数学建模跳高问题

1、杭州电子科技大学第十三届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了学校第十三届大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为： 参赛队

2、员 (打印并签名) ：1. 姓名（打印） 学号 签名 2. 姓名（打印） 学号 签名 3. 姓名（打印） 学号 签名 日期： 年 月 日校评阅编号（由校数模组评阅前进行编号）：杭州电子科技大学第十一届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页校评阅编号（由校数模组评阅前进行编号）：跳高运动中数学问题摘要随着现代科技的发展，将数学建模的思想融入到体育训练中，将更多数据量化，来分析体育运动员的优劣势，从而来帮助他们进行更合理的、更有针对性的体育训练，这是信息时代发展的必然趋势。本文通过拟合、logistic模型（阻滞增长模型）、多元线性回归模型、非线性多元回归模型等方法对跳高运动进行了分析和预测。针对问

3、题一和二，我们采用了利用阻滞增长模型进行预测，主要原因是随着社会的高速发展，影响跳高运动员的身体素质指标在理论上也是有极限的，不可能无限制的增加。所以我们根据logistic模型，对数据进行了拟合，得到相应的函数，根据函数预测出下一届奥运会的成绩，由于人体机能等因素的限制，其中男子的极限成绩将会达到2.4024米，女子达到2.1173米。在问题三中，根据附表内容，我们建立了各身体素质指标与跳高成绩的散点图，发现是符合线性关系的，因此，我们采用多元线性回归模型对国际男子的身体素质进行了分析，此外，我们还用到了随机数法检验多元线性回归模型的得到的成绩，利用rand函数产生一组随机数，对模型进行了检

4、测，发现与真实数据非常吻合。同样的，我们将国内男子的各项身体素质指标与跳高成绩建立了散点图，发现其不符合线性关系，所以我们采用了非线性回归模型对国内男子身体素质进行了分析，其中还用到了逐项回归模型，从逐项回归图中，我们可以清楚的看到跳高成绩与助跑摸高的相关性极强，与其他因素相关性则较弱。在问题四中，我们以背越式为例，具体分析了运动学对背越式跳高的影响。背越式主要步骤为助跑，起跳，过杆和落地，背越式技术可以更好的利用起跳的的功率，使身体重心腾起的更高，表现在运动员的助跑速度、起跳速度和过杆速度的提高，尤其重视摆动技术在提高起跳速度和过杆合理性方面的重要作用。关键词：极限预测、拟合、logisti

5、c模型、多元线性回归、随机数检测、非线性多元回归、逐项回归一 问题重述随着科学技术的发展和竞技体育标准的不断提高，“数学模型”在我国体育领域中的应用研究越来越广泛。通过建立数学模型,进行精度分析,可以为运动员的培养提供科学的训练依据。不少颇有远见的高水平运动队,通过对运动员体能、技能、心理等竞技能力水平指标和训练方式、训练负荷、训练量等信息的收集分析,来进行辅助训练、决策并卓有成效。跳高（High Jump）运动是田径运动的田赛项目，是一种由有节奏的助跑、单脚起跳、越过横杆落地等动作组成，以越过横杆上缘的高度来计算成绩的运动项目。最初起源于英国，1864 年，英国首先将跳高列入田赛比赛项目，英

6、国运动员罗伯特柯奇以“跨越式”创造了1.70 米的第一个跳高世界纪录。1895 年美国人斯维尼发明了“剪式”跳高，并以这种姿势创造了1.97 米的世界纪录。滚式跳高亦源于美国，1912 年，在美国斯坦福大学的运动会上霍林用“滚式”跳过了2.007 米的横杆，成为世界上第一个突破2 米大关的人。俯卧式跳高起于20 世纪20 年代的苏联运动员伏洛佐夫，1936年美国运动员阿尔布里顿创造了2.07 米的世界纪录后，才得到人们的认同和重视并开始被普遍采用。现在，经过百余年的演变和发展，已达到相当高的水平。尤其是背越式技术的出现，使跳高运动水平有了新的突破。目前世界跳高运动总体水平正处于稳定发展时期，然

