高考函数与导数核心

1、q群675260005专供导数与函数核心考点目 录题型一 切线型1.求在某处的切线方程2.求过某点的切线方程3.已知切线方程求参数题型二 单调型1.主导函数需“二次求导”型2.主导函数为“一次函数”型3.主导函数为“二次函数”型4.已知函数单调性，求参数范围题型三 极值最值型1.求函数的极值2.求函数的最值3.已知极值求参数4.已知最值求参数题型四 零点型1.零点(交点，根)的个数问题2.零点存在性定理的应用3.极值点偏移问题题型五 恒成立与存在性问题1.单变量型恒成立问题2.单变量型存在性问题3.双变量型的恒成立与存在性问题4.等式型恒成立与存在性问题题型六 与不等式有关的证明问题1.单变量

2、型不等式证明2.含有ex与lnx的不等式证明技巧3.多元函数不等式的证明4.数列型不等式证明的构造方法题型一 切线型1.求在某处的切线方程例1.【2015重庆理20】求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.解：由f(x)，得f (x)，切点为(1，) ，斜率为f (1)由f(1)，得切点坐标为(1，)，由f (1)，得切线斜率为；切线方程为y(x1)，即3xey0.例2.求f(x)ex(2)在点(1，f(1)处的切线方程.解：由f(x)ex(2)，得f (x)ex(2)由f(1)3e，得切点坐标为(1,3e)，由f (1)2e，得切线斜率为2e；切线方程为y3e2e(x1)，即2exye

3、0.例3.求f(x)ln在点(0，f(0)处的切线方程.解：由f(x)lnln(1x)ln(1x)，得f (x)由f(0)0，得切点坐标为(0，0)，由f (0)2，得切线斜率为2；切线方程为y2x，即2xy0.例4.【2015全国新课标理20】在直角坐标系xoy中，曲线c：y=与直线l：y=kxa(a0)交于m，n两点，当k0时，分别求c在点m与n处的切线方程.解：由题意得：a=，则x2，即m(2，a)，n(2，a)，由f(x)，得f (x)，当切点为m(2，a)时，切线斜率为f (2)，此时切线方程为：xya0；当切点为n(2，a)时，切线斜率为f (2)，此时切线方程为：xya0； 求在

4、某处的切线方程写出f(x)；求出f (x)；写出切点(x0，f(x0)；切线斜率kf (x0)；切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0).2.求过某点的切线方程点p在曲线上切点点p在曲线上不确定是切点点p不在曲线上不是切点pooppoooostep1 设切点为(x0，f(x0)，则切线斜率f (x0)，切线方程为： yf(x0)f (x0)(xx0)step2 因为切线过点(a，b)，所以bf(x0)f (x0)(ax0)，解得x0x1或x0x2step2 当x0x1时，切线方程为yf(x1)f (x0)(xx1) 当x0x2时，切线方程为yf(x2)f (x0)(xx2)例1.求f(x)

5、x3过点p(2，4)的切线方程.解：设切点为(x0，x03)，则切线斜率f (x0)x0，所以切线方程为：yx03x0 (xx0)，由切线经过点p(2，4)，可得4x03x0 (2x0)，整理得：x033x040，解得x01或x02当x01时，切线方程为：xy20；当x02时，切线方程为：4xy40.例2.求f(x)x34x5x4过点 (2，2)的切线方程.解：设切点为(x0，x034x05x04)，则切线斜率f (x0)3x08x05，所以切线方程为：y(x034x05x04)(3x08x05) (xx0)，由切线经过点p(2，4)，可得4(x034x05x04)(3x08x05) (2x0

