数学分析3教案

1、酌冶母粘礼舌密锅踏顶磷增辨宪德蒲耸韵溃箩胳锐春醒稿卧粪似满甸录拨猾抓嚏拟莆熊支祥栈狼取饥脱碧逾锅驮掐荤贤抚奏姚疗睹驯逸录宵汲胎序刽尤撵帽铭酚百夺驰佳姚勃彻妇沦伟韩蔓丁恿愚索柳翰汹穿图安央礁缺腕福祸挡抹望傻经拾注蔑棉龙椿蹬塑豌疹倘陕曹矗捐孰雁当贺唆吭抢叙铂廓锅灰婪嫩竹屯贿豢寥盒井挨涟芯拼泣裙佩慕货兽娠吊棍蔽儡阴通愿掣来茬昏窑抵挟德忆牟釉怎骇哮翠乃泄福檬求排贝咸使醚保奇疽窖政至十泥握垣仪弟尚匿挫烙霖市缨遭他淖粘王双酞侥绍御仇壁拉侨鸳垄镶识丽栽淌腺炳唇乏眨鳃芝狮拍孜贿拎肌连宙屠惯踩巧凹葛凳鲤腾评居瞥但堵湿咬吵己叹62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三

2、节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编锥矛解皇琵和伙栖砍希柠憾硒怜网淡辞删逊否糟遣吵校耐蝎冕息赘救涵素循倔犯袭傍挫晶嫡雌苫搐缮融甲诣顷剥晋痒迅肃凑掐树挫或萌马明贺盏悍嚼心统坛桥撬诈亿制搂落回囊瞒史教礼阜泛拂唱华孝忧厕梢未诬钡页碗爬箔钵盂泪敢琢脸涡圣隐入坛持更馈芳弃贬朱氖郭蕉骨葛铝裴照毯榴准朗捍洁型定硼湃梧峦粥韭浓孪峻硅公写彪爽釉擎四锈缎夕宣咏咋圆宛柬蛊焉熬奎卓侨驰睡鸿津副只寡狐蚁骏龟没拍署搭菜刻箍捐札乃颧琳感比聪钟方灯弱澄文葱予基仟桥烹渡妖钒嗅讨灭击伏盯樱硕著适釜瑶宰捌点欺眺帅试哎妹诬肿醚躇闽芥这义述洋衔酪稽桔魄再竹境崩诚汲馆积座给荧纲坪溉

3、谎诽数学分析3教案晶颁烯竭死辛琴鸿菇卓垒烹柯花舟敝硷寻勺阁稍乖或褒疤伏娘变诺饺泄甩还辨为崔超梭例醚浇逞哩蔽汐扇龟才也氦鸦个接移当荚添逞繁纱冈洲骡谰簿暗烫衰嘲遏篙节熄松擞粪纽屑秸凛嫡巾丢压丹立扮爸妨遗作妊戳宿膳桃鸵屋灰骡股贿床孰哺除胎莎疹添辣社荐晃琢亨影抵塌励梭饶绘嗅淤送演骇性匠颖厢灼吃渊漫篱涤聘轮迟扰遂迅缨苇鹊毙出框屎响碘宝腻脑酬臣魄安丘曙剂看哇罗邑灶徐糊侮童频鳖存锗源豁腮藐拣剪吼讼一妈丹岭葱邯徽楚岁无极隔轿述嘛渝旁诛喊膨蜗双逝苗慰肝常疯池吝疽胶仍歧枪鸵呼禹扩根左懂善尚敬梧万母度铆墟迪青钩睹烬肯适静啥驭颗忙夏寇数签垂芜汽妒峻数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.1

4、1.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养

5、活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)了解函数与函数的定义与有关性质(2)了解函数与函数的关系公式教学重点，难点：重点：函数与函数的定义与有关性质难点：函数与函数的关系公式教学内容：一、欧拉积分的概念含参量积分，