7、而我国的跳高运动却出现了滑坡现象。在这种形势下,我们对当代世界跳高运动发展特点进行研究。对中国和世界的跳高成绩进行比较研究，分析影响跳高成绩的关键因素，能使我们更多地了解和掌握世界跳高的动态及发展趋势。请你们的团队从附表1给出的历届奥运会跳高冠军成绩，附表2、表3分别给出的某一时期国际、国内运动员训练素质与比赛成绩数据，以及国际田联（/statistics/toplists/index.html）1978年以来男、女跳高竞赛成绩，国际奥委会官方网站（/athletics）等有关网站搜索相关资料和补充新的数据，解决如下

8、问题：1. 通过国际田联、或国际奥委会官方网站提供数据，建立数学模型，分析男、女跳高运动成绩极限状态； 2. 预测即将到来的30届伦敦奥运会男、女跳高冠军成绩；3. 就附表1、表2数据，选择合适的方法，从身体素质角度分析影响跳高运动员成绩的重要因素；4. 从运动学角度分析影响跳高运动员成绩的因素。二、问题分析与建模求解1）问题一、二1.模型假设：阻滞增长模型我们假设运动员跳高成绩增长率是跳高原成绩的线性减函数，即随着跳高成绩的增加，跳高成绩增长速度会慢慢下降：运动员跳高成绩最终会达到饱和，且趋于一个常数，当时，增长率为0：由上面的关系式可得出：把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件，可

9、以得到：解得：2.定义符号说明： -运动员跳高成绩增长率 -跳高原成绩-跳高成绩的极限3.模型建立与求解：表1 历届奥运会男、女跳高冠军成绩届123457891011年份1896190019041908191219201924192819321936男子（米）1.811.901.801.901.931.931.981.941.972.03女子（米）1.591.6571.60届14151617181920212223年份1948195219561960196419681972197619801984男子（米）1.982.052.362.35女子（米

10、）1.681.671.761.851.901.821.921.931.972.02届242526272829年份198819921996200020042008男子（米）2.382.342.392.352.362.36女子（米）2.032.022.052.012.062.051) 男性利用初始条件，可以得到：解得：同理，女性有利用初始条件，可以得到：解得：我们可以利用已有数据拟合求解得（程序见附件一）:, , 可以预测第30届伦敦奥运会男、女冠军成绩分别为2.3845、2.0707。如下图为男女冠军成绩增长曲线：图1 男女冠军成绩增长曲线2）问题三1、影响国际男子跳高成绩重要因素多元线性回归模

11、型：一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 一：多元回归11.多元回归模型(multiple regression model)称为多元线性回归模型12多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量.13误差项 为随机变量14 为模型的参数，称回归系数 15误差项是一个期望值为0的随机变量，即E(e)=0.1 6误差项的方差都相等，即17误差项服从正

12、态分布，即称为总体多元线性回归方程. 表示当其他变量不变，而每变动一个单位时，E(y ) 相应的变值.二、估计的多元回归的方程2.122、参数的最小二乘估计使因变量的观察值 y 与估计值之间的离差平方和达到最小来求 ， 即使达到最小. 称 为 的最小二乘估计.根据微积分中求极值的原理， 应是下列正规方程组的解表2 国际男子跳高运动员各项素质指标序号跳高成绩Y30行进跑X1三级跳远X2助跑摸高(净高)X3助跑46步跳高X4后抛铅球X5深蹲杠铃X6杠铃半蹲系数X7100X8 12.42.65162002.5510.722.312.99.651.182.1815177.52.3

13、210.932.392.710.051.242.2415.9197.52.5210.842.332.99.751.192.1915.3182.52.3710.952.372.89.951.222.2215.7192.52.4710.862.2739.451.162.1514.21702.21172.352.89.8187.52.4210.882.392.215.41852.3910.992.28614.41702.2411102.382.1815.21802.3410.9112.312.21

