Hopf分岔的研究及其应用-四川大学课程中心

1、四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用Hopf 分岔的研究及其应用(数学与应用数学专业 )学生 陈恒 指导教师 杜正东摘要 ：本文主要对 Hopf 分岔的概念作出表述 ,并对其相关判别进行一系列的讨论， 着重介绍了两种常用的方法 ,即中心流形 Poincare Birkhoff 正规形方法和后继函数法。最后 ,文章还给出了它在三次微分系统中的一个应用。关键词 ：分岔、平衡点、 Hopf 分岔 ,后继函数1 引言微分方程理论在自动控制、航天技术、生态生物等方面一直有着广泛的应用，在这些实际应用中，系统通常都是一些含有参数的微分方程组。考虑如下形式的系统：dXdtf (X, , )1)其

2、中， f : Rn Rp Rn 是充分光滑的函数， n2，p1，不妨设( , ) ，R， 为普适开折参数或其它自由参数。系统( 1)的解显然随参数 的变化而变化。如果 在 0 的一个小邻域内变为分岔参数，化时，系统( 1)在相空间的相图拓扑结构发生了变化，那么就称系统发生了分岔，称0 为分岔值。分岔是一种十分普遍的现象， 而且它对把握系统解的性质和行为有着十分重要的意义。 分岔包括静 态分岔和动态分岔。 Hopf 分岔即是一种十分重要的动态分岔现象，若系统(1 )发生发生 Hopf 分岔，则参数 在分岔值 0 附近变化时， 系统平衡点的稳定性发生改变， 并在平衡点的小邻域内产生周期解。 在实际

3、模型中 Hopf 分岔是十分普遍的。 例如：经济危机的周期性发生， 心脏的周期跳动都是一种 Hopf 分岔。而今在应用数学中， Hopf 分岔理论已经成为研究微分方程小振幅周期解产生和消亡的经典工具。 因此， 对 Hopf 分岔的研究是十分有意义的。本文讨论了 Hopf 分岔，并对其研究方法作了一些总结，最 后给出了一个实际应用。 2 基本概念不妨设系统( 1)的平衡点总在原点 O，即：f (0, ) 0 设 A( ) (Df )(0, ) ，且 A( )有特征值( H1)( ) i ( ), (0) 0, (0) 0 0(H2)A( ) 的其它特征值实部都小于 0在( H1)( H2)假定下

4、，这时可以证明(详见文献 5 )四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用存在分岔函数 g0:Rn R1 R1,使得g0（x, ） xr（x2, ），并且 r（u, ） 0,（u x2 ）在原点附近的每 一个解都一一对应到系统（ 1）的小振幅周期解。这里， g0 可由 Lyapunov Schmidt 约化得到。若再假设横截性条件：（ H3）0 0成立。其中， | 0 0 ，那么系统周期解 r 满足024（H4）rc0 c2r 2 c4r4 0其中， c0,c2. 是关于 的函数。且可证： （c0） 0等价于 0（0） 0 另由隐函数定理，可知（ H4）有唯一解 r 。若又有：（ H5）

5、c2 0 （ 0 ）x 使极限环的存在唯一性得到保证，那么：（H4）式即定义了一条渐近抛物线，且满足对任意同号存在唯一 r 0 ，并且不存在 r 使 异号。该条曲线即为经典 Hopf 分岔的图像。现在我们给出 Hopf 分岔的定义：定义 1 若系统（ 1）满足条件（ H1）（H2）（H3）（H5），即称该系统将发生 Hopf 分岔 。 这里，参数 不会引起系统相图拓扑发生质的改变，但是若系统不满足条件（4）和（ 6）任意其中之一，则 将对系统产生重要影响。定义 2 若系统（ 1）对条件（ H3）（H5）至少有一个不满足，则称其为 退化 Hopf 分岔的情形 。 下面就对退化的 Hopf 分岔作

