华师大版方程、不等式教案

1、2006年中考复习专题方程与不等式【复习内容与要求】一、方程和方程组的解法1、知识网络：1、考点要求：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。二、不等式与不等式组能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一

2、元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。 四、一元二次方程1、定义：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法（1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解；（2）分解因式法大家学过分解因式了，里面的方法很广，我相信大家也接触过，好想提取公因式，公式法，和十字相乘法，这比较常用。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解；（3）公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X=-b+-b2-4ac/2a3、解一元

3、二次方程的步骤（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式：（2）分解因式发的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式；（3）公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c；4、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“”，读作“diao ta”，而=b2-4ac，这里可以分为3种情况：（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=

4、0时，一元二次方程有2个相同的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）；五、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理）1、知识网络2、考点要求、理解一元二次根的判别式，会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。、掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们由已知一元二次方程的一根求另一根与未知数的系数，会求与一元二次方程两个根有关的代数式的值，已知两根会利用根与系数的关系求出方程。、会利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解有关的一元二次方程的综合题。六、可化一元二次方程的分式方程1、重点： 会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分

5、式方程必须验根。理解方程的同解原理。会运用换元思想方法等计算技巧。 列分式方程解有关应用题。1、难点： 会运用换元思想方法等计算技巧。 如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住基本量之间的关系，通过基本量之间的关系的分析设出未知数和列出方程。 清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合。七、列方程和方程组解应用题1、知识网络2、考点要求、掌握列方程和方程组解应用题的方法，能够熟练运用列方程和方程组解应用题。、通过列方程和方程组解应用题，提高分析问题和解决问题的能力。【方法指导】1.方程和方程

6、组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程或方程组来解决，这就是方程思想。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 2、解一元二次方程和一元二次方程的运用在中考内十分活跃，几乎每次中考都一定会有这样的题目，所以我在这里说一下。在解方程的时候，因为未知数的项的次数为2，所以解相应的也有2个（未知数的次数决定方程

7、的解），注意的一点是，在计算题的时候，要灵活应用公式法，配方法，分解因式法，在解x=x2时，注意不要失根。3、大家知道，二次函数有顶点式（,），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解。 4、一元二次方程和二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，图像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X

8、轴的交点。也就是该方程的解了。【例题选讲】例1、解方程：0.5x-0.7=6.5-1.3x 3.5x+ 1765(3x-12)+10+31-2=15 解：原方程化为：5x-7=65-13x（利用等式性质2，两边都乘以10） 移项、合并同类项得：18x=72，x=4原方程化为3.5x+（与是互为相反数） 移项得：3.5x=7 合并同类项得：3.5x=7，x=2移项、合并得：1765(3x-12)+10+31=17 两边除以17，并移项得：65(3x-12)+10=-30 两边除以6，并移项得：5(3x-12)=-15 两边除以5：3x-12=-3 移项、合并同类项得： 3x=9，x=3去括号得：

9、 移项、合并同类项得：去括号得： 通分化简：即 去分母得：18+2-4x=45-54x 移项、合并同类项得：50x=25，例2、解关于x的方程（a3）；(m+1)x=n-x解：去分母得：3(a+1)x-(x+6)=3(3x+b)+2x 去括号得：3ax+3x-x-6=9x+3b+2x 移项、合并同类项得：(3a-9)x=3b+6，即(a-3)x=b+2 a3，a-30，去括号得：mx+x=n-x 移项、合并同类项得：(m+2)x=n 当m-2时，原方程有唯一解：x= 当m=-2、n=0时，原方程有无数个解 当m=-2、n0时，原方程无解例3、在公式l=l0(1+at)中，已知l=80.096，

10、l0=80，a=0.，求t。解法一：把l=80.096，l0=80，a=0.代入公式中，得80.096=80(1+0.t)去括号得：80.096=80+0.00096t移项、合并同类项得：0.096=80+0.00096t化系数为1得：t=100解法二：解关于t的方程：l=l0(1+at)去括号得：l=l0+a l0t移项得：a l0t= l-l0由条件知a0，l00，a l00，t=当l=80.096，l0=80，a=0.时t=100例3、的解法二，是利用解方程的方法对公式变形，方法是：将所求字母t当作未知数，其余字母当作已知数，解字母方程，得到用含有作已知数的字母的代数式表示所求字母t，最

