估算教学：价值、策略及评价

1、 估算教学：价值、策略及评价一、问题的提出 。案例 1“尴尬”的估算背景：学生已经有了一定的估算基础，在具体情境中让学生用估算解决问题时，出现了以下两种情况。情景一：某校期末考试卷上有这样一道估算题：每个足球 78 元，要买 2 个足球，请你估计 150 元够吗？阅卷时发现，学生几乎全是用精算算出结果的，即 78x2=156 元，156150，所以不够。学生这样解答算不算对？给不给分？对此，教师的意见不一，有人认为，虽然学生采用了精确计算的方法，只要结果正确的，就应该给予肯定；也有人认为，学生没有认真审题，不能给分。情景二（1）课上通过一个实际问题引入估算。（2）教师抽象地谈在一个算式中，每个

2、数可以怎么进行估计。“388”可以怎么估？（380，390，400，300）在 388+120，388+110 中，你打算分别怎样估“388”才能作到不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小？生 1：388+110 中，388 估计成 390，因为 10+90=100，结果凑成整百。师：用这个方法计算的结果是不是最接近实际结果？生 1：是，因为 390 离 388 最近。 生 2：用四舍五入法。（教师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最小。）生 3：388+120，388 估成 380 最方便，因为相加为整百数。师：用这种方法计算的结果不是离实际结果最近。388 可以估成 390。（3）最后

3、解决一个实际问题：一班学生 238 人，二班学生 158 人，399 个座位够吗？学生分 6 个小组进行讨论后，有 5 个小组用了前面所强调的“不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小”的思路，将 238 估计为 240，158 估计为 160，240+160=400，所以 399 个座位不够；有 1 个小组进行了精确计算发现 399 个座位够。面对学生不同的答案教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算。”学生在上完课后，对教师说：“好像只有在您的课堂中才用到估算。”教师陷入了尴尬中。对此，部分教师认为：（1）教师面向全体强调“好”的估算标准。这拔高要求了。（2）习题的设计

4、欠妥，学生感受不到估算的价值。由以上案例，可以引出以下几个问题：（1）在实际教学中，学生常常习惯于精确计算，而不愿意进行估算，学生为什么会缺乏估算意识？（2）估算的价值体现在哪些方面？如何培养学生的估算意识？（3）在情景二中，教师一直强调“好”的估算标准是“不仅计算速度快，而且与实际结果相差最小”，这个标准是否合理？估算是否有统一标准？ 下面，我们就来讨论这几个问题。二、估算到底有什么价值？估算到底有什么价值？这也许是许多教师在教学当中不断遭遇的困惑。如果教师都不能深刻地体会到，那么可想而知教学如何能到位。在此我们做一个简单的描述。1、 估算在日常生活中有着广泛的应用。估算是对运算过程和运算结

5、果进行粗略估计的一种能力。在现实生活中，很多事实际上不可能也不需要都进行准确计算，曾经有一个学者做过一个统计，将一个人在日常生活当中精确计算的机会和粗略计算的机会进行比较发现，后者多得多。例如，我们家庭都要计划收入和支出，这就需要估计；一个商场，它的营业额是多少，它的利润如何，要进行大致的预测，这也是估计；再比如，现在大城市流动人口很多，到底流动人口是多少，我们在做统计时也要做一些估计。由此可见，在生活中离不开估算。因此，估算作为数学教学方面的一个新内容提出来，是有道理的。2、 估算作为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据。估算为判断计算器计算得是否准确，包括孩子们口算、笔算的结果是否

6、合理，提供了重要的依据。小学生开始使用计算器，算出来的结果一般都是准确的，但有时候由于操作失误也可能会出现问题，如果学生有了估算的意识和能力，就能很快发现计算器计算的结果其取值范围是否合理。过去我们要用加减法的互逆关系和乘除法的互逆关系来验算，现在用估算的方法就可以解决了，这也是估算的重要应用。 3、 估算有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要途径。4、 估算对学生后续的数学学习有重要作用。三、估算教学该如何进行？1、 培养估算意识。2、 形成估算策略。四、如何评价估算？关于估算的评价，我们先来看一个案例。timss 测试timss（为“国际数学和科学评测趋势”的缩写）测试是由

