机考题库--微积分

1、多元函数微分学机考题说明：1. 考试时间为60分钟，满分为100分。2. 每份试卷共有15题，其中容易题6道，中等题6道，难题3道。3. 每份试卷中，1 10题每题7分，11 15题每题6分。4. 试题范围：多元函数微分学。、容易题1.二元函数 f(x,y)产一y2, (x,y) (0,0)在点(0,0)处0,(x,y)(0,0)(A)连续，偏导数存在。(B)连续，偏导数不存在。(C)不连续，偏导数存在。(D)不 连续，偏导数不存在。答：C2.设函数uu(x, y), vv(x, y)由方程组v2确定，则当v2v时,。(D)xv(A)。(B)。(C)u vu v答：B3.设(Xo,y。)是二元

2、函数f(x,y)定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是(A) 若f (x, y)在点(xo,y)连续，则f (x, y)在点(xo,y)的偏导数都存在。(B) 若f (x,y)在点(X0,y。)的两个偏导数都存在，则f (x, y)在点(x。，y。)连续。(C) 若f(x, y)在点(xoyo)的两个偏导数都存在，则f (x, y)在点(x, y)可微。(D) 若 f (x, y)在点(xoyo)可微，则 f (x, y)在点(Xo, y)连续。答：D4.函数f (x, y, z) ； 3 x2 y2 z2在点(1, 1,2)处的梯度是/112、仆、J12、一、/12、J12、(A) (一，

3、一)。(B) 2(, )。(C) (, )。(D) 2(,)。3 3 33 3 3999999答：A5. f(X,y)禾口 f(X ,y)在(xo, y。)连续对于函数 f (X, y) 在点(Xo, y。)可微是 xy(A)充分条件。(B)必要条件。(C)充分必要条件。(D)无关条件。答：A6.下列结论中错误的是(A) limx 0y kx0(k1)。x y(B) lim xylim 一1一0。x 0 x y x 0 1 1 y0y y 0 一 y x(C) limx 0y x2xy 1。xxy(D)lim 一不存在。y 0x y答：Bxy(x, y)(0,0)，又x t, y t，则下列结

4、论中正确7设函数zf(x,y)Jx2y2 ,0,(x, y)(0,0)的是(A) df (0,0)0。(B)dz t 00。(C) dz1t0 72。(D)1 dZt。逅dt。答：D&若一元函数z f (x, y)在点P0(x0,y0)处的两个偏导数，存在，贝V x y(A)f(x, y)在p点可微。(B) f (x, y)在P点连续。(C)f(x, y)在p0点沿任何方向u的方向导数存在。(D )元函数h(x) f(x, y)在x连续。答：D2z9已知 z In(x2 y2)，则(A)2(y2x2)(x2 y2)2(C)4xy(x2 y2)2答:10.(B)(D)若f (x, y)在点(xo

5、, yo)不可微，贝U定有(A)f (x, y)在点(Xo，yo)不连续。(B)(C)(D)答:11曲面(A)(C)答：B12 .设2(x2 y2) (x2y2)24xy(x2 y2)2f (x, y)在点(x0, y0)沿某些方向v的方向导数不存在。f (x, y)在点(Xo, yo)的两个偏导数至少有一个不连续。f (x,y)在点(xo, yo)两个偏导数存在且连续。S: xyz x y包含y轴。垂直于y轴。函数f (x,y)f(1, 2)x1,f(1, 2)yA. i 。答：D2在点(1, 1, 1)的切平面B)平行于y轴。D) A，B，C都不对。有连续B. j。1,则2 2arccos

6、(x y )(A) D (x, y) 0的偏导数，在点f (x,y)在点 M (1,C. i j。M (1, 2)的两个偏导数分别为2)增加最快的方向是F-的定义域是 ln(x2 y2)x2 y21 。D. i(B) D (x, y)x2 y21。13.函数z(C) D (x, y) 0 x2y21。2 2(D) D (x, y)x2 y21答：A14.已知函数z z(x, y)由方程F(x乙y z)0确定，其中函数F具有阶连续偏导数,且 F1F20，则-x(A)1。(B) 0。(C)-。2(D) 1。答：D15.二元函数f(x, y) 2xa.没有驻点。b.至多有一个极值点。c至少有两个极值

7、点。D至少有三个极值点。答：B16椭球面 x2 2y2 3z2Ax yz 6。B x 2y3z1。Cx 2y3z 6。D x 2y3z3。答:C17.已知zecosxy，则 dz (A)ecosxy sin(xy) (ydx xdy)。(B)ecosxy sin(xy)(ydx(C)eosxy sin(xy) (xdx ydy)。(D)eCosxy(ydxxdy)。答:B18.设zxyf () , f (x)可导，则x(A)yzxXZy2f (-)。(B)xzxyzyy2fG)。xx(C)yzxxzy 2z。(D)xzxyzy2z。答:D19.已知uyzxxy z，则6在点(1,1,1)的切平