6、)，解得x01或x02当x01时，切线方程为：2xy20；当x02时，切线方程为：xy40.例3.过a(1，m)(m2)可作f(x)x33x的三条切线，求m的取值范围.解：设切点为(x0，x033x0)，则切线斜率f (x0)3x03，切线方程为y(x033x0)(3x03)(xx0)切线经过点p(1,m)，m(x034x05x04)(3x08x05) (1x0)，即：2x033x03m0，即m2x033x03过点a(1，m)(m2)可作f(x)x33x的三条切线，方程m2x033x03，有三个不同的实数根.曲线h(x0)2x033x03与直线y=m有三个不同交点，h(x0)6x06x06x0

7、(x01)令h(x0)0，则0x01；令h(x0)0，则x00或x01h(x0)在(，0)递减，在(0,1)递增，在(1，)递减，h(x0)的极小值h(0)3，h(x0)的极大值h(1)2，由题意得3x2.例4.由点(e，e2)可向曲线f(x)lnxx1作几条切线，并说明理由.解：设切点为(x0，lnx0x01)，则切线斜率f (x0)1，切线方程为y(lnx0x01)(1)(xx0)，切线经过点(e，e2)，e2(lnx0x01)(1)(ex0)，即lnx0y=lnx与y=只有一个交点方程lnx0有唯一的实数根由点(e，e2)可向曲线f(x)lnxx1作一条切线. 求过某点的切线方程设切点为

8、(x0，f(x0)，则切线斜率f (x0)，切线方程为： yf(x0)f (x0)(xx0)因为切线过点(a，b)，所以bf(x0)f (x0)(ax0)，解得x0x1或x0x2当x0x1时，切线方程为yf(x1)f (x0)(xx1) 当x0x2时，切线方程为yf(x2)f (x0)(xx2)3.已知切线方程求参数 已知切线方程求参数已知直线axbyc0与曲线y=f(x)相切设切点横坐标为x0，则即解方程组得x0及参数的值.例1.函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值.解：f(x)，f (x)由题意知：，即ab1例2.f(x)aexlnx在(1，f(1)处的切线方

9、程为ye(x1)2，求a，b的值.解：f(x)aexlnx，f (x)aex(lnx)bex1()由题意知：，即a1，b2例3.若直线ykxb是y=lnx2的切线，也是y=ln(x1)的切线，求b.解：设ykxb与y=lnx2相切的切点横坐标为x1，ykxb与y=ln(x1)相切的切点横坐标为x2，由得：x1x21，由得：lnx1ln(x21)2k(x1x2)，将上式代入得：k2x1，代入得：ln221bb1ln2.例4.若f(x)与g(x)a lnx相交，且在交点处有共同的切线，求a和该切线方程.解：设切点横坐标为x0，则，由得2a，代入得：x0e，a切点为(e，e)，切线斜率为，切线方程为

10、x2eye0.例5.已知函数f(x)x3ax，当a为何值时，x轴为曲线方程y=f(x)的切线.例6.已知函数f(x)xaxb和g(x)ex(cxd)都过点p(0,2)且在p处有相同切线y=4x2，求a，b，c，d的值.题型二 单调型1.主导函数需“二次求导”型i 不含参求单调区间例1.求函数f(x)x(ex1)x的单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)ex(1x)1x(x1)(ex1)令f (x)0，得x1或x0；令f (x)0，得1x0f(x)的增区间为(，1)和(0，)，减区间为(1，0)。例2.求函数f(x)(1) ex(a0)在(，0)上的单调性.解：f(x)的定义域为(，0)f

11、 (x)ex(1)(xaxa)令f (x)0，得x；令f (x)0，得x0f(x)的增区间为(，)，减区间为(，0)。 求解函数的单调区间求出函数f(x)的定义域；求f (x)；判断f (x)的正负；注：导函数的形式是有限的写出函数的单调区间.注：求单调区间结论一定叙述为f(x)单调区间为讨论单调性可叙述为f(x)在某区间增(减)多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用单调区间书写时用中括号还是小括号问题ii.主导函数需“二次求导”型例1.讨论函数f(x)(x1)lnxx1的单调性.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)lnx1lnx令(x)lnx(x0)，则(x)令(x)0，则x1；令(x)