7、国际教育成就评价协会发起和组织的国际教育评价研究和评测活动，也是有史以来最大、最全面、最严格的国际比较研究项目。曾于 1995 年 、1999年、2003 年做过 3 次测试。这 3 次测试是当代青少年数学教育和科学教育的重要的国际比较研究，对我国的数学教育和科学教育有一定的启发和借鉴意义。在测试中，也有考查学生估算能力的题目，下面是其中的一些：1、 史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用水量大约是多少升？a、30000 b240000 c、300000 d、2400000 e、30000002、约翰想在磁带上录 5 首歌，每首歌所用的时间如下表 歌 1时 2 分 41 3 分

8、10 2 分 51 秒 3 分间 秒23453 分 32 秒秒估计一下他录完这 5 首歌需要多少时间，并解释你的结果。（正确答案：1、将每段时间正确地按分钟取整。如：3+3+3+3+3或 3+3+3+3+4；2、 将每段时间正确地近似到 5 秒 ，10 秒 ，15 秒或 30 秒，然后相加；3 没有显示计算过程，但有类似于“四舍五入”或“化为整分数”的表述；4、将各段时间都按 3 分钟相加，然后用 15 分钟加上 14 秒 ；5、其他合理的答案。错误答案：1、每段时间都进行四舍五入，但其中出现了一些错误；2、将 13 分 134 秒改写成 14 分 34 秒；3、其他错误答案。）3、保罗用 5

9、 元去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：牛奶1、50 元 鸡蛋 1、29 元 面包 1、44 元在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？a 当保罗试图确认 5 元是否够用时；b 当售货员将每种食品的价钱输入收银机时；c 当保罗被告知应付多少钱时；d 当售货员数保罗所付的费用时。这些题目究竟能给我们什么重要启示呢？ 在估算或估测过程中，由于每个同学都有自己的想法，面对同一问题所采用的策略不尽相同，因而估算结果往往不是唯一的，是不是估算的值离精确值越接近越好呢？如何评价估算？上述第 2 题的评价标准是很宽松的，只要学生的想法合理就可以了，这与我们平时对于估算的评价

10、有些不同、我们对于估算结果的接受范围过窄。保罗购物的题目更是让人耳目一新。我们平常见到的估算题目模式比较单一，大多都是估一估价钱够不够，而这道题目的问法却是“在下列哪种情况下使用估算比精算有意义”。这样的提法使我们很受启发。这样的问题可以测量出学生的估算意识和估算能力。那么我们在实际教学中该如何对估算进行评价呢？首先把估算分为两种：一种是根据实际问题进行的估算；一种是脱离实际问题的情景、纯算式的估算。1、根据实际问题选择合理的估算策略，结果合理方为正确。也就是说，学生只要能够解决实际问题，那这个估算结果就应该是合理的。2、纯算式的估算，结果落在区间内方为正确；但要根据不同年龄学生的认知水平，给

11、予有针对性的评价。有些题目，脱离了实际问题情景，属于纯算式的估算，在这种情况下，我们提出：不能简单地把估算结果是否与精确值最接近作为唯一的标准，只要落在区间内，就视为是合理的。这个区间也就是它的取值范围。同时，对不同年龄的学生要有不同的评价标准。如低年级学生刚刚接触估算，它的估算结果落在区间内，但是范围比较大，我们觉得也是可以的。高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他们不断 地进行反思、调整，使估算的结果能落在更合理的位置上。举个例子来说：78x365 的结果大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能这样估：70x300，80x300 或者 80x400，我们都可以视其为合理的。等有了一定

12、的计算技能以后，老师要引导学生不断地进行反思，例如，可以估成 80x350，这时候的范围就比原来要小多了。另外，从命题的角度来看，能不能让题目更适合学生用估算的方法来解答？这样有利于学生估算意识的培养，提升估算策略的选择能力。3、只要估算结果落在合适的数量级中，视为合理。如上述 timss 测试的第一题，就是在考查学生的数量级概念掌握情况。只要学生的估算结果落在合适的数量级中就可以视为合理。总之，关于评价的问题还有待于进一步研究。但我们认为，学生们估算的策略不同，只要是合理的，就应当鼓励他们大胆地尝试哦，积极解释自己的观点。在这个过程当中，肯定会有很多有价值的东西涌现出来，教师要小心翼翼地去呵