8、面方程是xdy)。(A)yzzxxy 1(y xl nz)yyz1zxxy(z ylnx)。3.(C) x 4y 6z 21。(D) x 4y 6z 21(B)uyzzxxy 1(yxln z),uyz 1zx1xy In x。xy(C)uz 1 x y y z x y1 Inuz,z y1 x yz x(zy I n x)。xy(D)uz 1 x y y z x1 Inuz, -z y1 x 1 y . z x Inx。xy答:A20.函数3x y x y f (x, y)x y3汕在(x,y)(0,0)时(A)极限存在且等于零。(B)极限存在但不等于零。(C)极限不存在但是无穷大量。(D)

9、极限不存在也不是无穷大量。答:设有直线L :2xy 10z 30及平面:4x 2y z2 0,(A)平行于 。(B)在上。(C)垂直于 。(D)与斜交。答:Cx 2 x2y1 0直线-2 2yz与之间的关系是2yz2 0(A)重合。(B)平行。(C)相交。(D)异面。答:B曲面2 2 2x2y3z221的与平面x4y6z 0平行的切平面方程是(A)x 4y6z21。(B)x 4y 6z 21。2中等题2z1x1.2.则直线L答：D4设函数f (x, y)在点(0,0)处的偏导数fx(0, 0) 4 , fy(0, 0) 1，则下列命题中成立的是(A) 函数 f(x, y)在点(0,0)可微且

10、df (0, 0) 4dx dy。(B) 函数f (x, y)在点(0,0)的某邻域内必有定义。(C) 空间曲线 Z f(x,y)在点(0,0)处的一个切向量为 d 4k。y 0(D) 极限 lim f (x, y)必存在。(x,y)(0,0)7答：C5设 f (x, y)xy,0,x和 y都是有理数; 其它.(A)f 在(0,0)可微且df (0,0)0。(B) f 在(0,0)的两个偏导数存在但不可微。(C)f 在(0,0)可微，但 df (0,0)0。(D) A,B,C都不对。答:6设 f(x, y)sin Jxy ,则 f (x, y)在(0,0)点(A)连续，但偏导数不存在。(B)可

11、微。(C)连续且偏导数存在。(D)不连续但偏导数存在。12.已知uv答：C7.已知f(x,y)具有二阶连续偏导数，zf (x, xy),xy，则下列结论中正确的是(A)2z2x2fy x v(B)2z-2x(C)2z2xx22y丄x v2fy 2v(D)x2x2 2r答：D(A)若二兀函数zf (x, y)连续，则作为任一变量 x或y的一兀函数必连续。(B)若二兀函数zf (x, y)作为任变量x或y的元函数都连续，则z连续。(C)若二兀函数zf (x, y)可微，则其必存在连续的一阶偏导数。(D)若二兀函数zf (x, y)不连续,则其必不可导。答:A已知f有连续的二阶偏导数，2fxy,ax

12、y2，则 a xyA.1 。B.0 。C.1。D.2.。&下列命题中正确的是9.f(X, y)必答：C10.二元函数 f (x, y)1,0,x(x1)且 x其他在点(0,0)处(A)连续且偏导数存在。(B)连续但偏导数不存在。(C)不连续但沿任何方向的方向导数都存在。(D)不连续且偏导数不存在。答:ii.设z f (x, y)是由方程,3 xyzx2 y2 z20确定的函数.贝U f在(1,1)的梯度 gradf (1,1)A -1, -1B -1, 3D .2,、. 2。答：A2x2 yz3 x2yz,1,1,1，则(A)rnv(B) du(1,1,1)2。(C ) grad u(1,1,

13、1)0,0,1(D)答：D3，又设13 .已知函数 f(x,y)在点(1,1)处可微，且 f(1,1)1, fx(1,1)2, fy(1,1)nt dg(1).g(x) f(f(x,x),x)，则dx(A) 0。(B) 5。(C)11。(D) 13。答：Dy z 1的切线方程是z It22111xyz (A)288。21111yz(C) x 122。11114曲线 y 丄/的平行于平面x答：A1 x -1 y -1 z -(B)288。21111y -z -(D)x 122。11115 .设 z h(x, y)由方程 exyzy z确定，则h(x, y)在点P(0,1)的两个偏导数h(0,1)

14、和 h(0,1)x y(A) dz(0,0)3dx dy。A.分别等于0和-1。B.分别等于1和o。C.都等于0。D.都等于1。答：D16.椭球面S: x2 2y2 z252的与平面:x yz 40平行的切平面是(A) x y5 z(B) xy z5。22(C) x y55z。(D) xy z。24答：C17设函数f(x, y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0)3, fy(0,0)1，则(B)曲面 z f (x, y)在点(0,0, f (0,0)的法向量为(3,1,1)。(C)曲线 Z f (X,y)在点(0,0, f (0,0)的切向量为(1,0,3)。 y 0(D)曲线Z 泸在点

