小学六年级奥数比和比例题

1、 六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例 1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是 32，乙的长与宽之比是 75.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是 2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面

2、积之比是 864875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例 2 如右图，abcd是一个梯形，e是 ad的中点，直线 ce把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是 107.求上底 ab与下底 cd的长度之比.解：因为 e是中点，三角形 cde与三角形 cea面积相等.三角形 adc与三角形 abc高相等，它们的底边的比 abcd=三角形 abc的面积三角形 adc的面积=（10-7）（72）= 314.答：abcd=314.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例 3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于 5中杯，3中杯相当于 4小

3、杯.如果记号表示 2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是 52=104，中杯与小杯容量之比是 43，大杯、中杯与小杯容量之比是 1043.=（102+43+34）（105+44+33）=4475.答：两者容量之比是 4475.把 52与 43这两个比合在一起，成为三样东西之比 1043，称为连比.例 3中已告诉你连 比的方法，再举一个更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙=213520.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲乙丙=21631632=324863.答：甲、乙、丙三人共花了 429元.例

4、 5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是 6份.x=54.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的长度之比是 302526.于利用已知条件 65，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段. 例 6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是 22 元、30 元、33 元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为 1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是 27.5元.上面解法中，算式很

5、容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用 22，30，33的最小公倍数 330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是 330，立即可求出，所买数量之比是甲乙丙=151110.平均数是（15+11+10）3=12.单价 33元的可买 10份，要买 12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例 7 一个分数，分子与分母之和是 100.如果分子加 23，分母加 32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而

6、分子与分母之比 23.因此例 8 加工一个零件，甲需 3分钟，乙需 3.5分钟，丙需 4分钟，现有 1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是7003=2100分钟）=35小时 . 答：甲、乙、丙分别完成 700个，600个，525个零件，需要 35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例 9 某团体有 100名会员，男会员与女会员的人数之比是 1411，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和

7、一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是 1002=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.答：丙组有 12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例 10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是 123.小龙走各段路程所用时间之比依次是 456.已知他上坡时速度为每小时 3千米，路程全长 50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全

8、程用了 10小时 25分.上面是通常思路下解题.123 计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法. 解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用 x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例 11 甲、乙两同学的分数比是 54.如果甲少得 22.5分，乙多得 22.5分，则他们的分数比是 57.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成 5+4=9份，变化后要分成 5+7=12

9、份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与 12的最小公倍数是 36，我们让变化前后都按 36份来算.54=（54）（44）=2016.57=（53）（73）=1521.甲少得 22.5分，乙多得 22.5分，相当于 20-15=5份.因此原来甲得 22.5520=90（分），乙得 22.5516=72（分）.答：原来甲得 90分，乙得 72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是 5x，那么乙的得分是 4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12

10、22.5x=18.甲原先得分 185=90（分），乙得 184=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加 8个红球后，红球与其他球数量之比是5（14-5）=59.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1（3-1）=12=4.59.因此 8个红球是 5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球 224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把 12 写成 4.59，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例 13 张家与李家的收入钱数之比是 85，开支的钱数之比是 83，结果张家结余 240元，李家结余 270元.问每家各收入多少元？ 解一：我们采

11、用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是 85，那么结余的钱数之比也应是 85.张家结余 240元，李家应结余 x元.有240x=85，x=150（元）.实际上李家结余 270元，比 150元多 120元.这就是 85中 5份与 83中 3份的差，每份是 120（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入 720元，李家收入 450元.解二：设张家收入是 8份，李家收入是 5份.张家开支的 3倍与李家开支的 8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的 3倍是（8份-240）3.李家开支的 8倍是（5份-270）8.从图上可以看出58-83=16份，相当于2708-2403=144

12、0（元）.因此每份是 144016=90（元）.张家收入是 908=720（元），李家收入是 905=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出 x.事实上，解方程求 x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例 14 a和 b两个数的比是 85，每一数都减少 34后，a是 b的 2倍，求这两个数.解：减少相同的数 34，因此未减时，与减了以后，a与 b两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.85，就是 8份与 5份，两者相差 3份.减去 34后，a是 b的 2倍，就是 21，两者相差 1.将前项与后项都乘以 3

