弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

1、 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 知识要点 知识点1、弧长公式 因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C= 2二R,所以1 2mR艮卩hR ，于是可得半径为 R的圆中，n的圆心角所对的弧长 说明：(1)在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，n和 2、圆锥的侧面积、全

2、面积的计算。 的圆心角所对的弧长是 1 njR. I = I的计算公式：一;, 180都不带单位“度”， 1 = -Lx20 x10 例如，圆的半径R= 10,计算20的圆心角所对的弧长I时，不要错写成 (2)在弧长公式中，已知 I, n, R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为 是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 肿 为1的扇形面积是二-，由此得圆心角为 R，圆心角为n的扇形面积，显然扇形的面积 360。的扇形面积等于圆面积；广，所以圆心角 % = n的扇形面积的计算公式是 rtirR 又因为扇形的弧长, 的另一个计算公式：一戶

3、竺匚可以写战 扇形面积 1 mjtJ?- * 1 ISO ，所以又得到扇形面积 知识点3、弓形的面积 (1) 弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2) 弓形的周长=弦长+弧长 (3) 弓形的面积 知识点4、圆锥的侧面积 I，底面圆的半径为r， Sn =I *2= nri 2，圆锥的全 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 那么这个扇形的半径为I，扇形的弧长为 2仆，圆锥的侧面积 面积 _ - K1 - _ 1 - 说明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积

4、公式，并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形， 如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长， 若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积工一，圆柱的全面积 知识小结: 1 II 1 1 1 1 1 1 1 D h 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到 的，如Rt SOA绕直线SO 旋转周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法 =皿 1 A - SB + 呂慝冗fl + io + 2呂慮 Z兀fh 4 2icr 【

5、典型例题】 例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2, 1,Z AOB = 120, 则阴影部分的面积是（） 4 A.二 B. “ C. -D. 1 例2. （2003.福州）如图所示，已知扇形 AOB的圆心角为直角，正方形 OCDE内接于扇 形AOB，点C, E, D分别在OA , OB及AB弧上，过点A作AF丄ED交ED的延长线于 F, 垂足为F,如果正方形的边长为 1，那么阴影部分的面积为（） 例 3.如图所示，直角梯形 ABCD 中，/ B = 90, AD / BC , AB = 2, BC = 7, AD = 3, 以BC为轴把直角梯形 ABCD旋转一周，

6、求所得几何体的表面积。 AD 例4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120，面积为300亍平方厘米 （1）求扇形的弧长。 （2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？ 模拟练习题 一、选择题 1.若一个扇形的圆心角是45,面积为2沢，则这个扇形的半径是（ C. 47 JiD. 2、 Ji 60,则扇形的面积是所在图面积的（ 丄 C.D. K A. 4 B. 2、 2. 扇形的圆心角是 1 1 A.二 B. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ 180 3(0 A. 90 B.- 4. 两同心圆的圆心是 径是小圆半径的3倍, A. 2倍 B. 3倍 5. 半

7、圆O的直径为 C.D.180 O,大圆的半径是以 OA , OB分别交小圆于点 则扇形OAB的面积是扇形 OMN的面积的（ C. 6倍 D. 9倍 6cm，/ BAC = 30，则阴影部分的面积是（ N .已知大圆半 A （1如-9羽）阳 （3托需幷詔 C. 】 B. D. （3杆-？ 6用一个半径长为 6cm A. 2 cmB. 3cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 A.30 B. 60 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 C. 4cm 3 : 2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ C. 90 D. 6cm D. 120 且它们的侧面积之比为 1 : 8. 已知两个母线相等的圆锥的

8、侧面展开图恰好能拼成一个圆， 2,则它们的高之比为（） A. 2 : 1 9.如图，在 的侧面积为Si, A. S i = S2 B. 3 : 2 C. 2： D. 5 : 一： ABC中，/ C = RtZ, AC BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥 以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为 S2,则（） B. S1 S2 C. S1 S2 D. S1、S2的大小关系不确定 二、填空题 1. 扇形的弧长是 12 j cm,其圆心角是 90,则扇形的半径是 cm，扇形的面积 是cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是. 3. 已知扇形面

9、积是12cm2,半径为8cm,则扇形周长为 . 4在厶ABC中，AB = 3, AC = 4,Z A = 90，把 Rt ABC绕直线 AC旋转一周得到一 个圆锥，其全面积为 S1 ；把Rt ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2,则 S1 : S2= O 5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为 240。的扇形铁板做一个圆锥形 的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm 0 6. 如图，扇形AOB的圆心角为60,半径为6cm, C, D分别是一的三等分点，则阴 影部分的面积是。 7如图正方形的边长为 2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴 影部分面积为。 三、计算题 1.如图，在 Rt