第四章相似矩阵

1、矩阵的对角化习题 1试用施密特法把下列向量组正交化： 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 4 ； (2) (a1,a2,a3 ) 1 0 1 1 3 9 1 1 0 (1) (a1, a2,a3) 2下列矩阵是不是正交阵 3设 A与B都是 n阶正交阵，证明 AB 也是正交阵 1 1 1 1 8 4 1 2 3 9 9 9 1 1 8 1 4 1 ; (2) 2 2 9 9 9 1 1 4 4 7 1 3 2 9 9 9 (1) 4求下列矩阵的特征值和特征向量 : (1) 11 24 ; (2) 12 3 3; 6 a1 a2 (3)a1 a2 an , (a1 0). an 1 2 4

2、 5 0 0 5设方阵 A 2 x 2 与 0 y 0 4 2 1 0 04 并问它们的特征向量是否两两正交 ? 相似，求 x, y . 6设A,B都是n阶方阵，且 A 0，证明 AB与BA相似 7设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 1, 2 0, 3 1 ；对应的特征向量依次为 2 1 2 P1 2 P ， P 2 2 ，P3 1 ，求 A 2 1 2 8设 3 阶对称矩阵 A的特征值 6，3，3，与特征值 6 对应的特征向量为 P1 (1,1,1)T ,求 A . 9试求一个正交的相似变换矩阵 ,将下列对称矩阵化为对角矩阵 : 2 2 0 2 2 2 (1) 2 1 2 ; (2) 2 5

3、 4 0 2 0 2 4 5 3 1 0 4. A 1 k 0 是正定阵，则 k满足条件 。 00k2 5. 实对称 n阶半正定矩阵 A的秩为 r n ，则二次型 XT AX 的规范形为 10 9 10(1) 设 A ，求 ( A) A10 5A9； 23 212 (2) 设 A 1 2 2 ,求 ( A) A10 6 A9 5A8 221 次型习题 一、填空题 1. 实二次型 f(x1,x2,x3) x12 3x22 3x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 的矩阵为 n 2. 二次型 f x1, ,xnxi2xixj 的矩阵为. i 1 1i j n 3. 二次型 f ( x1, x2

4、, x3 ) x12 2x22 x32 2 x2x3 是正定的充分必要条件是 与 满 6. 1 实二次型 f(X) x1, x2 , x3 5 x1 x2 的矩阵为 x3 7. n 阶 实 对 称 矩 阵 A 正 定 则 二 次 型 XTAX 的 规 范 形 4 C) A 的所有主对角线上的元素大于 0； D)存在可逆矩阵 C，使 A CC 为。 8. 二次型 f (x1,x2 xn) 2x1x2 2x1x32x1xn 2x2x32x2xn2xn 1xn 的矩 阵为 。 、选择题 1. 设 A是实对称矩阵，二次型 f X XAX 正定的充要条件是( ) A) A 0 ； B)负惯性指数为 0

5、； 2. 设A是任意实矩阵，那么二次型 f x XAAX 必是( ) A、半正定； B 、半负定； C 、正定； D 、负定； 3. 实方阵 A为正定阵, 则下列结论正确的是 ( ) 。 A. |A| 0 B. |A| 0 C. | A| 0 D. 不确定 4. 已知二 次型 f(x1,x2,x3) XT AX通过正交线性替 换化为标准形 y12 2y22,则矩阵A ( )。 A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定 5. 二次型 f (x1, ,xn) 的系数矩阵是()时必是正定的。 A. 实对称且主对角线上元素为正 B. 实对称且顺序主子式值都为正数 C. 实对称且所有元素为正 D

6、. 实对称且行列式值为正数 6. 已知二次型 f ( x1, x2 , x3 )通过非退化线性替换化为标准形 y12 3y22, 则二次型 f (x1,x2,x3) ( )。 A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定 三、计算题 1. 设二次型 222 f (x1,x2,x3) x1 4x2 4x3 2 x1x2 2x1x3 4x2x3 问 取何值时， f 为正定二次型？ 2. 化二次型 f（x1,x2,x3） x12 2x1x2 4x1x3 x22 4x23 3 x2 x3为标准形，写出所作的非退化的 线性替换并回答下列问题： （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该

7、二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 3. 化二次型 f（x1x2 x3） x1x2 x2x3为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问 题： （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 4. 化二次型 f （x1,x2,x3） x1x2 2x2x3 3x1x3为标准形，写出所作的非退化的线性替换 并回 答下列问题： （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 5. 化二次型 f （x1,x2,x3） 4x1x2 2x1x3 2x2x3 为标准形，写出所作的非退化的线性替 换并回答下列问题： （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 6. 用合同变换法化二次型 f（x1,x2