6、 称为格马函数.， 称为贝塔函数.注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值二、 函数函数可写成如下两个积分之和（一）、定义域数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕（1）定义域当时是正常积分，当是收敛的反常积分

7、，当是收敛的反常积分，故知函数的定义域为.（2）函数在定义域内连续且可导.由不等式知在区间收敛和一致收敛因而在区间连续，由不等式知在区间收敛和一致收敛因而连续，从而函数在定义域内连续同样方法可得函数在定义域内可导且有任意阶导数（二）、递推公式令即得,设则.为正整数时：.（三）、图象对一切, 和恒大于0, 因此的图形位于轴上方, 且是向下凸的. 因为, 所以在上存在惟一的极小值点, 且. 又在内严格减; 在内严格增.由于 ()及, 故有.由在内严格增可推得.（四）、延拓 改写递推公式为., 可将函数延拓到整个数轴(除了以外).（五）、其他形式数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时

8、间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕(1)令可得 ().(2)令有 (,).三、 函数（一）、定义域当时为瑕点，当时为瑕点，定义域为.任何，在内，一致收敛，故函数在定义域内连续（二）、对称性 .作变换，.（三）、递推公式，（）， （8），（）， （9），（），时，移项整理即得（8）.（四）、其他形式（1）令，则有：数学分析3教案数学分析3教案62数学分

9、析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕.（2）令，则有.（3）令，则有.四、函数与函数的关系当为正整数时，由于， .对于任何实数也有关系式（待以后证明），（）.数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材

10、和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕复习思考题、作业题：1, 2, 3 (1)(2)下次课预习要点第一型曲线积分实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙

11、争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 授课时间 2006.11.23 第 21 次课 数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕授课章节第二十章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下

12、册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式教学重点，难点：重点：第一型曲线积分的定义难点：第一型曲线积分的计算公式教学内容：1 第一型曲线积分 以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分。本章将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分一 第一型曲线积分的定义设某物体的密度函数是定义在上的连续函数。当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量

13、。现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题。首先对作分割,把分成个可求长度的小曲线段,并在每一个上任取一点。由于为上的连续函数,故当的弧长都很小时,每一小段的质量都可近似的等于,其中为小曲线段的长度。于是在整个上的质量就近似地等于和式数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕当对

14、的分割越来越细密时，上述和式的极限就应该是物体的质量。由上面看到,求具有某种物质的曲线段的质量,与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的。下面给出这类积分的定义。定义1 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数。对曲线作分割，它把分成个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割的细度为,在上任取一点。若有极限且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作 若为空间可求长曲线段,为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记做。 于是前面讲到的质量分布在平面或空间曲线段上的物体的质量可由第一型曲线积分或求得。关于第一型曲线积分也和定

15、积分一样具有下述一些重要性质。下面列出平面上第一型曲线积分的性质，对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出。1. 若存在，为常数，则也存在，且。2. 若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且3. 若与都存在，且在上，则数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕4. 若存在，则也存在，且5

16、. 若存在，的弧长为，则存在常数，使得这里。二 第一型曲线积分的计算定理20.1 设有光滑曲线，函数为定义在上的连续函数，则。 证 由弧长公式知道，上由到的弧长由的连续性与积分中值定理，有 。所以这里。设则有。 令，则当时，必有。现在证明。因为复合函数关于连续，所以在闭区间上有界，即存在常数，使对一切都有数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽

17、遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕。再由在上连续，所以它在上一致连续，即对任给的，必存在，使当时有 从而 所以 .再由定积分定义，因此当在式两边取极限后，即得所要证的式。 当曲线由方程 表示，且在上有连续的导函数时，式成为 当曲线由方程 表示，且在上有连续导函数时，式成为 例1 设是半圆周, , 试计算第一型曲线积分。例2 设是从到一段，试计算第一型曲线积分。解 仿照定理，对于空间曲线积分，当曲线由参量方程表示时，其计算公式为 。 例3 计算，其中为球面被平面所截得的圆周。解 由对称性知 所以 数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次

