圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

1、圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(小，儿)， 匕2，)，2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。 x2 y2 如：(1) + = 1(Z?O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有 cr lr 典+卑 = 0。 a- r 22 (2) 冷一亠= l(d0“0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x,y)則有 cr Zr 算-辱0 a b- (3) y2=2px (p0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB

2、中点为 M (x。, y0),则有 2yk=2p,即 yok=p. 典型例题 给定双曲线，一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片 及鬥， 求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭 桥。 X2 y2 典型例题 设P(X, y)为椭IS+ = 1上任一点，F(C0),化(c,0 )为焦点， cr lr APFF2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关

3、系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观 性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证：直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意艾，一般可用因形性质

4、来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式通过解不等式求出a的范囤，即：“求范囤，找不 等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首 先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思 想二 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求心y的范國； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想： 3、利用判别式，对于二次函数求罠值，往往由条件建立二次方程

5、，用判别式求最值： 4、借助均值不等式求置值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B, |AB|W2p (1)求a的取值范国；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求ANAB面积的最大值。 (5) 求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。 I 典型例题 已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A (-1, 0)和 点B (0, 8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 2.曲线的形状未知求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q0)和圆C: x2+y2=1

6、,动 点M到岡C的切线长与|MQ|的比等于常数兄(20), 求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问題，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决) X2 V2 典型例题 已知椭圆C的方程 + = 1 ,试确定m的取值范围，使得对于直线 43 v = 4x + /h,椭圆C上有不同两点关于直线对称 (7) 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用人 k2 =2 = _1来处理或用向量的坐标 -州 运算来处理。 典型例题已知直线/的斜

7、率为且过点P(2,0),拋物线C?2 =4(x+l),直线/与 拋物线C有两个不同的交点(如图)。 (1) 求k的取值范围； (2) 直线/的倾斜角焦点在y轴上时为臥 ,可简记为“左加右减，上加下减”。 (其中 ZFPF】= EcosO = IPf； F+i 啓 |2 w PFxPF2- ，丙两=1 两 Il7可 IcosO) (2) 双曲线焦点在x轴上时为 (3) 抛物线焦点在轴上时为吗l+彳,焦点在y轴上时为I川+# (6) 、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设4(X,yJ、M,b)为椭圆+ - =1的弦中点则有 43 莖 + 圧=1,空+ 2

8、 = 1；两式相减得( + y2) +16 = 0 ,然后利用联立消元法 及交轨法求出点D的轨迹方程； 解:(1)设 B (x, y.) ,C(x2, y2 ),BC 中点为(“，儿)，F(2,0)则有 出+垃=1,廈+出=1 20 16 20 16 两式作差有3驾)-耆+叽。+乎 F(2,0)为三角形重心，所以由土丰=2，得x0=3,由土二工4 = 0得 y0=-2,代入(1)得k 直线BC的方程为6x-5y-28 = 0 2)由 AB丄 AC 得xtx2 + yty2 一 14 +)、)+16 = 0(2) 设 直线 BC 方程为 y = kx+ b, R入4，+5才=80, 得 (4 +

9、 5k 2 )X2 + 0hkx+ 5Z?2-80=0 -0kh _5/?2-80 一 4 + 5/ “2 儿f厂存厂代入（2）细寸 曲-32116=0,解得方=4（舍）或b 4 + 5冷9 直线过定点（0, -，设D （x,y）,则 9于+9，一32，一16=0 4 y 4 X口 XX 所以所求点D的轨迹方程是F + （y _罟）2 =（罟）2 O工4） O 4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中ab = 2CD,点E分有向线段走所 成的比为几，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时, 31 求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概

10、念 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建 立直角坐标系xOy,如图，若设C h 2 ，代入求得h=， cr lr 进而求得疋再代入4-4=1，建立目标函数 cr lr /（,畀）=0,整理于（s=o,此运算量可见是难上加难.我们对力可 采取设而不求的解题策略， 建立目标函数/ac,a）=o,整理/（匕刃=0,化繁为简. 解法一：如图，以AB为垂直平分线为），轴，直线AB为X轴，建 立直角坐标系.9），,则CD丄，轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依题意，记 A(-c, 0), CR,力,E(x0, y0),其中 c = AB

11、 为双 曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 Y +訐(A-2)c 期 =y = T71 设双曲线的方程为4-4 = n则离心率心 上/-w-C 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和”代入双曲线方程 a 得 -，夕丄, 4 lr 叩-2口 a yj 4 U+l J U + 1J/22 由式得=1-1, 少 4 将式代入式，整理得 2 (4-42)=1 + 22, 故2 = 1一一g e2 + 由题设得，-1- 343，+24 解得710 所以双曲线的离心率的取值范围为苗,J1可 分析：考虑|A|,|Aq为焦半径，可用焦半径公式，|AE|,|AC|用E,C的横 坐标表示，回避力的计