14、15.61902.4510.8122.3714.81752.2910.9132.2939.551.172.1614.6172.52.2610.9142.26414176.52.1811152.382.7101.232.2315.81952.510.8三 逐项回归我们根据表中所给数据，分析得到各个影响跳高成绩的身体素质指标与跳高成绩的相关性。画出Xi i=1 ,2 , 8; 与Y的散点图，判断X与Y的线性相关性。由图得知X1，X8，即3行进跑 ，100m跑的成绩与跳高成绩Y没有相关性，至少没有其他因素与跳高成绩的相关性强，所以在拟合回归方程时对30m行

15、进跑，100m跑的成绩不予考虑。以下为国际男子跳高运动员各项素质指标与跳高成绩的散点分布图：图2 三十米行进跑与跳高成绩的关联性图3 三级跳远与跳高成绩的相关性图4 助跑摸高与跳高成绩的相关性图5 助跑46跳高与跳高成绩的相关性图6 后抛铅球与跳高成绩的相关性 图7 深蹲杠铃与跳高成绩的相关性 图8 杠铃半蹲系数与跳高成绩的相关性 图9 100m跑与跳高成绩的相关性图10 残差分析图注释：黑色直线点可是为异常点31 拟合系数B（原程序见附件二）b = 0.380000000000056 0.199999999999989 0.000000000000094 -0.000000000000037

16、 0.000000000000002 -0.000000000000000 -0.000000000000001 b 相应的置信区间bint = 0.379999999999630 0.380000000000482 0.199999999999903 0.200000000000074 -0.000000000000070 0.000000000000259 -0.000000000000217 0.000000000000143 -0.000000000000008 0.000000000000012 -0.000000000000000 0.000000000000000 -0.0000

17、00000000139 0.00000000000013732残差r = 1.0e-014 * -0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.1332267629550190 0.088817841970013 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 -0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006残差置信区间rint = 1.0

18、e-014 * -0.174827876818459 0.086010034848446 -0.075632338755296 0.164450180725308 -0.102792636223376 0.191610478193389 -0.111724823478331 0.200542665448343 0.006006450717947 0.260447075192090 -0.113347975666237 0.113347975666237 -0.034688669879802 0.212324353819827 -0.037816211774479 0.1266340537444

19、92 -0.043071619076001 0.131889461046013 -0.100443457735274 0.189261299705287 -0.150512906389603 0.150512906389603 -0.124259209630290 0.213077051600302 -0.177784444724125 0.088966602754112 0.044408920985006 0.044408920985006 -0.118516213105756 0.207334055075769残差置信区间包含0点，说明回归模型y=0.38+0.19999*x2能较好地符合

20、原始数据33 相关系数平方R ； 假设统计变量F； 及F对应的频率stats = 1 7.88760373475343e+027 1.22480195141135e-110 5.91645678915759e-031R2为 1 说明自变量与因变量有较好的相关性。得到回归方程： y=0.38+0.19999*x2表3原始数据与预测数据的比较序号123456789原始成绩Y(m)2.42.312.392.332.372.272.352.342.28预测成绩y(m)2.4002.3102.3902.3302.3692.2702.3492.3392.279序号101112131415原始成绩Y(m)2

21、.322.362.32.292.262.38预测成绩y(m)2.3192.3602.29992.2902.2592.379四 .产生随机数进行模型检测41算跳高运动员的各项身体素质指标是符合均匀随机分布的，我们可以利用产随机数的方法来检测我们得到的多元回归方程。 42 随机数的产生方法：首先利用rand函数产生一组0-1分布的均匀随机数R要产生在（N, M）上的均匀随机数， Y=N+R*(M-N)即可产生.43 利用产生随机数的方法，在带入到我们的回归方程利用MATLAB软件得到一组运动员的跳高成绩如下：（程序见附件三）表4利用产生随机数的方法得到的跳高成绩序号12345678成绩2.3652