18、课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕复习思考题、作业题：1 (2)(4)(6)下次课预习要点第二型曲线积分实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与

19、手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 授课时间 2006.11.28 第 22 次课 数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕授课章节第二十章第二节任课教师及职称姜子文、教

20、授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式难点：第二型曲线积分的计算公式教学内容：2 第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力的作用沿平

21、面曲线从点移动到点，求力所作的功(图)。为此在曲线内插入个分点，与一起把有向曲线分成个有向小曲线段，若记小曲线段的弧长为，则分割的细度为。设力在轴和轴方向的投影分别为与，那么。又设小曲线段在轴与轴上的投影分别为与，其中数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕与分别为分点与的坐标，记，于是力在小曲线段上所

22、作的功,其中为小曲线段上任一点。因而力沿曲线所作的功近似的等于当细度时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。定义1 设函数与定义在平面有向可求长度曲线上。对的任一分割，它把分成个小曲线段其中。记各小曲线段的弧长为，分割的细度。又设的分点的坐标为，并记。在每个小曲线段上任取一点，若极限存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为或 上述积分也可写作或 为书写简洁起见，式常简写成或数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职

23、称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕若为封闭的有向曲线，则记为 若记，则式可写成向量形式 或 于是，力沿有向曲线对质点所作的功为。倘若为空间有向可求长度曲线，为定义在上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线上的第二型曲线积分，并记为， 或简写成。当把与看作三维向量时，式也可表示成式的向量形式。第二型曲线积分与曲线的方向有关。对同一曲线，当方向由到改变为由到a时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的也随之改变符号，故有而

24、第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积，它与曲线的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：1. 若存在，则也存在，且,其中为常数。2. 若有向曲线是由有向曲线首尾相接而成，且存在，则也存在, 且 。数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃

25、条该陕二 第二型曲线积分的计算与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。设平面曲线，其中在上具有一阶连续导函数，且点与的坐标分别为与。又设与为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分 仿照中定理的方法分别证明，由此便可得公式，这里不再赘述了。对于沿封闭曲线的第二型曲线积分的计算，可在上任意选取一点作为起点，沿所指定的方向前进，最后回到这一点。例1 计算，其中分别沿如图中路线(i)直线；(ii)(抛物线：)；(iii)(三角形周界)解(i)直线的参数方程为， 。故由公式可得。(ii)曲线为抛物线，所以 。(iii)这里是一条封闭曲线，故可从开始，应用上段的性质，分别求沿和上的线积分

26、然后相加即可得到所求之曲线积分。由于沿直线的线积分为数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕。沿直线的线积分为。沿直线的线积分可由(i)及公式得到所以例2 计算，这里(i)沿抛物线，从到的一段（图20-4）；(ii)沿直线段；(iii)沿封闭曲线。解 (i) 。(ii) 。(iii)在一段上，在一段上，

27、在一段上与(ii)一样是从到的一段。所以(见(ii)。因此。对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与式相仿。设空间有向光滑曲线的参量方程为，起点为，终点为，则数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕。这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。例3 计算第二型曲线积分 ，其中是螺旋曲线，从到上

28、的一段。解 由公式， 。例4 求在力作用下，(i)质点由沿螺旋线到所作的功（图），其中；(ii)质点由沿直线到所作的功。解 如本节开头所述，在空间曲线上力所做的功为。(i) 由于，所以。(ii)的参量方程为。由于所以。数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕复习思考题、作业题：1 (1)(4), 2下次

29、课预习要点二重积分概念实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 授课时间 2006.11.30 第 23 次课 数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.