12、0，则0x1，(x)在(0，1)上递减，在(1，)上递增.(x)(0)10，从而f (x)0f(x)在(0，)上递增.例2.求函数f(x)xe2xex的单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)(1x)e2xe令(x)(1x)e2xe，则(x)(x2)e2x当x(，2)时，(x)0，(x)在(，2)上递减；当x(2，)时，(x)0，(x)在(2，)上递增；(x)(2)1e0f(x)单调增区间为r，无减区间.例3.求函数f(x)的单调区间.解：f(x)的定义域为(1，0)(0，) f (x)令(x)x(x1)ln(x1)，则(x)ln(x1) 当x(1，0)时，(x)0，则(x)在(1，0)上

13、递增 (x)(0)0f (x)0f(x) 在(1，0)上递减当x(0，)时，(x)0，(x)在(0，)上递减；(x)(0)0f (x)0f(x) 在(0，)上递减综上所述：f(x)单调递减区间为(1，0)和(0，).例4.求函数h(x)|lnx|c的单调区间.解：h(x)当x(0，1)时，h(x)令(x)e2xx2x，x(0，1)则(x)2e2x14x (x)4e2x44(e2x1)0， (x)在(0，1)上递减(x)(0)30(x)在(0，1)上递减(x)(0)10，即h(x)0h(x) 在(0，1)上递减当x(1，)时，h(x)令(x)e2xx2x，x(1，)则(x)2e2x14xx1(x

14、)0(x)在(1，)上递增(x)(1)e10，即h(x)0h(x)在(1，)上递增综上所述：h(x)在(0，1)上递减，(1，)上递增. 二次求导求函数单调性当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对“主导”函数再次求导，这种“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。通过判断f (x)的符号，来判断f (x)的单调性；通过赋特殊值找到f (x)的零点，进而得到f (x)的正负区间.2.主导函数为“一次函数”型例1.求函数f(x)exax1的单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)exa当a0时，f (x)0恒成立，f(x)的增区间为r当a0时，令f (x)0，则xlna；令f (x

15、)0，则xlna；f(x)的增区间为(lna，)，减区间为(，lna)。综上所述：当a0时，f(x)的增区间为r 当a0时，f(x)的增区间为(lna，)，减区间为(，lna)。例2.求函数f(x)lnxaxx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)ax(x)a当a2时，f (x)0恒成立，f(x)的增区间为(0，)当a2时，令f (x)0，则x或x 令f (x)0，则0x或x 令f (x)0，则x.f(x)的增区间为(0，)和(，)，减区间为(，)综上所述：当a2时，f(x)的增区间为(0，) 当a2时，f(x)的增区间为(0，)和(，)，减区间为(，)例3.求函数f(x)lnx

16、ax的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)a当a0时，f (x)0，f(x)的增区间为(0，)当a0时，令f (x)0，则0x；令f (x)0，则x；f(x)的增区间为(0，)，减区间为(，).综上所述：当a0时，f(x)的增区间为(0，) 当a0时，f(x)的增区间为(0，)，减区间为(，)。例4.求函数f(x)ax(a1)ln(x1)(a1)的单调区间.解：f(x)的定义域为(1，)f (x)a当1a0时，ax10，即f (x)0f(x)的减区间为(1，)当a0时，令f (x)0，则x，令f (x)0，则1x，f(x)的增区间为(，)，减区间为(1，).综上所述：当1a0时，

17、f(x)的减区间为(1，) 当a0时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(1，).例5.求函数f(x)xekx (k0)的单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)(1kx) ekx 当k0时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(，).当k0时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(，).综上所述：当k0时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(，). 当k0时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(，).例6.求函数f(x)xalnx (ar)的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)1当a0时，f (x)0，则f(x)的增区间为(0，)当a0时，令f (x)0，则xa，令f (x)0