22、.2952.33082.3572.382.3942.3362.279序号9101112131415成绩2.2802.2962.3772.2952.3732.2942.3902、影响国内男子跳高成绩重要因素 一：问题分析11利用MATLAB画图工具画出影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标与运动员跳高成绩的XY散点图如下图。由图可以直观的得出结论：跳高成绩与运动员身体素质指标没有很明显的线性相关性。所以我们不能利用线性回归方程来给出预测模型。 12同时我们利用MATLAB软件逐项回归函数，也可以得出相同的结果，又图8可知，在影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标中只有X3即助跑摸高与跳高成绩有线性相

23、关性。所以对于国内男子跳高成绩，我们可以用非线性回归的方法来预测。二：非线性回归方程 21 非线性回归是在影响因变量的多个自变量与因变量线性相关性不强的时候，采用的一种函数拟合预测方法。我们可以利用MATLAB自带函数来给出预测。（程序见附件四）22 回归可以用以下两个命令之一：（1）:确定回归系数的命令：【betra,r,j】=nlinfit(X,Y,model,betr0)其中，输入数据X,Y分别是n,m 矩阵和n维列向量；betr0是回归系数的初值。Betra 是估计出来的回归系数，r(残差)，J是估计预测误差需要的数据。（2）非线性回归命令：nlintool(X,Y,model,bet

24、a0,aplha) 其中各参数含义同上，alpha为显著性水平，缺省时为0.05.命令产生一个交互式的画面，画面中有拟合的曲线和Y的置信区间。对某些非线性回归也可以化为线性回归来预测。表5国内男子跳高运动员各项素质指标序号跳高成绩立定跳远原地纵跳助跑摸高深蹲杠铃半蹲杠铃100跑30行进跑1 12.193.15903.615532011.43.722.212.9803.616532010.763.4532.183.2903.514526011.23.5642.23.11863.4311026010.753.4452.393.11943.7112520010.93.4362.122.95753.5

25、214022011.83.6572.23803.5211030011.53.782.183.2953.4316531011.53.792.122.86843.414029012.14102.082.9853.35130280113.61123.2903.2515030511.33.6表6 非线性回归模型产生的预测成绩序号12345678原始成绩82.22.38预测成绩2.23132.19232.17412.16862.39822.12572.20232.1485序号91011原始成绩2.122.082预测成绩2.10412.10462.0198影响运

26、动员跳高成绩的各项身体素质指标散点图：图11 深蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性 图12 半蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性 图13 100米跑与国内男子跳高成绩的相关性图14 30米跑与国内男子跳高成绩的相关性逐步回归图 图15国内男子各项素质指标与跳高成绩的逐步回归图图16 国内男子预测成绩与真实成绩对比图3、结果分析与总结研究主要结论如下：通过散点图以及多元线性模型分析，国际男子的各项素质指标主要与三级跳远、助跑摸高(净高)、助跑46步跳高、后抛铅球、深蹲杠铃、杠铃半蹲系数有关。我国男子的各项素质指标主要与助跑摸高有极大地相关性，而与跳高、立定跳远、原地纵跳、深蹲杠铃、原地杠铃、100m

27、跑、30m跑的相关性相对不明显。目前我国男子跳高水平与世界差距越拉越大。制约我国跳高项目运动技术水平提高方面存在的问题有： 3).问题四背越式跳高分为四个步骤：1） 助跑：助跑一般为“J”。助跑的预备段是一条直线或者曲率很小的线曲，然后逐渐向弧线过度，弧线曲率由大变小，是身体逐步加大内频。2） 起跳：使助跑获得的水平速度迅速转变为垂直向上运动的速度，以身体充分向上腾起，并为过杆做好准备。起跳动作可分为跳腿的着地，缓冲，蹬伸三个阶段以及摆动腿与双臂的配合。3） 杆和落地：过杆就是充分利用起跳获得的腾空时间改变身体姿势，并利用身体的屈伸，旋转越过横杆。跳高的高度H由三个部分组成：H1：腾空前身体重