13、护这种探究精神，不要轻易地用一两句话否定一种方法，而应给他们一种宽松的氛围，让他们不断地学会调整，学会反思，提升判断能力。教师要不断地站在学生的角度去思考、挖掘这些方法的思维价值，利用这种近似的意识来发展学生的数学思维。 四、一辈子孤单并不可怕，如果我们可以从中提炼出自由，那我们就是幸福的。许多长久的关系都以为忘记了当初所坚持与拥有的，最后又开始羡慕起孤单的人。五、恋爱，在感情上，当你想征服对方的时候，实际上已经在一定程度上被对方征服了。首先是对方对你的吸引，然后才是你征服对方的欲望。 六、没有心如刀割，不再依依不舍，只有，沉默相隔七、和你在一起只是我不想给任何人机会。八、一个人总要走陌生的路

14、，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本是费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了。九、无论我们爱过还是就这样错过，我都会感谢你。因为遇见你，我才知道思念一个人的滋味；因为遇见你，我才知道感情真的不能勉强；因为遇见你，我才知道我的心不是真的死了；因为遇见你，我才知道我也能拥有美丽的记忆。所以，无论你怎么对待我，我都会用心去宽恕你的狠，用心去铭记你的好。十、爱情需要的是彼此互相的照顾，当我们心爱的人累了，我们不是坐在一边不理，而是多陪对方谈谈心，对方需要什么的时候，自己尽量的满足对方的需求，至少可以让对方知道，在自己身边的感觉是如此的温暖。十一、自从你出现後，我才知道原来

15、有人爱是那麽的美好十五、不管你是多么的爱对方，但千万不可当第三者。细想，默然。因为知道，这样的故事一开始便注定了结局，一开始就注定在这个故事里，很多人会受伤。离开的总是要离开，挽留不住，就像彼岸花，穷其一生，花叶仍是生生相错。十六、什么叫快乐？就是掩饰自己的悲伤对每个人微笑。十七、爱情与视力无关，任你看得再怎么清楚，在爱里只有模糊。因为太聪明太理智就没有办法恋爱，爱情根本是盲目的。十八、恋爱就像剪头发，这种事情不到最后是不知道结果的，结果能否令每个人皆大欢喜，无人保障，但是一切都是自己的选择。十九、因为爱过，所以慈悲：因为懂得，所以宽容。二十、那些随风散落的微笑眼神，仿似落寞诗人的爱情诗句，一

16、段一段，错落成行。孤独的钟鸣彻夜悲鸣，那些如花容颜，终不敌过时间切割的颓败，我们忧伤的仰望阳光，看流年未亡年华尽耗。二十一、一个人一生可以爱上很多的人，等你获得真正属于你的幸福之后，你就会明白一起的伤痛其实是一种财富，它让你学会更好地去把握和珍惜你爱的人。二十二、爱一个人，由天由人却由不得自己。不由自主只因刻骨铭心，不离不弃只因无法代替。总是心有期待，才有灯火阑珊处的望眼等待；总是情怀善待，才有心甘情愿地付出所有，习惯的依赖。也许你的世界一无所有，但在爱你人的心里，你就是全世界。珍惜一个深爱你的人，更要珍藏一颗为你融入生命的心。二十三、就在我以为一切都没有改变只要我高兴就可以重新扎入你的怀抱一辈子不出来的时候，其实一切都已经沧海桑田了，我像是一躲在壳里长眠的鹦鹉螺，等我探出头来打量这个世界的时候，我原先居住的大海已经成为高不可攀的山脉，而我，是一块僵死在山崖上的化石二十四、幸福，不是长生不老，不是大鱼大肉，不是权倾朝野。幸福是每一个微小的生活愿望达成。当你想吃的时候有得吃，想被爱的时候有人来爱你。 二十五、有时，爱也是种伤害。残忍的人，选择