晶格动力学讲稿

1、第四部分 晶格动力学 前一章我们假定离子实处于平衡位置静止不动，然后讨论 电子的运动。实际上，晶体中原子并非静止不动的，离子实围 绕其平衡位置作微振动，其平衡位置就是其晶格格点。这种晶 格振动是电子所受散射的主要来源。 在这部分将主要介绍晶格动力学的基本理论和方法。在晶 体的薛定谔方程里，得到离子实满足的薛定谔方程。 求解离子实的薛定谔方程的困难和在能带理论中碰到的相同 ，来源于离子是间的相互作用，成为多体问题。 zzzz EH 2 2 2 m UUTH ezzzz 1 简谐近似 假定晶体中离子实或原子任意时刻的位置为 （1） 其中是偏离平衡位置的位移矢量，对N的原子位移 矢量有3N个分量，i

2、=1,2,3,.,3N N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数 （2） 如果只保留第一个非零项，即位移的2次项 tuRR nnn tun ji N ji ji i N i i uu uu V u u V VV 3 1, 23 1 2 1 （3） 这种近似称为简谐近似。 ji N ji ji uu uu u V 3 1, 2 2 1 2 一维单原子晶格的振动 （1） 运动方程及其解 每个原子的质量为m 晶格间距 a 原胞原子数N 总长 L=Na 格矢 偏离格点的位移用 假设：原子限制在沿链的方向运动，只有近邻的原子存在作 用设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为 ， 令 （相对位移）

3、 naRn 11 , nnn av nn 1 产生相对位移后，相对作用势变为 （4） 在简谐近似下，相邻原子间的作用力为 （5） （ 为弹性系数) 考察第N个原子的运动情况。 左方第（n-1）原子与它的相对位移 ， 作用力为 右方第（n+1）个原子对它的相对位移 ， 作用力为 根据牛顿定理，得到第n个原子的运动方程为 （6） av 2 2 1 avav d dv F 1 nn 1 nn nn 1 nn 1 nnnnnnnn m2 1111 每个原子对应一个（6）样的方程，若原子链有N个原子， 则有N个方程。（6）式实际上代表N个联立的线性方程。该方 程的解为振幅为A，频率为 的简谐振动 （7）

4、 式中qna表示第n个原子振动的位相因子。 每一个原子都绕共同的平衡位置作简谐振动，振动振幅和 振动频率相同。但从整体上看，每个原子的振动位相各不相同 ，相邻的原子为相差为qa，因此（7）式代表了一种全部原子都 以同一频率，同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体 振动模式格波。因为是简谐近似，所以也称维简谐格波。 格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式 格波晶格振动的简正模。 tqnai n Aeu （2）q的取值范围 当位相因子之差改变 的整数倍时，当 时 （s为整数） 所有原子的振动都完全相同，即当第个原子和第n个原子 的距离为为的整数倍时，原子因振动产生 的位移相等。因

5、此，将q限制在范围内，或 。 （3） 色散关系 把（7）式代入（6）式可得，对给定的q相应的频率为 （） 2s a naan 2 n tqnaitaqni n AeAe n naan q 2 qa a q a m qacos12 2 （9） 把的关系称为格波的色散关系。也称晶格振动频谱 当时 最大值 高于该频率的格波不能在晶体中传播 因此称为截止频率。 由（9）是也可看出，因为（9）式中未出现标志原子的变量n， 这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模 式 aq mm qa q 2 1 sin2 cos12 2 1 q a q 2 1 4 m m m a a m q 0 （4）

6、 的周期性 由（9）式可知: 是q的周期函数，周期为 （ m是整数） （10） 即q与 实际上表示的同一格波的格矢， 具有倒格子的周 期性。这也是将q限制在 范围的原因，保证 的单值 性。 由（9）式还可看出 ： 具有反演对称性， 是q的偶函数 （11） a 2 qm a q 2 m Gq q a q a q n mnitqnai tnam a qi n eAeAe 2 2 qq q 若q为正，表示沿某方向前进的格波。 若q为负，表示沿反方向传播的格波。 格波的相速度: (12) 格波的群速度： （13） 都是q的函数，表明格波具有色散性质，而弹性波的波速只 与介质的性质有关而与波矢是无关。