6、一些简要的讨论。情形 1 若（ H3）成立，而（ H5）不成立若 x R2 ，那么当0时， x0 0 为细焦点，则（ H5）成立等价于一阶焦点量不等于 0（ H5）不成立等价于一阶焦点量等于 0定义 3 设系统第一个不为 0 的焦点量为第 k 个，则把 x0 0 称为 k 阶细焦点 。对系统（ 1）若 x0 0为 df f （ x,0,0） 的 k阶细焦点，则dt1） 原系统在参数 变化时，至多产生 k 个小振幅周期环2） 对1 j k的每个正整数 j,（ , ）在（0,0） 附近适当扰动 ,可使原系统正好产生 j个极限环。情形 2 若（ H5）成立，而（ H3）不成立这时必 须用奇异性理论进

7、行讨论。通过 Lyapunov schmidt 约化，得 到分岔函 g0（x, ） xr（x2, ） ，然后转为讨论 r（u, ） 的奇点。限于篇幅，这里不再详述 。3 Hopf 分岔的研究方法Hopf 分岔的研究方法很多，如文献 5 总结出了 6 种不同的方法，包括：中心流形 Poincare Birkhoff 正规形方法（见 7 ）、 Lyapunov Schmidt 约化法（见 4 ）、 Lyapunov 常数法（见 1 ）、后 继函数法（见 6 ）、平均法（见 2 ）以及内蕴调和平衡法（见 3 ）。四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用本文主要对两种最常用的方法，即中心流形P

8、oincare Birkhoff 正规形方法和后继函数法进行讨论。至于其它方法，有兴趣的读者看参看其后给出的相关文献。、中心流形 Poincare Birkhoff 正规形方法这是十分著名的方法，如今已将此方法应用到 Hilbert 问题的解决当中。该方法是通过中心流形定理将高维系统约化到二维平面上，然后通过一个近似恒等变换将此二维系统化为PB正规形。最后依靠对 PB 正规形的讨论得到极限环的周期关系，进而判别Hopf 分岔。考虑高维系统：dxdx f (x, ) dtx, f Rn,R (2)f 充分光滑， f (0, ) 0 且满足条件( H1)( H2)(H3)其扭扩系统为：dxdt f

9、 (x, )dudt(3)其线性部分矩阵为：dfx(0,0)dx0此时系统有一个三维中心流形。相应的系统(2)可写成A( )x h.o.t dt(4)其中， h.o.t表示高阶项。令 q(u),q*(u)分别为 A( )关于 ( ) ( ) i ( ) 的右左特征向，即：或等价的有：对 u,v Cn 引入内积。设A( )q( )(q*( )T A( )A( )q( )T*A( )T q*( )u1v1， v .nvn( )q( )( )(q*( )T( )q( )( )q* ( )nu,vukvkk1四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用总可以取合适的 q(u),q*(u)使得 q(

10、 ),q( )* 1,易知 q( )*,q( ) 0取非异实矩阵 P0 (Re q (0) Im q(0)B) ，其中 B为n (n-2) 阶矩阵 ,使得P0非奇异 。令 x P0y， 即 y P 1x可以将( 3)化为o000ddt0 y G(y, )0则系统有三维局部中心流形，即 存在0 中心流形表示为：( y, ) y1, y2 w y1,y2Rn , y1,y2 ，其中 w:R2 R Rn 2由此得到中心流形在 (x, ) 坐标下的表达式：n2 (x, ) n 1(x, ) ( y1 Req(0) y2Im q(0)ej j, )n j 1其中 e1 ,., en为 Rn的标准正交基；

11、 w (w1,., wn 2) 。可以看成由片 x Rn 1 (x, ) 拼凑而成。中心流形是三维的，而对固定的 每个片 是二维的，则系统约化到每个片上去，可得到二维系统。令 z(t) q*( ), x(t) ， 则w(t) x(t) z(t)q( ) z(t)q( ) x(t) 2Re z(t)q( ) 这里实际上给出了一个 Rn 的直和分解。因为，令P1 I q(q*)T q(q* )T 2Req(q*)TP2 I P1可以证明 P1,P2 都是投影算子，且P1xz(t)q z(t)qP2x(t)x(t) P1x P2x至此原方程变为 z(t) ， w(t) 的微分方程，即可将系统( 4)

