 0宁A , A为常 13

4、. y(1) 求微分方程xy 2y xlnx满足 1 9的解. 四、解答题(本大题10分) 14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(叩)，且曲线上任 一点Ma。,)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线 X X。所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x 轴围成平面图形D. (1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转 体的体积V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分) 16. 设函数f(x)在上连续且单调递减，证明对任意的q

5、0,1, q1 f (x) d x q f (x)dx 00 f(x) d x 0 17.设函数f(x)在0，上连续，且o f ( x) cos x dx 0 o.证明：在0，内至少存在两个不同的点 x F (x) f(x)dx 1,2，使 f( l) f( 2)0. (提示：设0 解答 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 COSX 2 6() C 5. e . 6. 2 x.7.2.8.3 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导 ex y(1 y ) c

6、os(xy)(xy y) 0 10.解： y(x)exy ycos(xy) ex y x cos(xy) x 0, y 0 y (0)1 u x7 7x6dx du 原式 1(1 u)112 du()du 7u(1 u)7 u u 1 11.解： 1 尹 |u| 2ln |u 1|) c 12 In | x71 In |1 x71 C 77 1 0 x 1 2 f (x)dxxe dx、2x x dx 330 :Xd( e x)0、1 (x 1)2dx 0 0 2 xe x e xcos2 d (令x 1 sin ) 3 2 12.解： 2e31 4 由 f(0) 0，知 g(0) 0。 xt

7、 u f(u)du g(x) f (xt)dt 0 x (x 0) xf(x) f (u)du g (x)A x x (x 0) f (u)du g (0) lim -2 lim x 0 x2x 0 2x x xf(x) 00 g (x) 00 f (u)du 0 2 x g (x)在 x 0处连续。 dy 2 y In x 13.解：dx x dxdx 1 , 1 Cx 2 x I n x x 3 9 1 1 1 -,C 0 y x I n x x 9 3 9 C) y(i) y e x ( e x In xdx 四、解答题（本大题10分） x 14.解：由已知且y 20ydx y 将此方程

8、关于x求导得y 2y y 特征方程：20解出特征根：r11, r2 2. x2 x 其通解为y %C2e C1-, C2- 代入初始条件y（）y（）1，得33 2x 故所求曲线方程为: 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为（xcUnx。），切线方程： 1 y In X。（x X。） X。 1 y - x 由于切线过原点，解出x0 e,从而切线方程为：e A 则平面图形面积 y (e ey)dy o Vi (2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为 Vi,贝S 曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得 旋转体体积为V2 1

9、V2 (e ey )2dy 0 D 绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V V1 V2 六、证明题 16.证明： q (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q,1 q(1 (5e2 6 (本大题有2小题，每小题4分，共12分) q1 f (x) d x q f (x)dx 0 12e 3) q f(x) d x 0 q q( f(x)dx 0 1 f(x)dx) q 1 q f(x)dx q q) f ( 1) q(1 q)f ( f ( 2) 故有： q f (x) d x 0 f(x)dx 证毕。 17,证：构造辅助函数: 连续，在(,)上可导。 F(x) F (x) f (x)，且 F(0) F( 其满足在0，上 0 0 由题设，有 f (x)cosxdx cosxdF (x) 0 0 F (x)cosx|0 sin x F (