最新圆锥曲线练习试题及详细答案

1、 精品文档圆锥曲线归纳总结 for yuri第部分：知识储备qqsin + cos221. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率a apk = tan , 0, )ax + by + c点到直线的距离d =00a + b22k - k夹角公式：tana =211+ k k2 1（3）弦长公式直线上两点a(x , y ), b(x , y )y = kx + b间的距离：11221或ab = 1+ k x - x = (1+ k )(x + x ) - 4x x ab= 1+y - y1222k12121 222

2、（4）两条直线的位置关系l l k k =-1 l /l k = k 且b b121 21212122、圆锥曲线方程及性质(1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）x2y2标准方程：+ =1(m 0,n 0且m n)m n距离式方程：(x + c) + y + (x - c) + y = 2a2222参数方程：qqx = a cos , y = bsin(2) 双曲线的方程的形式有两种精品文档 精品文档x2y2标准方程：+ =1(mn ,由 of =1得 =1(a b 0)c 1a b22又 af fb = 1即 =a 2(a+ c)(a - c) =1 = a - c22，2x2易得b =

3、1，故椭圆方程为 + y =122（2）假设存在直线 交椭圆于两点，且 恰为的垂心，dpqmlp,qf设，m (0,1),f(1,0)，故，=1p(x , y ),q(x , y )2kpq112y= x + m于是设直线 为 = + ，由得， +- =3x 4mx 2m 2 0y x ml22x + 2y = 222又mp fq = 0 = x (x -1)+ y (y -1) y = x + m(i =1,2)1221ii得即x (x -1)+ (x + m)(x + m -1) = 012212x x + (x + x )(m -1)+ m - m = 0由韦达定理得21 2122m -

4、 2 4m22- (m -1)+ m - m = 0233434解得m = -或 =1（舍） 经检验m = -符合条件。m3例 2已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点xm (2,1)，平行于个不同点。的直线 在 轴上的截距为l ya b ， 交椭圆于 、 两omlm(m 0)（1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围；m（3）求证直线、 与 轴始终围成一个等腰三角形。ma mb x分析：小黄同学，直线、 与 轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，ma mbx怎么处理？关键是把它转化成k + k =0。12精品文档 精品文档xy解：（1）设椭圆方程为2222+= 1

5、(a b 0)ab =a 2b =a 8xy则222椭圆方程为 += 1= 1解得41+= 282b2ab22（2）直线 平行于，且在 轴上的截距为y mlom11又k =l的 方 程 为 y：= x + mom 221y = x + m2由 x + 2mx + 2m - 4 = 022xy22+= 182d = (2m) - 4(2m - 4) 0,直线 l 与椭圆交于 a、b 两个不同点，22解得 - 2 m b l+abxy。m (x , y ) ，则有+ k = 0020ab200xy（2）双曲线22220,0) 与直线 相交于 a、b，设弦 ab 中点为= 1(a b l-abxy。

6、m (x , y ) ，则有- k = 000ab2002（3）抛物线y = 2 px( p 0) 与直线l 相交于 a、b，设弦 ab 中点为 m (x , y ) ，200精品文档 精品文档则有2y k = 2 p ，即 y k = p 。00y典型例题 给定双曲线 x2-= 1，过的直线与双曲线交于两点 及 ，a(2,1) p p2212求线段的中点 的轨迹方程。pp p122、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 p，与两个焦点 、 构成的三角形问题，常用正、余f f12弦定理搭桥。xy22典型例题 设为椭圆 += 1上任一点，f (-c,0) ，f (c,0) 为焦点，p(x, y)ab

7、2122pf f = ，pf f = 。ab1221a bsin( + )（1）求证离心率e =；（2）求| pf | +pf | 的最值。33absin + sin123、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 抛物线方程y = p(x +1)(p 0) ，直线 x2+ y = t 与 x 轴的交点在抛物线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交

8、点为 a、b，且 oaob，求 关于t 的函数的f (t)p精品文档 精品文档表达式。4、圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。处理思路1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最

9、值。典型例题已知抛物线y2 = 2 px( p 0) )，过 m (a, 0) 且斜率为 1 的直线 与抛l物线交于不同的两点 、 ， 。a b ab 2p（1） 求 的取值范围；a（2） 若线段 ab 的垂直平分线交 轴于点 n，求nab 面积的最大值。x精品文档 精品文档5、求曲线的方程问题（1）曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决典型例题已知直线已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上。lcx若点 -a( 1,0)和点关于 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程。b(0,8) l c l c（2）曲线的形状未知-求轨迹方程m典型例题n已知直角坐标平面上点 q（2，0）和圆c：x +y =1，22动点 m 到圆 c 的切线长|mn|与|mq|的比等于常oq数 ( 0)，求动点 m 的轨迹方程，并说明它是l l什么曲线。6、存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）xy22典型例题 已知椭圆 的方程 += 1，试确定 的取值范围，使得对于直mc43线 y = 4x + m ，椭圆 上有不同两点关于直线对称。c精品文档 精品文档7、两线段垂直问题y y圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用 =k k1=