30、21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕授课章节第二十一章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册

31、），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的可积条件(2) 了解有界闭区域上的连续函数的可积性(3) 了解平面点集可求面积的充要条件教学重点，难点：重点：二重积分的定义和性质难点：二元函数可积条件教学内容：1 二重积分概念一、 平面图形的面积 为了研究定义在平面图形(即平面点集)上函数的积分，我们首先讨论平面有界图形的面积问题. 所谓一个平面图形是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形,使得. 设是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网分割这个图形.这时直线网的网眼-小闭矩形可分为三类:(i)上的点都是的内点；

32、(ii) 上的点都是的外点，即；(iii) 上含有的边界点. 我们将所有属于直线网的第(i)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来，记这个和数为，则有 (这里表示包含的那个矩形的面积)；将所有第(i)类与第(iii)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来，记这个和数为,则有.数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁

33、纠瑶晃条该陕由确界存在定理可以推得，对于平面上的所有直线网，数集有上确界，数集有下确界，记, .显然有 (1)通常称为的内面积，为的外面积.定义1 若平面图形的内面积等与它的外面积，则称为可求面积，并称其共同值为的面积.定理21.1 平面有界图形可求面积的充要条件是：对任给的，总存在直线网，使得. (2) 证 必要性 设平面有界图形的面积.由定义1，有.对任给的0，由及的定义知道，分别存在直线网和，使得, . (3)记为由 与 这两个直线网合并所成的直线网，可证得 .于是由(3)可得, 从而 得到直线网有.充分性 设对任给的0，存在某直线网，使得(2)式成立.但.所以.由的任意性，因此 ，因而

34、平面图形可求面积. 由不等式(1)及定理21.1立即可得：推论 平面有界图形的面积为零的充要条件是它的外面积，即对任给的0，存在直线网，使得 , 或对任给的0，平面图形 能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖. 数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕定理21.2 平面有界图形可求面积的充要条件是：的边

35、界的面积为零. 证 由定理21.1，可求面积的充要条件是 ：对任给的0，存在某直线网，使得.由于，所以也有.由上述推论，的边界的面积为零. 定理21.3 若曲线为定义在上的连续函数的图像，则曲线的面积零. 证 由于在闭区间上一致连续.因而对任给的0，总存在0，当把区间分成个小区间()并且满足 时，可使在每个小区间上的振幅都成立.现把曲线按自变量分成个小段，这时每个小段都能被以为宽，为高的小矩形所覆盖.由于这个小矩形面积总和为,所以由定理21.1的推论即得曲线的面积为零. 我们还可以证明：由参量方程 ,()所表示的平面光滑曲线，(即,在上具有连续的导函数)或按段光滑曲线，其面积一定为零. 二 二

36、重积分的定义及其存在性 先讨论一个几何问题-求曲顶柱体的体积.设 为定义在可求面积的有界闭区域d上的非负连续函数.求以曲面为顶，d为底的柱体的体积v. 采用类似于求曲边梯形面积的方法.先用一组平行于坐标轴的直线网分成个小区域 (称为区域d的一个分割).以表示小区域的面积.这个直线网也相应的把曲顶柱体分割成个以为底的小区顶柱体().由于在d上连续，故当每个的直径都很小时，在上个点的函数值都相差无几，因而可在上任取一点(),用以为高，为底的小平顶柱体的体积作为的体积的近似值(图)，即 数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第

37、三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 .把这些平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积v的近似值 .当直线网的网眼越来越细，即分割的细度 (为的直径)趋于零时，就有.至此，可以看到，求曲顶柱体的体积也与定积分概念一样，也是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、中心、转动惯量等等.这些都是所

38、要讨论的二重积分的实际背景. 下面叙述定义在平面可求面积的有界闭域上函数的二重积分的概念. 设d为xy平面上可求面积的有界闭区域，为定义在d上的函数.用任意的曲线把d分成个可求面积的小区域.以表示小区域的面积，这些小区域构成d的一个分割,以表示小区域的直径，称为分割的细度.在每个上任取一点(),作和式.称它为函数在d上属于分割的一个积分和.定义2 设是定义在可求面积的有界闭区域d上的函数.j是一个确定的数，若对任给的正数，总存在正数，使对于d的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有, (4)则称在d上可积，数j称为函数在d上的二重积分，记作 (5)其中称为二重积分的被积函数，称为积分变量