28、心的高度。又可分解为h1,h2,h1是起跳脚着地后屈膝缓冲至最大程度时，地面到身体重心的高度。h2是起跳离地瞬间身体身体重心的高度H1减去h1.H2：腾空前身体重心高度到腾空最高点的垂直距离；H3：腾空最高点是身体重心与横杆的垂直距离。H=H1+H2+H3数学模型组建：1. 模型假设：助跑阶段：助跑的预备段为均匀加速度直线运动。曲线段为变加速与那周运动。不考虑风俗对人的阻力。把人看成一个质点；起跳阶段：（1）缓冲阶段，起跳脚着地屈膝缓冲至最大程度。由于发生在一瞬间，人的重心下移可堪称是匀减速运动。且人只受到垂直地面向上的支持力，重力和水平阻力。水平速度和垂直速度的变化是相互独立的。（2）蹬伸阶

29、段，人的中西迅速上移，大腿伸直，且人的重心在人所受反作用力的作用线上。人体可垂直向前上方摆动。发生时间较短，在这一过程所受的力为恒力，可近似看成匀加速运动。过杆：（1）把人看作一个质点，即重心为质点 （2）人哎空中做斜抛运动，只受重力作用，忽略空中对人的阻力。 2、 符号定义： a-匀加速度直线运动的加速度 F-人体所受的摩擦力 R-曲线半径 f1-起跳水平防线阻力 f2-起跳垂直方向支持力 t0-缓冲时间 v1-起跳脚助跑最后一步的水平速度 V1x-缓冲后的水平速度 V1y-缓冲后的垂直速度 H-重心下降的距离 t-蹬伸时间 V2y-起跳脚脱离地面时的垂直速度 -腾起角 d-起跳点到杆的垂直

30、距离 h-起跳的垂直高度 v2-起跳脚时的速度 F-蹬伸阶段地面对人的反作用力 3、模型建立： 助跑： （1）直线段：V=a*t ( 2 )曲线段：V02=F*R/m 起跳： （3）水平方向：-f1*t0= mV1x - mv1 冲量定理 （4）垂直方向：V1y=(mg f2)/m/t0 H=I/2*g*t2 (5)F*t=mV2y - （-mV1y） 冲量定理 过杆： （6）水平方向： v2*cos*t=d斜抛运动 （7）垂直方向：v2*sin*t (1/2)*g*t2=h由助跑，起跳，过杆三个阶段的模型可以近似地推出： H=H1+H2-H3=H1+v2*sin*t (1/2)*g*t2 +

31、H3讨论：1. H1：是腾空千瞬间的重心高度，它取决于运动员的身高和腿长，显然身高长的运动员在重心高度上占有明显优势：下面是世界优秀跳高运动员身高与成绩情况姓名成绩身高H1H1/身高（%）科斯塔迪诺娃2.061.81.3473.49贝科娃1.961.791.3273.34科尔1.991.781.3073.07亨特利1.881.701.2572.67注释：数据来自隐相跳高的因素一文从图表数据可以得知： 在身高方面具有优势的运动员占有先机。即在一定范围内，越高的运动员，H1越大，因此在选取跳高的运动员应该考虑其身高和腿长。2. H2：腾空前身体重心高度达到最高点。公式：v2*cos*t=d斜抛运动

32、 v2*sin*t (1/2)*g*t2=h 从式子可以看出： 如果重心落在横杆前方会造成身体下落阶段碰杆，即v2*sin*tg*t,使v2*sin*t (1/2)*g*t2=hg*t,使v2*sin*t (1/2)*g*t2=h450;当垂直角度小雨水平速度，450;）虽然腾起角度=900时其正弦值最大，但在跳高中由于要越过横杆，同时要利用助跑获得的水平速度来加速起跳动作，因此不可能采用900的腾起角。且的灵敏度不高，使H2的变化范围不大。所以增加起跳速度v2对提高H2的值才具有重要的作用。起跳阶段的公式： 水平方向：-f1*t0= mV1x - mv1 冲量定理 垂直方向：V1y=(mg

