热传导方程与扩散方程

1、1 第二章 热传导方程与扩散方程 v热传导方程 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假 定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交 换，来研究物体内部温度的分布规律。 物理模型 2 x y z o dSn Fourier实验定律实验定律 :成正比导数 法方向的方向度沿曲面 与物体温的热量面积 流过一个无穷小法线方向 内沿物体在无穷小时段 n u dS dQdS n t .),(dSdt n u zyxkdQ 注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，.异号与故 n u dQ 3 ., 它所包围的区域记为内任取一闭曲面在物体G .),( 2 1 21 t t dtdS n u z

2、yxkQ tt的全部热量为流进闭曲面到从时刻 .),(),(),(),( ),(),(, 12 2121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxc tzyxutzyxutt 它所吸收的热量是 变化到温度从中在时间间隔 ., 为密度为比热其中 c 4 由热量守恒定律，物体内部无热源时，由热量守恒定律，物体内部无热源时， dxdydzdt t u zyxzyxc dxdydzdt z u k zy u k yx u k x t t t t 2 1 2 1 ),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxc dtdS n u zyxk t t ),(),(),(),( ),( 12

3、2 1 2112 ttttttt 通过边界的流入量热量热量 5 交换积分次序交换积分次序 2 1 0 t t dxdydzdt z u k zy u k yx u k xt u c 则有热传导的齐次方程均是任意的及注意到, 21 tt . 0 z u k zy u k yx u k xt u c 6 211212 t tt ttt ttt t 热量 热量通过边界的流入量 热源的生成量 若物体内部有热源，若物体内部有热源， 程则有热传导的非齐次方 ).,(tzyxf z u k zy u k yx u k xt u c 7 数学模型 2 ( , , , ) u auf x y z t t 二维的

4、情形： 22 2 22 ( , , ) uuu af x y t txy 一维的情形： 2 2 2 ( , ) uu af x t tx 其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C， 222 222 xyz 如果物体是均匀的，且各向同性的，则有如果物体是均匀的，且各向同性的，则有 8 v定解条件 边界条件 给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体表面的限制。 一般来有三种类型： (0,) ( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t 第一类边界条件： 初始条件给出物体在初始时刻 t=0 的温度 ( , , ,0)( , , )u x y zx y z

5、 第二类边界条件： (0,) ( , , , ) u kg x y z t n 第三类边界条件： (0,) ( , , , ) u ug x y z t n 9 v定解问题 由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象， 它构成一个定解问题 混合问题： 初始问题： 2 2 2 ,0 ( ,0)( ), uu axt tx u xxx 2 2 2 ,0,0 (0, )( , )0,0 ( ,0)( )0 x uu ax l t tx utu l tt u xxx l 10 v扩散方程 考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体， 假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子 的浓度在时刻 t 的分布规律。

6、 物理模型 数学模型 ( , , , ) u D uf x y z t t 其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在 (x,y,z) 处的分子浓度 f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数 D 为扩散系数 11 第二节初边值问题的分离变量法第二节初边值问题的分离变量法 12 n 定解问题 )(| 0|, 0| 0, 0 0 2 xu uu Lxuau t Lxx xxt )()(),(tTxXtxu 0)()0( 0)()()0()( LXX LXtTXtT 22 2 2 2 2 /)/( XXTaT TXa TXa TXa XT TXaXT l 未知函数分离 l 泛定方

7、程分离 l 边界条件分离 l 分离结果 0 0)()0( 0 22 2 TaT LXX XX 13 )exp()( 22 taAtT kkk 0sin)( 0)0( sincos)( LDLX CX xDxCxX LkxxX kkk /,sin)( NkLkkL L ,/ 0sin l 空间方程解出 l 非零解条件 l 非零解 l 时间方程解出 l 分离结果的求解 0 0)()0( 0 22 2 TaT LXX XX 14 典型问题的求解 xtaAtTxXtxu kkkkkk sin)exp()()(),( 22 xAx kk sin)( 11 sin),( 22 k k ta k k k x

8、eAtxuu k l 初始条件要求 l 分离结果的合成 l 再合成半通解 l 系数的确定 xdxx L A k L k sin)( 2 0 l 过程小结 l分离变量分别求解合成半通解由初始条件确定系数 15 分离变量流程图 xxt uau 2 0| 0 Lxx uu)(| 0 xu t )()(xXtTu 0)() 0 (LXX XXTaT/ )/( 2 0 22 TwaT0 2 XwX )exp( 22 twaAT L k xX ,sin )()(xXtTu kkk kk XTu ),( txuu 16 典型问题的求解 n 例题1 )cos(sin| 0|, 0| 0, 0 0 0 2 xB

9、Axu uu xuau t xx xxt NktakATkxX kkk ),exp(),sin( 22 0)()0( 0 , 0 )()(),( 2 22 XX XX TaT tTxXtxu 0, 3sin2sinsin2sinsin sin)cos(sin 2 2 1 21 321 2 1 k k ABAAA xAxAxAxBxA kxAxBAx 1 22 sin)exp( k k kxtakAu l 代入初始条件 l 分离变量 l 分别求解 l 合成半通解 17 第二类边界条件 n 定解问题 )(| 0|, 0| 0, 0 0 0 2 xu uu Lxuau t Lxxxx xxt )ex

10、p( , 2 , 1 , 0,/),cos( 22 2 tawAT wkLkwwxX kkk )()(),(tTxXtxu 0)( )0( LXX XXTaT/ )/( 2 )()( 0 xXAAx kk 1 0 )()( k kk xXtTTu l 初始条件要求 l 未知函数分离 l 泛定方程分离 l 边界条件分离 l 本征运动 l 半通解 18 典型问题的求解 n 例题2 xAu uu xuau t xxxx xxt 2 0 0 2 cos| 0|, 0| 0, 0 000 22 , 1 ),exp(),cos( ATX NktakATkxX kkk 0)( )0( 0 , 0 )()(),( 2 22 XX XX TaT tTxXtx