线性代数第三章向量复习题答案

1、!第三章向量复习题一、填空题：当 tt 3时，向量! (1,2, 2)T, 2 (4,t,3)T, 3 (3, 1,1)T 线性无关. I3. 如果1, 2, , n线性无关，且n 1不能由1, 2, , n线性表示，则1, 2, n1的线性无关 4. 设 1 (2,5)t ,2 (1, a)T，当 a 时，1, 2 线性相关;-5. 一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关IIIa的.6.设向量组A： 1, 2, 3线性无关，13，21，23线性相关7. 设A为n阶方阵，且r(A) n 1，1, 2是AX=0的两个不同解，贝U1，2 一定线性相关8. 向量组1,|, i能由向量组1,

2、|, m线性表示的充分必要条件是IIR( 1, 2,HI m) 等于一 R( 1, 2, III m, 1, 2,|, l)。(填大于，小于或等于)9. 设向量组11,1,1,21,2,3 ,31,3,t线性相关，则t的值为4 5。si二、选择题：1. . n阶方阵A的行列式A ,则A的列向量( A )IIA线性相关 E线性无关C. R(A) D. R(A) II2. 设A为n阶方阵，R(A) r n，则A的行向量中(A )A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关 D、任一行都可由其余r个行向量线性表示|3.设有 n 维向量组（I）： 1, 2,

3、III，r 和（U） : 1, 2,|, m（m r），则（B ）.| I A向量组（I）线性无关时，向量组（U）线性无关|B、向量组（I）线性相关时，向量组（U）线性相关C、向量组（U）线性相关时，向量组（I）线性相关| D向量组（U）线性无关时，向量组（I）线性相关|4. 下列命题中正确的是（C ）（A）任意n个n 1维向量线性相关（B）任意n个n 1维向量线性无关i!I（C）任意n 1个n维向量线性相关（D）任意n 1个n维向量线性无关5. 向量组1, 2, r线性相关且秩为s，则（D ）（A）r s（B） r s （C）s r（D） s r6. n维向量组 1， 2， s（3 s n）

4、线性无关的充要条件是（B ）.ii（A ）1，2， s中任意两个向量都线性无关II（B）1，2，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示（C）1，2，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示（D）1，2，s中不含零向量II7. 向量组1, 2, n线性无关的充要条件是（D ）: :i!A、任意i不为零向量B、1,2,n中任两个向量的对应分量不成比例IIC、1,2,n中有部分向量线性无关iID、1,2,n中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示Ii8. 设A为n阶方阵，R（A） r n，则A的行向量中（A ）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D

5、、任一行都可由其余r个行向量线性表示-9.设A为n阶方阵，且秩（A）1.1, 2是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX 0的通解为（CA、k 1、k(10.已知向量组1,1, 1,1 ,2,0,t,0 ,0,2,5, 2的秩为2，则t11.A、3、-3、-2设A为n阶方阵,R(A) r则A的行向量中（A）、必有r个行向量线性无关、任意r个行向量构成极大线性无关组、任意r个行向量线性相关、任一行都可由其余r个行向量线性表示12.设向量组A:3线性无关，则下列向量组线性无关的是（C）14. 已知向量组A线性相关，则在这个向量组中（C ）（A）必有一个零向量（B）必有两个向量成比例.（C）

6、必有一个向量是其余向量的线性组合.（D）任一个向量是其余向量的线性组合.15. 设A为n阶方阵，且秩R（A） n是非齐次方程组Ax b的两个不同的解向量,则Ax 0的通解为（）i（A） k（q a2）（ B） k（6 a2）（ C）（D）ka2l:I-16. 已知向量组 川L m线性相关，则（C ）i（A） 该向量组的任何部分组必线性相关.（B）该向量组的任何部分组必线性无关（C）该向量组的秩小于m .（D）该向量组的最大线性无关组是唯一的.17. 已知 R（ i, 2, 3）2,R（ 2, 3, 4）3,则（C ）（A）!, 2, 3线性无关（B） 2, 3, 4线性相关（C） !能由2,

7、3线性表示（D）4能由1, 2, 3线性表示k 113k18.若有301k6 ,则k等于0 2 135(A) 1(B) 2(C)3(D) 4第三题计算题：10211i135521.已知向量组1,2,3,4,52134242680(1)求向量组1 ,2,3,4 ,5的秩以及它的一个极大线性无关组；(2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。102111021 110210解：135520336 1011201213420112 000001426800224400000r( 1,2,3,4 ,5)3其极大线性无关组可以取为1,2 ,5且：321205，412 20 52.求向量组 A :i

8、 (-2,6,2,0)T ,2(1,-2,-1,0)T ,3(-2,-4,0,2)T:4(0,10,2, 2)t，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意，2120212062410r2 3r1011010A2102310022002200224 R111010011 302110101 32 1030100200111001111000012200001故向量组A的一个极大无关组为3，其中413.设 11,4,3T2,a,1,3T2,3,11)a为何值时,3线性无关.2)a为何值时,3线性相关.4.求向量组A:1,2, 1,1T、22,3,1, 2T、34,1, 1,0组,并把

9、其余向量用极大无关组线性表示第一步先用初等行变换把矩阵化成行（最简形）阶梯形矩阵.1211231241102r1r1r110002734473417r2324r2100021004100ri2r21000知 r(A)2,即1,彳2起，由矩阵F可见2f1则有5.已知11,4,2 T , 22,7,30,1,a3唯一线性表示并写出表示式23143a10a 30(1)3时,3线性相关.当a 3时,2, 3线性无关.的极大无关01002100的极大无关组，3,10,4 T，问a为何值时,I7.求向量组 A :1(1, 1,2)T，2(0,3,1)T，3(1,5,4)TT(1, 2,2)，(2, 3,4

10、)t的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示解:由题意,hW 1111:号学故向量组A的一个极大无关组为其中-:名姓8.试求向量组 1 =(1,1,2,2) T的秩和该向量组的一个最大无关组,2=(021,5)3=(2,0,3,-1)并将其他向量用此最大无关组表示4=(1,1,0,4) T12 33 0亠0ii解：;:I以1 ,2 ,3 ,4作为列构造矩阵 A即A=(1 ,2 ,3 ,4)ii:写填生学级班!:102110211021i-120102200110A=( 1,2 ,3 ,4 )=21300112000211:251405520002用初等行变换化 A为行阶梯形矩阵 T,则T的非

11、零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T。，:ii则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组.1匚10 2 10 1 1 0 =T,0 0010 000所以R(A)=3.故R(4 )=3.四、证明题:(10 分)1、设向量组3线性无关，求证:22，2233，33性无关.i证明：设存在数k1,k2,k3，使 k1( 12 2) k2(23 )k3 (3 31 )0成立。由k1(12 2)k2(2 133)k3(3 31)(k1a1,a2, a3线性无关k3) 1(2k12k2)3k2 3k3)0 得,0。2.已知向量组k12k13k3ks2k23k3k1k2k 31线性无关.ai, a线性无关，1+ 2 2,2 + 23,1 2 3线性无关.证：因为1 + 2 2, 2+ 23,1231 ,2,32100 22101r2 2r11 0111 2210=0 1261|2 20220 22因而