4第四节-正交变换

1、第四节第四节 正交变换正交变换 定义定义9 9 欧氏空间欧氏空间V的的线性变换线性变换A称为一个称为一个正交变换正交变换, , 如果如果它保持向量的内积不变它保持向量的内积不变，即对，即对任意的任意的, V, 都有都有 (A, A)=(, ). 正交变换正交变换可以可以从几个不同方面从几个不同方面公平加以刻划公平加以刻划. 在解析几何中，我们在解析几何中，我们有正交变换的概念有正交变换的概念. 正交正交 变换就是保持点之间的距离不变的变换变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在在一般的一般的 欧氏空间中欧氏空间中，我们有，我们有 定理定理4 设设A是是n维维欧氏空间欧氏空间V的一个的一个线性变

2、换线性变换，于，于 是下面是下面四个命题四个命题是是相互等价相互等价的：的： 1)1)A是是正交变换正交变换； 2)2)A保持向量的长度不变保持向量的长度不变，即对于，即对于V，|A|=|； 3)3)如果如果1,2,n是是标准正交基标准正交基, 那么那么A1,A2,An 也是也是标准正交基标准正交基； 4)4)A在在任一组标准正交基下任一组标准正交基下的的矩阵是正交矩阵矩阵是正交矩阵. 证明证明 ( (1)1)2)2) ) 1)1)2)2)因为因为A是是正交变换正交变换，即有，即有(A, A) =(, )， 两边开方即得两边开方即得 |A|=| . (A, A)=(, )， (A, A)=(,

3、 )， 此即为，此即为，A是是正交变换正交变换. 1)1)2)2)因为因为A保持向量的长度不变保持向量的长度不变，即有，即有 及及 (A(+), A(+)=(+, +) . 把最后的等式展开得把最后的等式展开得 (A, A)+2(A, A)+(A, A)=(, )+2(, )+(, ). 再利用前两个等式，就有再利用前两个等式，就有 (A, A)=(, ). ( (1)1)3)3) ) 设设1,2,n是一组是一组标准正交基标准正交基，即有，即有 . ), 2 , 1,( .,0 ;,1 ),(nji ji ji ji 当当 当当 与与 A=x1A1+x2A2+xnAn. 1)1)3)3)因为因

4、为A是是正交变换正交变换，所以有，所以有 (Ai, Aj)=. ), 2 , 1,( .,0 ;,1 ),(nji ji ji ji 当当 当当 这就是说，这就是说，A1,A2,An 是是标准正交基标准正交基. 1)1)3)3)因为因为A1,A2,An 是是标准正交基标准正交基，则由，则由 A=y1A1+y2A2+ynAn. =x11+x22+xnn. =y11+y22+ynn. 即得即得 (, )=x1y1+x2y2+xnyn=(A, A). 因而因而A是是正交变换正交变换. ( (3)3)4)4) ) 3)3)4)4)由上因为由上因为A1,A2,An也是也是标准正交基标准正交基， 那么那么

5、A就是由就是由标准正交基标准正交基1,2,n到到A1,A2,An 的过渡矩阵，因而的过渡矩阵，因而A是是正交矩阵正交矩阵. 证毕证毕. 因为因为正交矩阵正交矩阵是是可逆的可逆的，所以，所以正交变换正交变换是是可逆可逆 的的. 由定义不难看出，由定义不难看出，正交变换正交变换实际上就是一个欧实际上就是一个欧 氏空间到自身的氏空间到自身的同构映射同构映射(3)，因而，因而正交变换正交变换的的 乘积乘积与与正交变换正交变换的的逆变换逆变换还是还是正交变换正交变换. 在标准正在标准正 交基下交基下，正交变换正交变换与与正交矩阵正交矩阵对应对应，因此，因此，正交矩正交矩 阵阵的的乘积乘积与与正交矩阵正交

6、矩阵的的逆矩阵逆矩阵也是也是正交矩阵正交矩阵. 如果如果A是是正交矩阵正交矩阵，那么由，那么由 AAT=E 可知可知 |A|2=1或者或者|A|=1. . 因此，因此，正交变换正交变换的的行列式行列式等于等于+1或或- -1. 行列式行列式等于等于 +1的的正交变换正交变换通常称为通常称为旋转旋转，或者称为，或者称为第一类的第一类的； 行列式等于行列式等于- -1的的正交变换正交变换称为称为第二类的第二类的. 例如例如，在，在欧氏空间欧氏空间中任意取中任意取一组标准正交基一组标准正交基 1, ,2,n ，定义，定义线性变换线性变换A为：为： A1=- -1 , Ai=i , i=2,3, ,n

7、. 那么，那么，A就是一个就是一个第二类的第二类的正交变换正交变换. 从几何上看，从几何上看， 这是一个这是一个镜面反射镜面反射 (参看本章习题参看本章习题15) . 例例1 令令H是空间是空间R3里里过原点过原点的一个的一个平面平面，对任意，对任意 R3 ，记，记对于对于H的的镜面反射镜面反射的的像像是是 . 则则映射映射 例例2 设设L(R3)，对任意向量，对任意向量=(x1,x2,x3)R3 ，令，令 ()=(x2,x3,x1). 则则是是R3的一个的一个正交变换正交变换. :| 是是R3的一个的一个正交变换正交变换. 因为因为对应的矩阵是对应的矩阵是A=E- -2T为一个为一个正交矩正交矩 阵阵，其中，其中是是平面平面H的的单位法向量单位法向量. 001 100 010 A 因为因为对应的矩阵是对应的矩阵是 为一个为一个正交矩阵正交矩阵. 例例3 将将R2的每一向量的每一向量旋转旋转一个角一个角的的正交变换正交变换关于关于 R2的的任意标准正交基的矩阵任意标准正交基的矩阵是是 cossin sincos 又令又令是例是例1中的中的正交变换正交变换. 在平面在平面H内取内取两个两个 正交的单位向量正交的单位向量1,