13、，即 21=63，使两者也相差 3份.现在就知道 34是 8-6=2（份）或 5-3=2（份）.因此，每份是 342=17.a数是 178=136，b数是 175=85.答：a，b两数分别是 136与 85.本题也可以用例 13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的 21，改写成 84.例 15 小明和小强原有的图画纸之比是 43，小明又买来 15张.小强用掉了 8张，现有的图画纸之比是 52.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成 7份，变化后总数仍分成 7份，总数多了 7张，因此，新的 1份=原来 1份+1原来 4份，

14、新的 5份，5-4=1，因此新的 1份有 15-14=11（张）.小明原有图画纸 115-15=40（张），小强原有图画纸 112+8=30（张）.答：原来小明有 40张，小强有 30张图画纸. 解二：我们也可采用例 13 解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）43=201552=208.但现在是 208，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有 4“份”，小强有 3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘 2，小强现有的图画纸张数乘 5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，35-42=7（份

15、）相当于图画纸 152+85=70（张）.因此每份是 10 张，原来小明有 40 张，小强有 30 张.例 11 至 15 这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例 13 的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例 16 粗蜡烛和细蜡烛长短一

16、样.粗蜡烛可以点 5 小时，细蜡烛可以点 4 小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的 2 倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是 2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了 3 小时 20 分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以 2，使原来要考虑的“2 倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例 17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3 倍多 2 只.每次从箱子里取出 7 只白球，15 只红球，经过若干次后，箱子里剩下3 只白球，53 只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？ 解

17、：因为红球是白球的 3倍多 2只，每次取 15只，最后剩下 53只，所以对 3倍的白球，每次取15只，最后应剩 51只.因为白球每次取 7只，最后剩下 3只，所以对 3倍的白球，每次取 7321只，最后应剩 33 9只.因此.共取了（51- 33）（73-15） 7（次）.红球有 157 53 158（只）.白球有 77352（只）.原来红球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多 106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分数问题，就是比例问题.加 33张，他们两人取的画片一样多.问这些

18、画片有多少张？答：这些画片有 261张.解：设最初的水量是 1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是 答：容器中原来有 8.4千克水.例 18和例 19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例 20 有两堆棋子， a堆有黑子 350个和白子 500个， b堆有黑子堆中拿到 a堆黑子、白子各多少个？子 100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）10031.再要从 b堆拿出黑子与白子到 a堆，拿出的黑子与白子数目也要保持 3

19、1的比.现在 a堆已有黑子 350 100 450个），与已有白子 500个，相差从 b堆再拿出黑子与白子，要相差 50个，又要符合 31这个比，要拿出白子数是50（3-1）25（个）.再要拿出黑子数是 253 75（个）.答：从 b堆拿出黑子 175个，白子 25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-51，相当于图中相差 17-125（份），初中总人数是 5630份，因此，每份人数是520（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40（1712） 1160（人）.答：高、初中毕业生共 1160人.计算出每份是例 21与例 14是完全一样的问题，解一与例

20、14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例 18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用. 下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是 1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共 28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为 1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用 100个银币买了 100头牲

21、畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（17071783）提出的问题.们设 1头猪和 5头绵羊为 a组，3头山羊和 2头羊绵为 b组.a表示 a组的数，b表示 b组的数，要使（1 5） a（3 2） b100，或简写成 6a5b100.就恰好符合均价是 1.类似于第三讲鸡兔同笼中例 17，很明显，a必定是 5的整数倍.a5， b 4， 65 5450，50是 100的约数，符合要求.a5，猪 5头，绵羊 25头， b=4，山羊 12 头，绵羊 8 头.猪山羊绵羊=512（258）.现在已把 15 和 32 两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.a= 5， b14 或 a15，b2