18、，则0xa，f(x)的增区间为(a，)，减区间为(0，a).综上所述：当a0时，f(x)的增区间为(0，). 当a0时，f(x)的增区间为(a，)，减区间为(0，a). 一次函数型(一)当导函数可表示为常见已知函数，(例如：ex，x，x2x)与一个常参数(例如：a，2k，a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论. 一次函数型(二)二级分类法当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法判断最高次项系数的正负；判断一次方程的根与定义域端点值的大小.3.主导函数为“二次函数”型例1.求函数f(x)x2xalnx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f

19、 (x)2x2当a时，f (x)0，则f(x)的增区间为(0，)当0a时，令f (x)0，则x1，x2 令 f (x)0，则0x，或x 令 f (x)0，则x，f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，)当a0时，令f (x)0，则x， 令f (x)0，则0x，f(x)的增区间为 (，)，减区间为(0，)综上所述：当a时，f(x)的增区间为(0，)，当0a时，f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，) 当a0时，f(x)的增区间为 (，)，减区间为(0，)例2.求函数f(x)(k0)单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)当k1时，f (x)0，f(x)的增区间为r当0k1时，令

20、f (x)0，则x11，x21 令 f (x)0，则0x1，或x1 令 f (x)0，则1x1，f(x)的增区间为(0，1)和(1，)减区间为(1，1)综上所述：当k1时，f(x)的增区间为r， 当0k1时，f(x)的增区间为(0，1)和(1，)减区间为(1，1)例3.讨论函数f(x)xa(2lnx)的单调性.解：f(x)的定义域为(0,)f (x)1当a2时，f (x)0，f(x)的增区间为(0,)当a2时，令f (x)0，则x1，x2 令 f (x)0，则0x，或x 令 f (x)0，则x，f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，)综上所述：当a2时，f(x)的增区间为(0,)， 当

21、a2时，f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，) 二次函数型(一)当导函数可表示为常见已知函数(例如：ex，x，x2x)与一个常参数(例如：a，2k，a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论.例如：2x2xa，x(0，) 可化为a(2x2x) x2xk，xr k(2x2x) xax2，x(0，) xa例4.求函数f(x)(xk)的单调区间.解：f(x)的定义域为rf (x)2x2k(x2kxk)(xk)当k0时， f(x)的增区间为(，k)和(k，)，减区间为(k，k).当k0时， f(x)的增区间为(k，k)，减区间为(，k) 和(k，).综上所述：

22、当k0时， f(x)的增区间为(，k)和(k，)，减区间为(k，k).当k0时， f(x)的增区间为(k，k)，减区间为(，k) 和(k，).例5.求函数f(x)lnxaxx(ar)的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)2ax1当a0时，f (x)0，则f(x)的增区间为(0，).当a0时，令f (x)0，则x1，x2(此处x10x2)，故将x1舍去.(注意：此处x1x20，可知一根为正，一根为负) 令f (x)0，则0x，f(x)的增区间为(0，) 令f (x)0，则x，f(x)的减区间为(，)综上所述：当a0时， f(x)的增区间为(0，).当a0时， f(x)的增区间为(0

23、，)，减区间为(，).例6.求函数f(x)a(x)2lnx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，)f (x)a当a0时，f (x)0，则f(x)的减区间为(0，).(注意：此处ax0，2x0，a0，故ax2xa0)当a0时，由ax2xa0，得44a当0，即a1时，f (x)0，f(x)的增区间为(0，)当0，即0a1时，令f (x)0，则x1，x2令f (x)0，则0x或x令f (x)0，则xf(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，)综上所述：当a0时， f(x)的减区间为(0，).当0a1时， f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，)当a1时， f(x)的增区间为(0，)例7

24、.求函数f(x)alnx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，).f (x)当a0时，f (x)0，f(x)的增区间为(0，).(注：此处因a0，x0，所以ax0，(2a2)x0，a0，即f (x)0)当a0时，由ax(2a2)xa0，得8a4 当0即a时，f (x)0，f(x)的减区间为(0，). 当0即a0时，令f (x)0，则x1，x2(注：此处由x1x210，x1x220，则x10，x20)令f (x)0，则0x或x令f (x)0，则xf(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为(，)综上所述：当a0时， f(x)的增区间为(0，).当a0时，f(x)的增区间为(0，)和(，)减区间为

