最新《导数及其应用》知识点总结

1、01 1导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义f ( x ) - f ( x )1. 函数的平均变化率：函数 f ( x) 在区间 x , x 上的平均变化率为： 2 1 。1 2 x -x2 12. 导数的定义：设函数 y = f ( x ) 在区间 (a , b ) 上有定义， x (a, b ) ，若 dx 无限趋近于00 时，比值dy f ( x +dx) - f ( x )= 0 0 无限趋近于一个常数 a，则称函数 f ( x) 在 x =x 处可导， dx dx 0并称该常数 a 为函数 f ( x) 在 x =x 处的导数，记作 f0质是在该点的瞬时变化率。(x ) 。

2、函数 f ( x) 在 x =x 处的导数的实 0 03. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量 dy = f ( x +dx) - f ( x ) ；（2 ）求平均变0 0化率：f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx；（3）取极限，当 dx 无限趋近与 0 时，f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx无限趋近与一个常数 a，则 f(x ) =a . 04. 导数的几何意义：函数 f ( x) 在 x =x 处的导数就是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x ) 处的切线的斜率。由此，0 0 0可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1

3、）求出 y = f ( x ) 在 x 处的导数，即为曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x ) 处的切线的斜率；0 0（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y -y = f (x )( x -x ) 。0 0 0当点 p ( x , y ) 不在 y = f ( x ) 上时，求经过点 p 的 y = f ( x ) 的切线方程，可设切点坐标， 0 0由切点坐标得到切线方程，再将 p 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 y = f ( x) 在点( x , f ( x ) 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x =x

4、。 0 0 05. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移 s 是时间 t 的函数 s ( t ) ，则 v =s 示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：(t) 表示瞬时速度， a =v(t) 表（1）( kx +b )=k(k, b 为常数)；（2） c =0(c 为常数)；（3） ( x)=1；（5） ( x3 )=3x2 ；（4） ( x2)=2x ；（6） ( )=- ； x x 211 11（7） ( x )= ； 2 x（8） ( x ) =x-1（为常数）；（9） ( ax)=axln a ( a 0, a 1) ；（10） (log x) a= log e = ( a

5、 0, a 1) ； x a x ln a（11） (e x )=ex；（12） (ln x) = ；x（13） (sin x )=cos x ；（14） (cos x )=-sin x 。2. 函数的和、差、积、商的导数：（1） f ( x ) g ( x )=f(x) g(x) ；（2） cf ( x )=cf(x) （c 为常数）；（3） f ( x ) g ( x )=f(x) g ( x ) + f ( x ) g(x) ；（4） f ( x ) f (x) g ( x) - f ( x ) g =g ( x ) g 2( x )(x)( g ( x ) 0) 。3. 简单复合函数的

6、导数：若 y = f (u ), u =ax +b ，则 y =yu，即y=ya。x u x x u三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导，（1）如果恒 f （2）如果恒 f(x) 0 ，则函数 y = f ( x ) 在区间 (a , b ) 上为增函数； (x) 0 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式 f(x) f ( x ) （或0 0 0f ( x ) f ( x ) ），则称 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的极小值（或极大值）。0 0可导函数的极值，可通过研究函数的单

7、调性求得，基本步骤是：（1 ）确定函数 f ( x) 的定义域；（2 ）求导数 f(x) ；（3）求方程 f(x) =0 的全部实根，x x x ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表： x 变化时， f 1 2 n变化情况：(x) 和 f ( x ) 值的x( -,x ) x 1 1( x , x ) 1 2xn( x , +) nf (x) f ( x)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查 f(x) 的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数 f ( x ) 在定义域 i 内存在 x ，使得对任意的 x i ，总有 f ( x ) f ( x ) ，则称 f (

8、 x )0 0 0为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯 一的。求函数 f ( x ) 在区间 a, b 上的最大值和最小值的步骤：（1） 求 f ( x) 在区间 ( a, b ) 上的极值；（2） 将第一步中求得的极值与 f ( a ), f (b) 比较，得到 f ( x) 在区间 a, b 上的最大值与最 小值。4. 解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f ( x)( x a)的值域是a , b时，不等式 f ( x ) 0 恒成立的充要条件是 f ( x)max0 ，即 b 0 恒成立的充要条件是 f ( x )0 ，即mina 0。f ( x)( x a)的值域是( a ,