12、算，达到设而不求的解题罠略. 解法二：建系同解法一，卜|=(a+?xf q二+匕殳, (八2上 2(2 + 1) 又凹丄 AC 1 + 2 代入整理社话 由题 解得 y/7eyU) 所以双曲线的离心率的取值范围为V7/lo 5、判别式法 例3已知双曲线c-2L_S = i,直线/过点a(Qo),斜率为斤，当o1 2 2 时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线/的距离为VI,试求k的 值及此时点B的坐标。 分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与/平行的直线，必 与双曲线C

13、相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 = 0.由此出发，可设计如下解题思路： /: y = k(x-yf2)(0Rl) 直线/*在/的上方且到直线/的距离为血 解得M勺值 解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式 表达，即所谓“有且仅有一点B到直线/的距离为运”，相当于化归 的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路: 问逊 丁 关于X的方程 匕-血+十一囤 =、伍 (0 k 1)有唯一 0转化为一元二次方程根的问题 简解：设点)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线 /的距离为： 竺2亘二到=忑(01)(*) W + 1J 于是，问题即可转化为如上关于X的方

14、程. 由于0 |a| kx 9从而有 kx- yjl + x 血时=-kx+、/2 + x + 42k. 于是关于X的方程(町 O _ kx+F + y2k = J2伙+1) O ； 2 + F j = (J2W+I) _ 41k + W, i J2(m)- 41k +0 。血+ 2心(+1)-迈认 +(J2W+1)-國 _2 = 0. j2(T + l)-、+Rx0. 由0 0恒成立，于是(*)等价于 (/ - l)x2 + 2心伙2+1) -41kx + (丁2伙2 +1)_丁站 _2 = 0. 由如上关于兀的方程有唯一解，得其判别式 = (),就可解得 5 点评：上述解法紧扣解题目标，不

15、断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体思维的优越性. 例4已知椭圆C:x2+2y2 =8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于 A、B两点，在线段AB上取点Q,使咯=_咯,求动点Q的轨迹所在 Pd QB 曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往 往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达, 最后通过消参可达到解题的目的. 由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率k作为参数，如何将与斤联系起来一方面利用点Q在直 线AB上；另一方面就是运用题目条件

16、：茫=-咚来转化.由A、B、 PB QB P、Q四点共线，不难得到、._4(D-2g ,要建立X与斤的关系，只需 8-(心+心) 将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数. 消去利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y= k (x-4)+1,消去参数 点Q的轨迹方程 在得到x = f(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参， 目的不过是得到关于X的方程(不含k 则可由y = k(X-4) + 解得 k =直接代入x = /（灯即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 x-4 程。 简

17、解：设 A(X,儿),Bg yJ,QO,y),则由可得：4A1 =A PB QB兀？ _ 4 x2 _ x 解之得： 8 _ (Xj + x2) (1) 设直线AB的方程为：y = k（x-4） + 1,代入椭圆C的方程，消去y得 出关于x的一元二次方程: (2k2+)x2 +4饥1一4幻大 +2(14/1)2 -8 = 0(2) _ W1) =2宀1， 2(l-4Jt)2-8 4k+ 3 2m 代 入 （1） 与 y =-4) +1 联立，消去k 得:(2x + y-4)(x-4) = 0. 在(2)中，由 = -64/+64 + 240,解得 2-価 y2 +価,结合(3) 44 可求得

18、16-2価6 + 2価 故知点Q的轨迹方程为：2x + y-4 = 0（16-2、，兀丫16 + 2、：币）. 99 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线/过点P （0, 3）,和椭圆兰+兰=1顺次交于A、B两点, 94 试求話的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：竺二么，但从此后却一 PB 心 筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取 值范围，

19、不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系. 分析仁 从第一条想法入手，兰二-么已经是一个关系式，但由 PB xB 于有两个变量心，勺，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到 利用第3个变量直线力3的斜率化 问题就转化为如何将占,勺转 化为关于斤的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于兀的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 简解仁当直线/垂直于x轴时，可求得4=-； 当/与X轴不垂直时，设A(x,y B(x2, y2),直线/的方程为： y = kx+ 3 ,代入椭圆

20、方程，消去 y 得（9k2 + 4）v2 + 5kx+ 45 =0 解之得 -276加-5 加+4 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑0的情 形. 当心。时，卡三 - 276 J9疋-5 9疋+4 所以 兰=_巴二-以+二 1_ PB x. 9R + 2J9/-59k+ 2加59 . 2 /9_5/ Y 7k2 18 由 A = （-54A:）2 - 180（9A:2 + 4） 0, 解得 |, 所以 -1 综上 AP 1 PB_ 5 分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别 式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取 值范围，于是问题转化为如何