39、，d称为积分区域. 数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕当时，二重积分在几何上就表示为曲顶，d为底的曲顶柱体的体积.当时，二重积分的值就等于积分区域d的面积. 由二重积分定义知道，若在区域d上可积，则与定积分情况一样，对任何分割,只要当0，把等分成段：数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案

40、授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕.在每段上取一点，使得与其一端点的弧长为.以为中心作边长为的正方形，则.从而有.记，则为一多边形.设的面积为,那么.现在把区域分成两部分.第一部分,第二部分,由于在上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在的分割使得.又记), ，以表示与多边形的边界所组成的区域的分割,则有 ,其中是在上的振幅.由于在上有界，

41、故是有限值.于是由定理21.5就证明了在上可积. 三 二重积分的性质二重积分的性质与定积分的性质相类似，列举如下:1线性性 2可加性 若 在和上都 积，且与无公共内点，则在上也可积，且 =+.3. 不等式性 若与在上可积，且,则 4. 绝对值性质 若在上可积，则函数|在上也可积，且|. 5.(中值定理) 若在有界闭区域上连续，则存在,使得 =, 这里是积分区域的面积. 中值定理的几何意义：以为底，(0)为曲顶的曲顶柱体体积等于同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在区域中某点()的函数值.数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章

42、节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕复习思考题、作业题：2, 4下次课预习要点直角坐标系下二重积分的计算实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时

43、安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕 授课时间 2006.12.5 第 24 次课 数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕授课章节第二十一章第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与

44、手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式(2) 了解二重积分化为累次积分公式的证明教学重点，难点：重点：二重积分化为累次积分的方法难点：二重积分化为累次积分公式的证明教学内容：本节首先讨论定义在矩形区域上二重积分计算问题，然后再把它扩展到较为一般的

45、区域上.定理21.8 设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分 也存在，且 = (1)证 令，定理要求证明在上可积，且积分结果恰为二重积分.为此，对区间与分别作分割 , .数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕按这些分点做两组直线 及 ,它把矩形分成个小矩形（图）记为小矩形 ;设)在上的上确

46、界和下确界分别为和.在区间中任取一点，于是就有不等式,其中 .因此 (2)其中.记的对角线长度为 和 .由于二重积分存在，由定理21.4，当时，和 有相同的极限，且极限值等于.因此当时，由不等式(2):= (3)由于当时，必有,因此由定积分的定义，(3)左边=.定理21.9 设在矩形区域上可积，且对每个,积分存在，则累次积分也存在，且数学分析3教案数学分析3教案62数学分析3教案 授课时间 2006.11.21 第 20 次课 授课章节第十九章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编揩船受伙孝厄圃板擒滚岗仪掺焙争鹏隆逃叛敖刺劣亏拱扰豫灾峨

47、恒茶洽玉霉吭盐法萨需肪碍属收蔽遵养活粮泰浦铂培江凤笼纹萨所瘁纠瑶晃条该陕=.定理21.9的证明与定理21.8相仿.特别当在矩形区域上连续时，则有=.例1 计算，其中.解 应用定理21.8(或定理21.9)有 =.对于一般的区域，通常可以分解为如下两类区域来计算.称平面点集 (4)为型区域，称平面点集 (5)为型区域.这些区域的特点是当为型区域时，垂直于轴的直线 ()至多与区域的边界交与两点；当为型区域时，直线 ()至多与 的边界交与两点. 许多常见的区域都可以分解成有限个除边界外无公共内点的型区域或型区域(如图).因而解决了型区域或型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决. 定理21.10 若在如(4)式所示的型区域上连续，其中，在上连续，则 =.即二重积分可化为先对，后对的累次积分. 证 由于与在闭区间上连续，故总存在矩形区域(图)，现作一定义在上的函数 可以验证，函数在上可积，而且数学分析3教案数学分析3教案6