7、（5） 长波近似极限情况下的波动性质。 当 时，即 的情况下，则 即当q很小时， 。 q qa mq V p 2 1 sin 2 2 cos2 qa mdq d V a0 2 q 22 sin qaqa qV qa m 2 4 2 1 由（9）式得： （14） 在长波下， 与波矢无关 格波的相速度： 格波的相速度也与波矢无关。因此，在长波情况下（ ） ，格波看作是弹性波。因为波长 很大时，相比起来晶格常数a 很小。所以可以把晶格看成连续介质。 （6）q的取值数目及格波数 由于晶体的体积是有限的，因而q的取值不是任意的，q的取 值由边界条件决定。 采用周期性边界条件（玻恩卡门边界条件） ： V

8、p V p a nnN 是整数 （15） 即描写晶格振动的状态的波矢q只能取一些分离的值。 因为q介于 之间。 即 只取N个不同的值。 因此，由一维单原子组成的一维晶格，q只能取N个不同的值。 n iqNatqnaitanNqi nN eAeAe 1 iqNa e lqNa2l l Na q 2 aa , a l Naa 2 22 N l N l 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N个 不同的值，对应N个 ，因此，独立的格波函数为N。 结论： 晶格振动频率数目=晶体的自由度数。 3 一维双原子晶体的振动 （1） 运动方程及其解 设一位晶格由N个原胞组成，每个原胞有两个不同原子，

9、质 量为M ，m。 在平衡时相邻原子距离用a表示 偏离晶格点的位用 表示。 设只有相邻原子间存在相互作用，互作用能取简谐近似。 与一维单原子链的情况类似，可以写出原子的运动方程。 , 122nn uu （16） 具有格波形式解： （17） （2） 色散关系 将（17）式代入（16）式得 （18） nnn m 21212 2 12212 2 nnn M tnaqi n Ae 2 2 tqani n Be 12 12 0cos22 2 BqaAm 02cos2 2 BMAqa 要使A，B有非零解，系数行列式为0； （19） 从而得到 （20） 表明： 与q之间的色散关系可以去两种形式，相应的每个q

10、 对应两类不同的格波： 对应的格波声学支 对应的格波光学支 将（20）式中的 ，代入（18）式，得到声学波和光 学波情况下A,B之比： 0 2cos2 cos22 2 2 Mqa qam 2 1 2 2 2 sin 4 11qa Mm mM nM nM （21） （22） （3 ）q的取值范围 一维复式格子，晶格周期为2a， q限制在 （4）q的取值数目 一维复式格子有N个原胞（每个原胞含2个不同的原子） 根据周期性边界条件： 得 q只能在 范围取N个不同的值。 波矢的数目=晶体的原胞数 2 2 2 cos2 cos2 2 m qa qa M B A aa 2 , 2 nnN22 Na l q

11、 22 q a 2 2 2 cos2 cos2 2 m qa qa M B A （5）格波数目 一维复式格子，对应于每个q值有两个不同的，一个是 光学波角频率，一个是声学波角频率。因此振动频率数为2N， 每个频率对应一个格波，因此，格波数为2N。 在一维双原子链中，每个原胞有2个原子， 晶体的自由度为2N。因此： 晶格振动的频率数=晶体的自由度数 （6）声学波和光学波 由（20）因为2qa介于 之间，所以 , 00 min Ma 2 2 max na 2 2 min Mm Mm 2 0 max 因为m ，当 介于 与 之间时，将有 0， 意味着这样频率的电磁波不能在离子晶体中传播。 0T 0L 0L 0T 七.非简谐效应 假设晶格振动是严格简谐的，就没有热膨胀、热传导。实际的热 膨胀、热传导是原子之间的非谐作用所引起的。 八.非晶固体中的原子振动 前面讲的是理想晶体中原子振动，其本征振动模是一次列格波。 为格波的波数矢量。对于每一种本征振动，能量取值是量子化的。 非晶固体中原子排列是连续无规形式，不存在周期性，是近程有 序。 （1）不存在格波的概念，也就不存在波矢 。 （2）仍存在一系列本征振动，其能量本征值是量子化的。 若非晶固体包含N个原子，自由度为3N，按理想力学的一般原理 ，原子偏离平衡位置的小振