25、(，)当a时， f(x)的减区间为(0，) 二次函数型(二)当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分解判断最高次项系数与零的关系，分为三类 a0，a0，a0当a0时，很容易判断正负； 当a0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0； 当a0时，考虑及根与定义域端点值的大小.例如：(k0)；2axx1，x(0，)；ax2xa，x(0，)；ax(2a2)xa，x(0，)；例8.求函数f(x)(1a)lnxxx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，) f (x)1ax(注1：此处主导函数为g(x)axx1a的(2a1)0)(注2：分类讨论的思想依据最高次的系数a0；0，则a；对应方程的两

26、个根相等，即1，则a；让其中的根和区间端点相等，即0，即a1。至此，a的取值被分成了7类，即a0，a0，0a，a，a1，a1，a1) 当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)(注3：此处01) 当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，) 当0a时，f(x)的增区间为(0，1)和(，)，减区间为(1，)(注4：此处01) 当a时，f(x)的增区间为(0，) 当a1时，f(x)的增区间为(0，)和(1，)，减区间为(，1)(注5：此处01) 当a1时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)(注6：此处01) 当a1时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，

27、1)(注7：类可以合并，可以可并)综上所述：当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)当0a时，f(x)的增区间为(0，1)和(，)，减区间为(1，)当a时，f(x)的增区间为(0，)当a1时，f(x)的增区间为(0，)和(1，)，减区间为(，1)当a1时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)。例9.求函数f(x)a x(2a1)x2lnx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，) f (x)ax(2a1)(注1：此处主导函数是yax(2a1)x2，(2a1)8a(2a1)0，故主导函数是可以因式分解的)(注2：分类的思想a0；0，即a；两根相等2，即a；其中一根与端点

28、相等，即0，则0和就可以将数轴分成5部分，即需要分成5类) 当a0时，f(x)的增区间是(0，2)，减区间(2，) 当0a时，f(x)的增区间是(0，2)和(，)，减区间(2，) 当a时，f(x)的增区间是(0，) 当a时，f(x)的增区间是(0，)和(2，)，减区间(，2) 综上所述：当a0时，f(x)的增区间是(0，2)，减区间(2，) 当0a时，f(x)的增区间是(0，2)和(，)，减区间(2，)当a时，f(x)的增区间是(0，)当a时，f(x)的增区间是(0，)和(2，)，减区间(，2)例10.求函数f(x)lnxax1，a的单调区间. 二次函数型(三)当二次函数的判别式0时，可采用四

29、级分类法.判断最高次项系数与零的关系. 判断根的判别式与零的关系.两根的大小比较.根与定义域端点值的大小比较.例如：axx(1a)，x(0，)；axxa1，x(0，)；ax(2a1)x2，x(0，)；例11.求函数f(x)xexa(xx)的单调区间.解：f(x)的定义域为r f (x)(1x)exa(1x)(x1)(exa) 当a0时，令f (x)0，则x1；令f (x)0，则x1；f(x)增区间为(1，)，减区间为(，1) 当a0时，令f (x)0， 则x11，x2lna 当a时，f(x)的增区间是(，1)和(lna，)，减区间(1，lna ) 当a时，f(x)的增区间是r 当a时，f(x)

30、的增区间是(，lna)和(1，)，减区间(lna，1 )综上所述：当a0时，f(x)增区间为(1，)，减区间为(，1)当a时，f(x)的增区间是(，1)和(lna，)，减区间(1，lna ) 当a时，f(x)的增区间是r 当0a时，f(x)的增区间是(，lna)和(1，)，减区间(lna，1 )例12.求函数f(x)(xa)sinxcosx，x(0，)，a的单调区解：f(x)的定义域为(0，)f (x)sinx(xa)cosxsinx(xa)cosx当a时，令f (x)0，则x(，)；令f (x)0，则x(0，)f(x)的增区间为(，)，减区间为(0，)当a时，f(x)的增区间为(，a)，减区

