初二奥数题及答案(20210105072907)

1、初二数学奥数1 如图，梯形 ABCD中, AD/ BC, DE EC, EF/ AB交 BC于点 F, EF= EC,连结 DF。(1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形； 若AD= 1, BC= 3, DC=2，试判断厶DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点 P,使厶PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿B宀C向终点C运动，连接DM交AC于点N.(1) 如图251，当点M在AB边上时，连接BN. 求证： ABNADN ; 若/ ABC = 60 AM = 4，求点 M至U AD的距离；(2)

2、如图252,若/ ABC = 90记点M运动所经过的路程为 x ( 6x1-4J-1.J_.-(1) 如图1,当Rt ABC向下平移到 Rt AB1C1的位置时，请你在网格中画出Rt ABC关 于直线QN成轴对称的图形；(2) 如图2,在Rt ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当 x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？(3) 在Rt ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最 大值和最值分别是多少？为什么？5、如图， ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分线交于 0点，过0点作EF/ BC交AB、AC 于

3、E、F.(1) 图中有几个等腰三角形 ？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.如图，若 ABM AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？如图，若 ABC中/ B的平分线B0与三角形外角平分线 CO交于O,过0点作 0E / BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗 ？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由。EFDDB6、已知，如图， ABC 中，/ BAC=90, AB=AC,D 为 AC 上一点， 且/ BDC=124。，延长 BA到点E,使AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点F，求/ E的

4、度数。7、如图，正方形ABCD勺对角线AC,BD交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点0处，让其绕点0旋转，三角尺的直角边与正方形 ABCD勺两边交于点 E和F。通过观察或测量 0E,0F的长度，你发现了什么？试说明理由。1 解：(1 证明：T EF=EC ,/ EFC= / ECF, / EF/ AB ,/-Z B= / EFC,/ B= Z ECF，梯形 ABCD是等腰梯形；1(2) DCF是等腰直角三角形，证明：T DE=EC , EF=EC，/ EF= CD ,2 CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形)，1 t梯形ABCD是等腰梯形，

5、 CF= ( BC-AD ) =1 ,/ DC= 2 , 由勾股定理得:2DF=1 , DCF是等腰直角三角形；(3) 共四种情况：PB=1 , PB=2, PB=3- 2 , PB=3+22、 证明：(1 ，四边形 ABCD是菱形， AB=AD , Z仁Z 2. 又t AN=AN , ABN ADN .解：作 MH丄DA交DA的延长线于点 H . 由AD / BC ,得Z MAH= Z ABC=60 .在 Rt AMH 中，MH=AM?sin60 =4 x sin60 =2 , 3 . 点 M 至U AD 的距离为 23 . AH=2 . DH=6+2=8 .(2 )解：ABC=90 ,菱形

6、 ABCD 是正方形.CAD=45 .下面分三种情形：(I)若 ND=NA，则Z ADN= Z NAD=45 .此时，点M恰好与点B重合，得x=6 ;(H)若 DN=DA，则Z DNA= Z DAN=45 . 此时，点 M恰好与点 C重合，得x=12 ;(川)若 AN=AD=6，则Z 1 = Z 2./ AD / BC,1 = Z 4,又Z 2= Z 3, Z 3= Z 4. CM=CN . AC=6 2 . CM=CN=AC-AN=6 2-6.故 x=12-CM=12- ( 6 2-6) =18-6 2 .综上所述：当x=6或12或18-6 2时， ADN是等腰三角形。3、解：(1)用直尺和

7、圆规作图，作图痕迹清晰；(2) ABP1 ADP，且 ABP1可看成是由 ADP绕点A顺时针旋转90而得.理由如下：在 ABP1和厶ADP中，由题意：AB=AD , AP=AP1,Z PAD= Z P1AB , ABP1 ADP ,又ABP1和厶ADP有公共顶点 A，且Z PAP1=90 , ABP1可看成是由 ADP绕点A顺时针旋转90而得；(3) 点P (1, 1)关于点A ( 0, 4)左转弯运动到 P1 (-3, 3),点P1 (-3,3)关于点B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3),点P2 (-5 ,3)关于点C(-4 ,0)左转弯运动到点P3(-1 ,1),点P3 ( -1

8、, 1 )关于点D ( 0 , 0)左转弯运动到点 P4 ( 1 , 1 ),点P4 (1, 1)关于点A (0, 4)左转弯运动到点P5 (-3, 3),点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，点P2009的坐标为(-3 , 3) 点P2010的坐标为(-5, 3).4、解：(1)如图， A2B2C2是厶A1B1C1关于直线 QN成轴对称的图形;N2 p图1(2)当厶ABC以每秒1个单位长的速度向下平移 x秒时(如图2)，则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S 梯形 QMBC-S AMQ-SSBC11_ 1= 4+20) (x+4) - X 20x-X 4 X 422 2=2x+4

9、0 (0 x 16).由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且 y最小=40,当x=16时，y取得最大值，且 y最大=2X 16+40=72 ;(3 )解法一：当厶ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时 16W xw 32, PB=20- (x-16) =36-x , PC=PB-4=32-x ,111y=S 梯形 baqp-Scpq-Ssbc =(4+20) ( 36-x) - X 20 X( 32-x) - X 4 X 4222=-2x+104 (16 CFO ,如下图所示： EF / BC,aZ 2= / 3,又/ 1 = / 2 ,/ 仁/3, BEO为等腰三角形，在 CFO中，同理可证. EF=BE+CF 存在.(3) 有等腰三角形： BEO、 CFO,此时EF=BE-CF ,如下图所示： OE / BC， / 5= / 6,又/ 4= / 5，/ 4= / 6 , BEO是等腰三角形，在厶CFO中，同理可证 CFO是等腰三角形，此时 EF=BE-CF ，6、解：在 ABD和厶ACE中，/ AB=AC，/ DAB= / CAE=90 AD=AE , ABD ACE ( SAS),/ E= / ADB ./ADB=180 -Z BDC=180 -124 =56 ,/ E=56 .7、解： OE=OF.证明：正方形 ABCD 的对角线 AC, BD