历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

1、全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 、填空题(每小题 5分，共20 分) (x y)ln(1 -) 1计算 Dxdy ,其中区域D由直线x y 1与两坐标轴所 D / x y 围成三角形区域 n 0 2设f(x)是连续函数，且满足 2 x 2 3曲面z 2 y 2平行平面 f(x) 3x2 2x 2y 2 o f(x)dx 2，则 f(x) 0的切平面方程是 4 设函数 dx2 y(x)由方程 xef(y) eyln 29确定，其中f具有二阶导数，且 1，则 x e 二、(5分)求极限lim ( x 0 e2x nx e )，其中n是

2、给定的正整数. 1 三、(15分)设函数f(x)连续，g(x) 0 讨论g (x)在x 0处的连续性 四、(15分)已知平面区域 D (x, y)|0 (xt)dt , X K /V X f 叫 I K x ,0 y , A，A为常数，求g (x)并 L为D的正向边界，试证： (1) a xesinydy ye sin x dx s xe in y | dy L L (2) 0 xesinydy ye sin y dx 5 2 L 2 五、(10分) 已知yi xe x2x e ,y2 x xe 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程 sin x * ye dx; e x , y3xex

3、e2x e x是某二阶常系数 x 1时，y 0,又已知该抛物 六、(10分)设抛物线y ax2 bx 2lnc过原点当 0 1 线与x轴及直线x 1所围图形的面积为- 试确定a, b, c，使此图形绕x轴旋转一周而成的 3 旋转体的体积V最小. e 七、(15分)已知Un(x)满足Un(x) Un(x) xn 1ex n 1,2,L，且Un (1)，求函数项级数 n un(x)之和 n 1 2 八、(10分)求x 1时，与 xn等价的无穷大量 2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 、（25 分, 每小题5分） (1) 设Xn (1 a)(1 22n a2)L (1 a2 )

4、，其中 |a| 1,求im (2) 求lim X X2 (3) sx n 0 e x dx(n 1,2,L ). 设函数 f （t）有二阶连续导数, x2 y2, g(x,y) ，求 2 g 2 X 2 g 2 y (5) 求直线 X I1: z y 0与直线 0 二、（15 分） 设函数 f(x)在( ）上具有二阶导数，并且f （X） lim X f (x)0， lim f (x) X 0，且存在一点 Xo，使得 f (Xo) 0.证明：方程f（x） ）恰有两个 实根. 三、（15分）设函数y f （x）由参数方程 2t t2(t (t) 1）所确定，且 d2y dx2 3 4(1 t)，

5、其中（t）具有二阶导数，曲线y （t）与y e u du 在t 2e 1出相切，求函数（t）. 四、（15分） n 设an 0, n 1 4 (2 )当 1且片 （n ）时，级数 发散 Sn 五、（15分） 设I是过原点、方向为 (,),(其中 22 2 1）的直线，均匀椭球 22 x y_ 2,2 a b 2 勺 1 (其中0 c b c a，密度为1 ）绕I旋转. （1 ）求其转动惯量; （2 ）求其转动惯量关于方向 ,）的最大值和最小值 六、（15分）设函数（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线 积分?2xyd4孑曲o的值为常数. ? x y （1 ）设L为正向

6、闭曲线（x 2）2 y2 1，证明?一华型0 ； Lx y （2）求函数 （X）； （3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 2xydx 2 (x)dy 2 y 2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 、计算下列各题（本题共 3小题，每小题各5分，共15 分） 1 sin x 1 cosx ； ； x (2) 求 lim n 2t2 （3）已知 X In 1 e 求 d y t ，求 T y t arcta nedx 、（本题10分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解. 、（本题15分）设函数f（x）在x 0的某邻域内具有二阶连续导数，且f 0 ,f 0

7、 ,f 0 均不为0，证明：存在唯组实数 k, k2, k3，使得 k1f hk2f 2h k3f 3h f 0 lim20. h 0h2 2 2 2 四、（本题17分）设1:x2爲z21，其中a b c 0，2: z2x2y2， 为1与2 a b c 的交线，求椭球面!在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值 五、（本题16分）已知S是空间曲线 x2 3y2 z 0 1 绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分 （取上侧），是S在P（x,y,z）点处的切平面，（x,y,z）是原点到切平面的距离，表 示S的正法向的方向余弦.计算： （1）z一 dS ；（ 2） z x 3 y z dS S x,

8、y, zS 六、（本题12分）设f （x）是在（，）内的可微函数，且 f （x） mf（x），其中0 m 1， (anan 1)绝对收敛. n 1 任取实数a，定义an ln f （an 1）,n 1,2,.，证明: 七、（本题15分）是否存在区间 0,2上的连续可微函数 f（x），满足f（0）f（2） 1 ,| f （x） 1， 2 0 f (x)dx 1?请说明理由. 2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤) 1 (1)求极限 lim( n!). (2)求通过直线 l: 2x y 3z 2 5x 5

9、y 4z 3 0的两个互相垂直的平面 0 1和2，使其中一个平面过 点(4, 3,1). (3)已知函数z u(x, y)eax by，且 x y 0 .确定常数a和b， 使函数z z(x , y)满足方程 2 zzzc z 0. x yxy (4)设函数u u(x)连续可微, u(2) 1， 且 L (x 2y)udx (x )udy在右半平 产面与路径无 关，求 u(x,y). (5)求极限lim 3 x x 1 sint fcosfdt. 四、 00 (本题 (本题 (本题 10分)计算0 e2x sin x dx . 10分)求方程x2sin1 x 12分)设函数 y 2x 501的近