12、化为：dz5)( )z G(z,z, , ) ddut du A( ) H(z,z, , )且G(z, z, , ) 0q*( )f(w 2Re(2 q), H(z,z,w, ) f (w 2Re(2 q), ) 2Re( q)四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用在片 u 上有局部坐标表示：( 5)约化到上为：x (z,z, ) 2Re zq( )dt ( )z g(z,z, )dtg(z,z, ) G(z,z, (z,z, ), )其中， w(z,z, ) 满足dwdt A( )w H(z, z,w, )至此已由中心流形将一个高维系统约化到一个二维系统，不妨将二维系统设为dx f

13、 (x, ),x 2,dtf(0, ) 0 且满足条件( H1)( H3)又由于 fx(0, ) (此处为 Frechet 导数)可通过一线性变换化为标准型故不妨设系统为dx( )dt( )( ) x h.o.t()6)令 z x1 ix2 则系统( 6)可写成复数形式dz dt( )z g(z,z, )其中 ( ) ( ) i ( ) 。这时可以证明见文献 7 )存在一个近似恒同变换 zx( , , ) 将系统化为如下形式的 PB正规形：ddt( ( ) i ( )cj( )j12jh.o.t7)2)的讨论就简化为讨论PB 正规形。这样我们对原高维系统( 最后，对 PB 正规形进行讨论： 当

14、0 时，系统( 7)化为此时原点 O 为中心，周围全是周期为ddti0T 0 的周期解。四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用2当 0 时，设周期 T( ) h.o.t ， ( ),T( )分别有 Taylor 展式0( ) 0 2 (x1) 0等价于方程 (8)0以(0，0)为稳定焦点。 此时对充分小的 ，0存在函数 x1 x1( ) .2T( ) T0(1 1 2 2 .)通过考虑 Cauchy 问题c1( ) h.o.t并比较系数可得：Re c1 (0)(0)(0)(Im c1(0) 2(0) 2010当 2 0 时，向 0时，向 0 方向产生稳定极限环。二、后继函数法该法首先

15、是将系统的线性近似方程化为平衡点在原点且满足中心的形式， 然后对系统作三角代换并 根据条件沿某个方向作幂级数展开，最后定义后继函数通过其O 点与周期解的关系来判别。这里只讨论二维的情况。 若是高维系统， 可通过中心流形定理将其约化到平面上即可。 因此， 我们 可方便的通过二维 Hopf 分岔定理来判别。22定理 设w R2， w是开集， f :w(- 0, 0) R2, f (x, )是 x w, ( 0, 0) 上的解析函且周期为2()数。方程dxf (x, ) (8) dt对任意 有平衡点 O(0，0)，且 f (x, )在 x0处对 x的导算子 Df (0, )记做 A( ) 。A( )

16、 的特征值为共轭复数( ) i ( ), ( ) 0，又 (0) 0,d ( ) (0) 0 0 d则对充分小的 x，存在唯一解析函数(x) 有 (0) 0使方程 (8) 经过点( x，0)的轨道为闭轨，有 x1(0) 0 使方程 (8) 经过点 (x1( ),0) 的轨线是渐近稳定闭轨，且lim0 x21m( ) k 0m是某正整数)四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用3)(x1) 0等价于方程 (8)0以(0，0)为不稳定焦点， 此时充分小的， 0 存在函数 x x( )有 x(0) 0 使方程 (8) 经过点 (x( ),0) 的轨线是不稳定闭轨线，且 lim x1( ) k