15、(0Af(00)的切向量为(3A1)。答：C18.已知f(x, y)e；sint2dt，则 df(x, y)等于e x(A)2xe2 2 2 2x sine 2x dx 2ye y sine 2y dy。(B)2xe x sine 2x dx 2ye y sine 2y dy。(C)2 2 2 22xe x sine 2x dx 2ye y sine 2y dy。(D)2xe x sine 2x22dx 2yey sine2y2dy。答:19.设 f (x, y)(x22 1y )sin二 2 x y0,x2y2(A)偏导数不存在。(B)不可微。(C)偏导数存在且连续。(D)可微。答:20.已

16、知曲面2zx22y2上点M处的切平面平行于平面(A)(1,1,1)。(B)1, 1,1)。(C) (1,1,1)。答:(A)(0,0)。(B) (2,2)。(C) (0,2)。，则在(0,0)处 f(x,y)y z 1，则M点的坐标(D) (1,1,1)(D) (2,0)。答：A21.函数zx3y33x2 3y2的极大值点是(C)设M。为光滑曲面外一点，Mi为曲面 上的点，若MMi是 在Mi处的法22.考虑二元函数.的下面四条性质：(1).】.在点；处连续，(2 ).； .!在点.处的两个偏导数连续，(3) 在点(”岛处可微,(4) 小_1在点.)处的两个偏导数存在。若用“厂=”表示可由性质广

17、推出性质,则有(A)二：_：; 一. 。(B):._：，.：。(C)二 2=.i。(D)-： 1:二。答：A三、难题1 .下列命题中错误的是(A) 若f(x)在a,b上可导，且存在唯一的极值点 M。，若f (M 0)是极小值，则f(M0) 必是f (x)在a, b上的最小值。(B) 若f (x, y)在有界闭域D的内部存在唯一的极值点M0，若f (M0)是极小值，则f (Mo)必是f(x, y)在D上的最小值。(C) 若f (x, y)在有界闭域 D的内部取到最小值，且 M0是f (x, y)在D内的唯一极值 点，则f(Mo)必是f (x, y)在D上的最小值。(D) 连续函数f(x,y)在有

18、界闭域 D上的最大、最小值可以都在D的边界上取到。答：B2.下列命题中正确的是(A) 设M。为曲面 外一点，M!为曲面 上的点，若 MM! mi nMM。，则M 11M0M,是在M,处的法向量。(B) 设M。为光滑曲面外一点，M!为曲面 上的点，若 MM!mi nMM。,M 1则MM!是在M1处的法向量。(D)答:向量，则MoM i设M。为光滑曲面向量，则MoMj3.设f(x, y)是一二元函数,m“ mm o。外一点，Mj为曲面max MM o。上的点，若MMi是在Mi处的法(xo, yo)是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是f (x, y)在点(Xo, yo)的梯度是(A)若f (

19、x,y)在点(xo,yo)的两个偏导数都存在，则gradf)(止加，上乂。(B)f (x,y)在点(xo, yo)的两个偏导数都存在，则f (x, y)在点(xo, yo)沿方向(cos ,sin )方向导数是空沁丄色加沁xf(x,y).siny(C)f (x,y)在点(xo, yo)的两个偏导数都存在，则f (x,y)在点(x。，y。)的微分是df(xo, yo)(D)若 f (x, y)在点(xo, yo)可微，则f (x, y)在点(xo, yo)的微分是答:df(xo, yo)4已知函数f (x, y)在点(o,o)的某个邻域内连续，且十1,则(A)点(o,o)不是f (x, y)的极

20、值点。(B) 点(o,o)是f (x, y)的极大值点。(C) 点(o,o)是f (x, y)的极小值点。(D)根据所给条件无法判断点 (o,o)是否为f (x, y)的极值点。答：A且满足等式5 设D是一有界闭域,函数f(x, y)在D上连续，在 D内偏导数存在,f(x, y),xyf (x, y)在 D 上若f (x, y)在D的边界上恒为零，则(A) 存在非零的最大值。(B) 存在非零的最小值。(C) 只在边界上取到最大值和最小值。(D) 能在边界上取到最大值和最小值。答：D6.已知 f (x, y)0,xy1,xy00,v(A)f(1,)0,xf(1,0) y0。(C)f(,0)0。v答:Dxy,xy07.已知f(x,y)x,y0 ,y,x0(A)lim f (x, y)x 0y 0f(0,0)。(C)f(0,0) 1,_xf (0,0) y1。答:D&设二元函数f (x,y)是有界函数(A)函数、xy f (x