11、后求t的值变为求代数式的值。例4、当k取何值时，关于x的方程有解？解为正整数。解：解关于x的方程：去分母得：x-4-2kx+2=2移项、合并同类项得：(1-2k)x=4只有当1-2k0时，即时，方程有唯一解是要使方程的解为正整数，必须1-2k=1或1-2k=2或1-2k=4解得k=0或k=或时，方程有正整数解为：x=4或x=2或x=1例5、若关于x的方程无论k为何值时，它的解总是x=1，求m、n的值。解：k可为任何值，让k分别取0和1当k=0，x=1时，得m= 当k=1，x=1时，m=已求得，n=-4所以m、n的值分别是、-4例6、解方程： 解：原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这

12、个方程得。经检验，是原方程的根，是原方程的增根。原方程的根是。说明：去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可。例7.解下列方程（1） （2） 分析：（1）、（2）都是分式方程，可以通过去分母直接求；但通过观察发现（1）中两个分式互为倒数；（2）可以看成是关于的二次方程。所以（1）和（2）都可以用换元法求解。解（1）设，那么，原方程变形为，整理得，解这个方程得，。当时，即，去分母得，解得。当时，即，去分母得，解得。检验：把，分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根。（2）设，则原方程变形为，解这个方程得，。当时，解得；当时，解得

13、。经检验，都是原方程的根。说明：换元法是解分式方程常用的方法，使用此法要善于发现方程的特征，寻找系数之间的关系，使用换元法解题求得结果后仍需要验根。例8、解方程组（1）、 （2） 分析：（1）是由一个二元二次方程和二元一次方程组成的方程组，可以由得，并代入消元即可。（2）是有两个二元二次方程组成的方程组，而由可以得，这就把原方程组变为 这两个方程组都是（1）的形式，与（1）方法相同，代入消元即可。解：（1）由得，把代入得，整理得。解得，。将，分别代入得，原方程组的解为（2）由得，。它们与方程分别组成两个方程组： 解方程组可知，此方程组无解；解方程组得所以原方程组的解是说明：解方程组的基本思路就

14、是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法。例9、关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）、求k的取值范围；（2）、是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 解：（1）由题意可知，。（2）不存在。设方程的两根是。，。，。满足条件的实数k不存在。说明：（1）判断一元二次方程根的情况，须根据一元二次方程根的判别式，同时要注意对二次项系数不为零的条件不能忽略，（2）与两根有关的代数式，设法转化成有关两根和、两根积的式子即可。例10、设是关于x的方程的两个根，且满足，求m的值。 解：。对于任意实数m，方程恒有两个实数根。又。说明：有关一元二次方程两

15、根和、两根积的计算，需在方程有实数根的前提下方可进行。因此，不能忽略判别式大于等于零的条件。例11、已知是关于x的一元二次方程的两个非零实数根，问能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。 解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，则有又是关于x的一元二次方程的两个实数根，。假设同号，则有两种可能：若 即 此时m的取值范围是。若 即 而时方程才有实数根，此种情况不可能。综上所述，当时，方程的两实根同号。说明：此题为“探索型”试题，这类问题需要在解题过程中探索出结论，这类问题的结论不明确，但与条件有着密切的联系，解题时需灵活思考，探索出条件可能产生的结论。例12、近几

16、年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？ 解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y 天。根据题意得 解这个方程组得x=30,y=120 . 经检验x=30,y=120是方程组的解。（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元，根据题意，得 解这个方程组得m=13

17、5,n=60 .答：甲单独完成此项工程需要30天，乙单独完成此项工程需要120天。甲、乙两队单独完成此项工程，分别需要费用135万元、60万元。说明：此题是工程问题，这类问题涉及到工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，基本关系式是。在问题中，当工作总量不知道时，即只给出单位时间内完成总工作量的几分之几时，通常把总工作量看成“1”。例13、某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失面积400平方公里，计划今、明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数。 解：设每年