17、 0(m是某正整数) 0 2m4 应用考虑如下的三次微分系统：9)xy1 2 2y 8 12 x 4 y ( 6 )x2 (a2 4 )xy (a3 2a6)y21 3 1 2 2()x3 ( a2)x2y a6xy242其中， a2 0, 0 且 1 ,1从系统易知有平衡点 (2,0), P(8 14,0), P (8 14,0)。考虑 P(8 4 ,0) ，为方便记 8 4 。作变换 11xu yv 将P 移至原点，得：uv1 1 2 2 v u ( 6 ) 3()u2 (a3 2a6) a6 v21 1 3 (a2 4 ) 2( a2 ) uv ( )u3 2 2 2 41 2 2( a

18、2)u2v a6uv222 a 1若2 ,且 a2 0，i.e. a21 ,则系统化为 ：a2uv1 3 2 2 (2 a2)(2 a2) 3v u ()u2 (a3 2a6) a6 v2 a2uv ( 2 22 )u32 a24a21 2 2( a2 )u2v a6uv22四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用又易得 0 ，再作变换1u 1 gvh系统可化为：ghhg13(2 a2 )T22 g (a3 2a6 ) a6 ha22 gh1(2a2)(2 3 a2)g3 (2a2T )g2ha6 gh2(12 3a ) adr 2 a2 cos2 (a3 2a6 ) a6 sin 2

19、a2 cos sin r 2 sin1(2a2 )(2a2 ) )cos32cos2sina6cossin2r 3sindrdt(d dt2 a2a234a22 ( )2(12 3a ) 2 2 2 cos2 (a3 2a6 ) a6 sin 22 a2a2 cos sin rcos(1a )(2 a2)(2 a2 ) )cos3 2 cos2 sin a6 cos sin2 r 2cos34a22 ( )2为方便记：13(1 3 )2 a2A2(a3 2a6 ) a6a2C(2 a2)(2 a2)34a22 ( )2(12a2 )E2a634a22( )2显见，微分方程组线性部分矩阵特征值为

20、一对纯虚根，即为中心。于是应用后继函数法计算一阶焦点量L1 。作变换g rcosh rsin则：将t 消去，得：四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用由 1 , 1可知：R2( )r2 R3( )r 3 .1 2 2 2 2 2( Acos2Bsin2Ccos sin )r2sin D cos2Ecos2sin2 2 2 2 3F cos sin2 sin ( Acos2Bsin2Ccos sin )2r3 cos sin .23设解为 r r1( )c r2( )c2 r3( )c3 .则r2( )0 R2()d，r3()0 R3()d2 0 R2()r2()d即得一阶焦点量为：2

21、2L1 r3(2 ) 0 R3( )d 2 0 R2( )r2( )d代入 r2( ),R2( ) ，整理计算得：256a2 2 ( a2)3 (2 8a3 16a6)(a2)2 (16a3 4)a2 8a2 3sgn(L1) sgn( ( 2 ) ) sgn( a2 )所以由 L1可知 ：0， L1 0，在 a2 附近 于是在 P 发生分岔，也即在 P 沿着曲线 H ( , ) 当 a2当 a2，为稳定极限环；a2，为不稳定极限环。a2发生 Hopf 分岔。a2 , a20a22参考文献 ：1 F.Gobber and K.D.Willamowski， Lyapunov approach t

22、o multiple Hopf Bifurcation ,J.Math. Anal.Apple.71(1979), pp.333-350.2 S.N.Chow and J.K.Hale, Methods of Bifurcation Theory, Spring-Verlag,Berlin.New York,1982.3 K.Huseyin and P.Yu, Bifurcations associatedwith a simple zero eigenvalue and two of pureimaginary eigenvalues,in Oscillations Bifurcations

23、 and Chaos pairs, F.V.Atkinson, W.F.Langford and A.B.Mingarelli eds.,C.M.S. Conference Proceeding 8, Amercian Mathemtucal Society, Providence ,RI,1987.四川大学本科毕业论文Hopf 分岔的研究及其应用4 M.Golubitsby and W.F.Langford, Classification and unfoldings of degenerate HopfBifurcation, J.Differential Equations, 41 (1981), pp.375-415.5 W.W.Farr, ChengzhiLi, I.S.Labouriau and W.F.Langfor Degenerate Hopf Bifurcation Formulas and Hilb