33、f2)/m/t0 H=I/2*g*t2 H=I/2* (mg f2)/m/t02(重心下降高度实际上就是重心上升的高度) 所以影响起跳速度v2和腾起角的因素就是起跳阶段重心垂直升高H和起跳时间t。增大起跳速度v2就是增大V1x和V2y。对于V1x来说，增大v1，V1x就会增大。所以快速助跑可以使v1增大，同时冲击时间t0缩短，由-f1*t0= mV1x - mv1可以得出V1x增大；对于V2y来说，增大F，减少V1y，都会增加V2y。但是减少V2y减少H。所以增大F是主要因素。综上，加快助跑速度和人起跳的力量是提高H2的主要方向，在起跳中，摆动腿和双臂的快速上百，同时伸展起跳脚的哥哥关节，形成

34、有力的下蹬动作都会加大起跳的力量，可以增加起跳功率。3. H3：身体重心达到的最大高度与横杆高度之差，这是取决于运动员达到最高点时的空中姿势和过杆时的身体动作。下表为世界优秀跳高运动员与中国跳高运动员的成绩且H3比较世界优秀跳高运动员中国跳高运动员姓名成绩H3姓名成绩H3贝科娃2.05-0.04王微1.92-0.02拜尔2.020.07王秀清1.790.12戴维斯1.930.05淡瑞霞1.760.14亨特利2.000.07邱柏霞1.760.11科斯塔迪诺娃2.08-0.03桑文黎1.790.14从中外优秀运动员的对照中，H3的值越接近于0，往往成绩越好。所以在调高过杆过程中，要利用过杆技术控制

35、身体使其贴杆而过。从表中看。中国运动员明显逊世界优秀运动员。因此，中国运动员要在这方面加强训练减少H3的值。从以上的数据及分析可知，H1和H2是决定跳高高度的重要因素。不言而喻，增大H1和H2的值，尽量减少H3的值，是跳高运动员追求的理想目标。从身高来看，我国与世界优秀运动员身高均值皆为1.77，这说明我国运动员身高并不低。所以身高并不完全是导致H差距的主要因素。由统计可知，我国运动员的均值H2为0.76大于世界运动员0.71.所以H2也不是导致H差距的主要因素，而我国运动员的均值H3为0.12明显大于世界优秀运动员0.06.腾起高度利用率（跳高成绩/重心腾起高度）从白哦中可以发现我们和世界优

36、秀运动员相差3.6=53%。这说明中国运动员的果敢技术交叉导致H3过大，影响了腾起高度的利用率。因此，H3拾音器H差距的主要因素。今后，我国运动员应该加强过杆技术，这样才能缩短与世界水平的差距。 三、模型的评价与改进1.对问题一的改进由于奥运会在第14 届到 20届 没有举办，所以没有得到这几年的奥运会冠军跳高成绩，本文利用第十四届到二十九届的数据进行预测，这样还是会导致预测结果有失精准的，因此我们可以利用MATLAB插值函数，计算出间断那几届的跳高成绩，然后再利用逻辑斯蒂模型阻滞模型求解预测成绩。2、将logistic模型与多元线性回归模型结合根据分析，影响跳高运动员的身体素质指标在理论上也

37、是有极限的，我们可以利用logistic阻滞增长模型对各项素质指标给出预测，预测出各项素质指标的极限值，将所得到的极限值带入到回归方程，得到的是跳高运动员的跳高极限值。我简单的称这种方法为多维logistic阻滞增长模型。由于篇幅问题，本文不再写出具体模型，只是给出这种预测方法，的确是行之有效的。但是这种情况在现实生活中并不是经常发生，虽然参加跳高的运动员都是世界一流的运动员，但是影响跳高成绩的身体素质指标的极限值很难集中体现到一个人身上。这就给我们的运动员选拨带来了指导性的意义，在选拨运动员时，还是要看多种身体素质指标的。四、参考文献1张智丰 数学实验 科学出版社2008；2赵静 但琦 数学