10、似解，精确到 0.001. f (x)二阶可导，且f(X)0， f (0)0， f (0)0，求 3 X f(u3 ，其中u是曲线y f (x)sin u f(x)上点P(x, f(x)处的切线在 x轴上的截距. 五、(本题12分)求最小实数C，使得满足 1 0 f(x) dx 1的连续函数f(x)都有 0 f ( x)dx C . 六、(本题12分)设f (x)为连续函数，t 0 .区域 是由抛物面 zx2 2 y和球面 x2 y2 z2 t2 (z 0)所围起来的部分.定义三重积分 F(t) f(x2 y2 z2)dv， 求F(t)的导数F (t). 七、(本题14分)设 an与 bn为正

11、项级数，证明: n 1n 1 (1 )若lnm 邑 0,则级数 an收敛； nan 11 bn 1n 收敛 (2)若 lim n 却 L 0 ,且级数 bn发散，则级数an发散. an 10 bn 1n 1 2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） n 1.求极限 lim 1 sin ,1 4n* 七、（满分14分）判断级数 . n 2.证明广义积分0 dx不是绝对收敛的. 3.设函数 y y(x)由 x3 3x2y 3 2y 2确定，求y（x）的极值. 4.过曲线 y Vx(x 0)上的点 A作切线，使该切线与曲线

12、及 x轴所围成的平面图形的面积为 3，求点 4 A的坐标. 二、（满分12分）计算定积分 xsinx arctane 2 dx. 1 cos x 三、（满分12分）设f x 0处存在二阶导数 f （0），且 f x lim x 0 x 0.证明：级数 四、（满分12分）设f（x） ,f (x) m 0(a x b)，证明 b sin a f (x)dx 五、（满分14分）设 Ix3 x dydz 2y3 是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分 I的值最小， dzdx 3z3 z dxdy .试确定曲面，使积分 并求 该最小值. 六、（满分14分）设la（r） ydx xdy C(x

13、2 ，其中a为常数，曲线C为椭圆 2 2 x xy y 取正向.求极限lim I a（r）. r 1 n的敛散性，若收敛，求其和 2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(共有 5小题，每题6分，共30分) 1.已知yi ex和 xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 2.设有曲面 S:z x2 2y2和平面L : 2x 2y z 0 则与L平行的S的切平面方程 3.设函数y y(x)由方程x Wdt所确定求签 k i (k 1)! ，则 lim n xn 1 5.已知lim 1 x 3 %e3，则lim卫学 x 0 xx 0 x 、(本题12分)设n为

14、正整数，计算丨二存皿吩dx. (本题14分)设函数f(x)在0,1上有二阶导数，且有正常数A,B使得f(x) A， B | f (x)| B.证明：对任意 x 0,1，有 |f(x)| 2A . 四、(本题14分)(1)设一球缺高为h，所在球半径为 R.证明该球缺体积为(3R h)h2， 3 球冠面积为2 Rh ； (2)设球体(x 1)2(y 1)2(z 1)212被平面P : x y z 6所 截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx zdxdy. 五、(本题15分)设f在a,b上非负连续，严格 单增，且存在xn a,b，使得 f f (x

15、)ndx.求 lim xn. an 柞，求nim An 六、(本题15分)设An , 2 L n 1 n 2 2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 、填空题（每小题 6分，共5小题，满分30 分） sin /1）赤极K限一n 2 sin n L sin 2 1 2 2 n n n 2 n n （2）设函数 z z x,y 由方程F x , y -0所决定，其中F u,v具有连续偏导 y x 攵，且xFu yFv 0则 zz xy - xy （3）曲面z 2 x 2 y 1在点M 1, 1,3的切平面与曲面所围区域的体积是. （4）函数f x 3,x 5,0卄 在 5,5的傅

16、立叶级数在 x 0收敛的是 0,x0,5 2 （5）设区间 0, 上的函数u x定义域为U Xe dt，则u x的初等函数表达 0 式是. 二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程 三、（12分）设f x在a,b内二次可导，且存在常数,，使得对于x a,b，有 f x f x f x，贝y f x在a,b内无穷次可导 四、（14分）求幕级数-一2 x 1 n的收敛域及其和函数 n 0 n 1 ! 11 五、（16分）设函数f x在0,1上连续，且f x dx 0, xf x dx 1 .试证: 00 （1） X00,1 使 f X04 ； （2） x10,1 使 f %4.

17、五、（16分）设f x, y在x2 y2 1上有连续的二阶偏导数，且f； 2fxy fyy M .若 f 0,00, fx 0,0 fy 0,0 0,证明： x2 y2 1 x, y dxdy .M 4 2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 、填空题 （每小题 5分，满分30分） 1、 在点x a可导，且 fa 0，则 lim n n 1 a - n :a 2、 0， f 1存在, 求极限I f sin2x cosx tan3x lim x 0 x2 e 1 sinx 有连续导数，且 z，求f x在x 0的表达 4、设f x e sin2x，求 0 an 5、求曲面 2 z

18、 y2平行于平面 2 2x 2y 的切平面方程 二、（14分）设f x在0,1上可导，f 0 0，且当x 0,1 x 1，试证当 a 0,1 , a2 f x dx 0 a 3 f x dx . 0 、（14 分）某物体所在的空间区域为 :x2 y2 2z2 x 2z ,密度函数为x2 求质量M z2 dxdydz. 四、（14分） 设函数 x在闭区间 0,1上具有连续导数, 证明：lim n n dx 五、（14分）设函数f x在闭区间 0,1 1 上连续，且I 0 f x dx 0，证明：在 0,1内存 1 在不同的两点X1,X2，使得1 六、（14分）设f x在 可导，且f x f x 2 f x 3 .用Fourier级数理 论证明f x为常数. 2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 1.已知可导函数 刃满足 cosxf(x) 2 f(t)sintdt x