21、将所求量与k联系起来.一般来说，韦 达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原 因在于箸弋不是关于的对称关系式原因找到后,解决问题 的方法自然也就有了，即我们可以构造关于册,吃的对称关系式. 简解2:设直线/的方程为：，=也+3,代入椭圆方程，消去y得 (如+4严 +54 心+45 =0(*) -54k 45 令乞=八则，八丄+2= 324忙 X2A 45L+20 在(*)中，由判别式可得 从而有 4 324r ,所以42 +丄+ 2S竺，解得 45,+20525 -2 5 结合OvQSl得 综上，一15兰S丄. PB 5 $ 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式

22、法，均值 不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题 也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考

23、缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 例6椭圆长轴端点为A,Bf O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且乔而=1, |of| = 1. (I )求椭圆的标准方程； (II )记椭圆的上顶点为M,直线/交椭圆于P0两点，问：是否存在直线/,使点F恰为AP0M的垂心若存在，求出直线/的方程；若 不存在，请说明理由。 思维流程： (I )由 M期=1,网=1 (a + c)(d c) = l, C = l 写出椭圆方程 PQLMF.MPLFQ (II) y = x m 乂 2 +22 = 2 3.r + 4/?lv + 2, 一 2 = 0 两扌艮之和， 两根之积-

24、kMPFQ = O 得出关于 m的方程 解题过程: (I )如图建系，设椭圆方程为冷+二=1/?0),则c = l CT Zr I 又 9：AF 血=1 即(a + c)-(a-c) = l = a2-c2:. a2 =2 9 2 故椭圆方程为y+r =1 (II )假设存在直线/交椭圆于P,Q两点，且F恰为AP0M的垂心， 则 设P(x(,X),Q(x2,y2), / M(0,1),F(l,0),故kPQ=lf 于是设直线/为 y = x+m ,由，； f 得, x + 2v = 2 3x2 + 4rx + 2/7?2 -2 = 0 :MP-FQ = 0 = xx2-) + y2(y-l)又

25、)；=召+ m(i = 1,2) 得 X (x2 -1) + (x2 + 7)(X + 加一 1) = 0 即 lxAX2 + (旺4-兀2 )(7 -1) += 0 由韦达定理得 ( 2/h2 -2 4/w 1X 7 n 2m-1) + in -m = 0 33 解得m =-或 ? = 1 (舍) 经检验m =-符合条件. 33 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两 向量乘积为零. 例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 人(-2,0)、02,0)、C(1,A三点. I 2丿 (I )求椭圆E的方程: (II )若点。为椭圆E上不同于A、B的任意一点

26、，F(-1,O),H(1,O), 当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标; 思维再程： 得到myn的方程 由椭岡经过A、B、C三点 _k (I)设方程为 nix2 + ny2 = 1 解出M (II) 由DFH内切圆面积最大 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大 Q为椭圆短轴端点 LDFH面积最大值为J了 SADFH =*周长内切悯 得出点坐标为 解题过程： (I )设椭圆方程为mx2 + ny2 =1 (tn O.n 0) 将 A(-2,0)、3(2,0)、C(l,-)代入椭圆F的方程,得 2 4/H = 1,22 9 解得?=,舁=椭圆E的方程丄+ = 1 / + -/? = 1

27、4343 4 (II) I 1= 2 ,设DFH边上的高为 Sj =-x2xh = h 2 当点D在椭圆的上顶点时，力最大为松，所以的最大值为的. 设 DFH的内切圆的半径为/?,因为 DFH的周长为定值6所以, SADFII =尹 x6 所以/?的最大值为迺 所以内切圆圆心的坐标为 点石成金: 的周kx乙的内切岡 例8、已知定点C(-hO)及椭圆A-2 + 3y2 = 5 ,过点C的动直线与椭圆 相交于A B两点. (I )若线段A3中点的横坐标是-丄，求直线A3的方程； 2 (II )在x轴上是否存在点M ,使页砺为常数若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程： (I )

28、解：依题意，直线初的斜率存在，设直线朋的方程为y = g+l), 将 y = k(x+l)代入x2 +3y2 =5 , 消去 y 整理得(3A:2 +l)x2 +6k2x+3k2 -5 = 0. 咗殳 A(ap y,)t B(x29 y2 A = 36k4 一 4(3疋 +1)(3疋-5)0,(1) 则6疋 3k2+ 由线段AB中点的横坐标是-丄，得士竺=-4L = -1 ,解得 2 2 3k +12 k = ,符合题意。 3 所以直线A3的方程为x-V3y + l = 0,或x + Gv + l. (II )解：假设在x轴上存在点M(”0)，使为常数. 当直线AB与x轴不垂直时，由(I )知 6 k23疋_5 99XiX-,7(3) 3宀13疋+1 整理得 所 以 MA MB =(X)-m)(x2 2) + yy2 = (x( ,h)(x2 -m)+k2(xl