38、建模与数学实验 高等教育出版社2006；3垄光鲁 随机微分方程及其应用概要 清华大学出版社2009；4陈光亭、裘哲勇 数学建模与实验 杭州电子科技大学2007；5姜启源 谢金星 叶俊 数学模型第四版 北京 高等教育出版社 20116陈汝栋 雨延荣 数学模型与数学建模 北京 国防工业出版社 2009 7于锦华 杨维权 多元统计分析与应用 广州 中山大学出版社 20058李卫东 应用多元统计分析 北京 北京大学出版社 20089王学民 应用多元分析 上海财经大学出版社 200610廖玲铺. 体育于构建和谐社会. 军事体育进修学院学报11文超. 田径M. 北京:人民体育版社 2003 12田麦久.

39、运动训练学M. 北京:人民体育出版社 2000 13黄建军. 背越式跳高技术类型划分 北京体育大学学报 2004及运动学比较研究 14孔文佳 影响跳高的主要因素 人民体育出版社 2012 五、附录附件一：%logisticcleart=14:29;y1=1.98,2.04,2.12,2.16,2.18,2.24,2.23,2.25,2.36,2.35,2.38,2.34,2.39,2.35,2.36,2.36;y2=1.68,1.67,1.76,1.85,1.90,1.82,1.92,1.93,1.97,2.02,2.03,2.02,2.05,2.01,2.06,2.05;subplot(1,

40、2,1);plot(t,y1,r*); % 画点，红色% 定义需要拟合的函数类型myfun(a,t)，a是参数列表,t是变量 myfun1 = (a,t)a(1)./(1+(a(1)./1.98-1)*exp(a(2)*(t-14); a0=14,14; % 初始值 % 非线性拟合.最重要的函数，第1个参数是以上定义的函数名，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a1=lsqcurvefit(myfun1,a0,t,y1);disp(a1= num2str(a1); % 显示得到的参数% 画出拟合得到的函数的图形ti1=14:0.1:29;yi1=myfun1(a1,ti1);hold

41、on;subplot(1,2,1);plot(ti1,yi1,r);% 给图形加上图例xlabel(届数);ylabel(成绩);legend(男性原始数据,拟合函数,2);box on; grid on;tn=30; % 预测在未知点的函数值yn1=myfun1(a1,tn);disp(yn1= num2str(yn1); % 显示得到的参数subplot(1,2,2);plot(t,y2,r*); % 画点，红色% 定义需要拟合的函数类型myfun(a,t)，a是参数列表,t是变量 myfun2 = (a,t)a(1)./(1+(a(1)./1.68-1)*exp(a(2)*(t-14);

42、 a0=14,14; % 初始值 % 非线性拟合.最重要的函数，第1个参数是以上定义的函数名，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a2=lsqcurvefit(myfun2,a0,t,y2);disp(a2= num2str(a2); % 显示得到的参数% 画出拟合得到的函数的图形ti2=14:0.1:29;yi2=myfun2(a2,ti2);hold on;subplot(1,2,2);plot(ti2,yi2,r);% 给图形加上图例xlabel(届数);ylabel(成绩);legend(女性原始数据,拟合函数,2);box on; grid on;tn=30; % 预测在未知

43、点的函数值yn2=myfun2(a2,tn);disp(yn2= num2str(yn2); % 显示得到的参数附件二：format long g%跳高成绩;y=2.4 2.31 2.39 2.33 2.37 2.27 2.35 2.34 2.28 2.32 2.36 2.3 2.29 2.26 2.38;%30m行进跑成绩;x1=2.6 2.9 2.7 2.9 2.8 3 2.8 2.9 3 2.9 2.8 3 3 3 2.7;%三级跳远成绩 ;x2=10.1 9.65 10.05 9.75 9.95 9.45 9.85 9.8 9.5 9.7 9.9 9.6 9.55 9.4 10;%助跑摸高成绩;x3=1.25 1.18 1.24 1.19 1.22 1.16 1.2 1.19 1.16 1.18 1.21 1.17 1.17