公式法解一元二次方程

1、22公式法解一元二次方程一元二次方程的求根公式一元二次方程 ax2+bx +c =0 （ a 0 ）的求根公式为:x =-b b 2 -4 ac2 a（ b2-4 ac 0）当 b2-4 ac 0 时,一元二次方程无实数根.例 1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式. 证明: ax 2 +bx +c =0ax2+bx =-cb c x 2 + x =-a ax2b b 2 c b 2 + x + =- +a 4a 2 a 4a2 b x + = 2a b 2 -4 ac 4a 2b b 2 -4 acx + =2a 2 ab b 2 -4 ac b b

2、2 -4 ac x + = 或 x + =-2 a 2 a 2 a 2a x =1-b + b 2 -4 ac -b - b 2, x =2 a 2 a-4 ac即一元二次方程 ax 2+bx +c =0 （ a 0 ）的根为 x =-b b 2 2 a-4 ac（ b2-4 ac 0）.注意:当 b 2 -4 ac 0 时,一元二次方程 ax 2 +bx +c =0（ a 0 ）有实数根;当 b 2 -4 ac 0 时,二次根式 b2-4 ac 无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1） 把一元二次方程化为一般形式;（2） 确定 a, b

3、, c 的值,包括符号;（3）当 b2-4 ac 0 时,把 a, b, c 的值代入求根公式求解;当 b2-4 ac 0 时,方程无实数根.第 1 页12122例 1. 用公式法解方程: 2 x2+x -6 =0 .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式 ,并正确确定 a, b, c 的值,包括符 号.解: a =2, b =1, c =-6 b 2 -4 ac =12 -4 2 (-6)=49 x =-1 49 -1 7 =4 4-1 +7 3 -1 -7 x = = , x = =-2.4 2 4例 2. 解下列方程:（1） x2+4 x =2 ;（2） 4 x2+4 x

4、+10 =1 -8 x .解:（1） x2+4 x -2 =0b2-4 ac =42-4 (-2)=24 x =-4 24 -4 2 6=2 2=-2 6 x =-2+ 6, x =-2- 6 ; 1 2（2） 4 x2+12 x +9 =0b 2 -4 ac =12 2 -4 4 9 =144 -144 =0 x =-12 0 -12 0 =8 83 x =x =- .2说明:当 b2-4 ac =0 时,一元二次方程 ax2+bx +c =0 （ a 0 ）有两个相等的实数根.例 3. 解方程: x 2 -6 x +1 =0 . 解: b 2 -4 ac =(-6)-4=36-4 =32

5、x =6 32 6 4 2=2 2=3 2 2 x =3 +2 2, x =3 -2 2 .1 2用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程 ax 2 +bx +c =0（ a 0 ）,可以用 a, b, c 的值确定方程解的情况以及方程的解 , 并且求根公式里面的二次根式b2-4 ac 有意义的条件即为方程有解的条件 : 当第 2 页( )b2-4 ac 0 时, 二次根式 b2-4 ac , 一元二次方程有实数根 ; 当 b2-4 ac 0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; （2）当 b 2 -4 ac =0 时,方程有两个相等的实数根.把 b2-4 ac 叫做一元二次方程根的判别式 ,用“ d” 表示 ,所以 d=b2-4 ac .在不解方程的前提下,可以由 d的符号确定一元二次方程根的情况. 习题 1. 解方程:（1） 2 x 2 -x =6 ;（2） 4 x 2 -3 x -1 =x -2 ;（3） x2-2 x +2 =0 ;（4） 2 x x + 2 =-1.习题 2. 已知 a 是一元二次方程 x2-4 x +1 =0 的两个