18、增长的百分数是x，根据题意得解这个方程得，（不合题意舍去）。答：每年增长的百分数是10%。说明：此题是增长率问题，要理解题意，这里给出的是三年治理水土流失面积的总和，而不是第三年治理的水土流失面积。例14、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20。

19、安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，由题意得： 解得： 答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。 （2）这栋楼最多有学生48451440（名） 拥挤时5分钟4道门能通过：1600（名）16001440建造的4道门符合安全规定。 说明：运用数学知识解决社会热点问题和实际生活中的问题，是中考命题的一大热点。 解题的关键是理解题意，将实际问题转化为数学问题。专题练习一.选择题

20、:1、方程的解是（ ）A、1 B、0 C、1或0 D、无解 2、下列一元方程中，没有实数根的是（ ）A、 B、 C、 D、 3、如果关于x的一元二此方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A、k1 B、k0 C、 k1 4、设的两根，那么的值为（ ）A、3 B、-3 C、6 D、-6 5、二元一次方程组的解是（ ）A、 B、 C、 D、 6.设a、b、c为实数，下列结论不正确的是（ ）A若ab，cd，则acbd B若ab，则C若，则ab D若，则 ab07.若abc，则（ ）A Bb（ab）c（ab） C Dacbc8.如果关于x的不等式无解，则a的取值范围是（ ）Aa3 Ba0 C

21、a0 Da09.，与的大小关系是（ ）A; B; C; D 二.填空题:1、方程的解为_。 2.若k是方程2x1=3的解，则4k2 ；3.Suppose（设）A spends 3 days finishing of a jobB spends 4 days doingof itNew if A and B work together,it will take days for them to finish it.4.二元一次方程组的解是 ；5.已知关于x的二次方程的一个根是-2，那么k ；6.已知是方程2xay=5的解，则a ；7.已知，那么代数式的值是 ；8.设a、b是整数，方程有一个根是，

22、则ab= ；9.以和为根的一元二次方程是 ；10.已知方程与的解相同，则a的值为 ；11.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组 （只要填写一个即可）；12.x的5倍与2的差不大于x与1的和的3倍，用不等式表示为 ；13.不等式5x115的非负整数解是 ；14.如果不等式组无解，则m的取值范围是 ；15.已知，若y0，则m的范围是 ；16.若不等式2x十b5x没有正数解，则k的范围为 ；17.已知抛物线开口向上，且交于y轴的负半轴，则a的取值范围是 ；18.已知不等式组的解集是1xb则ab ；三.解答题:1、解方程 2、解方程组 3.解下列不等式

23、（组）； ； ； ； 3、用换元法解方程 4、已知关于x的方程。（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）若是方程的两个实数根，且，求k的值。5.已知a是非零整数，且，试解关于x的方程。四、应用题：1、在防治“SARS”的战役中，为了防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务。生产了60箱后因为任务紧急，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，如果6天就完成了任务，求加快速度后每天生产多少箱消毒液。 2、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合作6周完成，需工钱5.2万元，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱408万元。若只选一个

24、公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司，还是选乙公司？请说明理由。3、“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由抽奖折扣。某顾客买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元。问这两种商品原销售价分别为多少元？ 4、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学，已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20分钟，问王老师的步行速度及骑

25、自行车的速度各是多少？ 5.如图，是福建省武夷山风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米），一学生从A处出发，以2千米时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为05时（1）当他沿着路线ADCEA游览回到A处时，共用了3时，求CE的长； （2）若此学生打算从A处出发，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在4时内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其他因素）6.永华自行车厂在2005年销售一种新型自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车车轮1000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮2200只，每辆自行车需要装配2只车轮；（2）该厂装配车间（自行车最后一道工序的生产车间），每月至少可装配这种自行车1000辆但不超过1200辆；（3）该厂已收到各地客户今年订购这种自行车共1350