31、间为(0，)和(a，)综上所述：当a时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(0，) 当a时，f(x)的增区间为(，a)，减区间为(0，)和(a，)例13.求函数f(x)(axx)lnxaxx(ar)的单调区间.解：f(x)的定义域为(0，) f (x)(2ax1)lnxax1ax1(2ax1)lnx 当a0时，f(x)的增区间是(0，1)，减区间是(1，) 当a0时 当1，即a时，f(x)的增区间是(0，)和(1，)，减区间是(，1) 当1，即a时，f(x)的增区间是(0，) 当1，即0a时，f(x)的增区间是(0，1)和(，)，减区间是(1，)综上所述：当a0时，f(x)的增区间是(0，1)

32、，减区间是(1，)当a时，f(x)的增区间是(0，)和(1，)，减区间是(，1)当a时，f(x)的增区间是(0，)当0a时，f(x)的增区间是(0，1)和(，)，减区间是(1，) 二次函数型(四)主导函数类似于二次函数形式.例如：f (x)(x1)(exa)； f (x)(xa)cosx，x(0，)，a； f (x)(2ax1)lnx，x(0，)；4.已知函数单调性，求参数范围例1.函数f(x)(a0)为r上单调函数，求a的取值范围.解：f (x) 函数yax2ax1恒过点(0，1) f(x)在r上单调 f (x)0在r上恒成立，即ax2ax10在r上恒成立 当a0时，符合题意 当a0时，不符

33、合题意 当a0时，只需4a4a0，即0a1 综上所述：a的取值范围为0，1例2.函数f(x)lnxax(ar)在2,)上是单调函数，求a的取值范围.解：f (x)a 若f(x)在2,)上是单调递增，则f (x)a0在2,)上恒成立a，x2,)令t，则ytt，t(0，则y,0)a0若f(x)在2,)上是单调递减， 则f (x)a0在2,)上恒成立a，x2,)令t，则ytt，t(0，则y,0)a综上所述：a(，0,)注：以上两题是不明确函数是增函数还是减函数.例3.函数f(x)xekx在(1,1)内单调递增，求k的取值范围.解：f (x)(1kx) ekx f(x)xekx在(1,1)内单调递增，

34、 f (x)0在(1,1)内恒成立 1kx0在(1,1)内恒成立 即，即1k1例4.函数f(x)lnxxax在定义域上为增函数，求a的取值范围.解：f (x)2xa f(x)在(0，)上为增函数， f (x)2xa0在(0，)上恒成立 a2x，x(0，) 当且仅当2x，即x时，(2x)min2 a2例5.函数f(x)(a0)在(1,1)内单调递增，求b的取值范围.解：f (x) 由题意知，f (x)0在(1,1)上恒成立 xb0，x(1，1) bx，x(1，1) b1例6.设f(x)lnx，mr，若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围.解：对任意ba0，1恒成立，对任意ba0，0恒成立，f(

35、x)f(x)xlnxx在(0，)上递减f(x)10在(0，)上恒成立xmx0，即mxx，x(0，)m例7.已知函数f(x)，其中a0，如果对于任意x1，x2r，且x1x2，都有f(x1)f(x2)，求a的取值范围.解：g(x)x2x3在(，1)递增，在(1，)上递减，且g(x)max2令h(x)xlnx，则h (x)lnx1，令h (x)0，则x；令h (x)0，则0x；h(x)在在(0，)上递减，(，)递增，h(x)minh()通过画图像可知，a1 已知函数单调性求参数范围(一)函数在某区间上单调，先结合主导函数判断是增或减.f(x)在区间m上递增f (x) 0在m上恒成立f(x)在区间m上

36、递减f (x) 0在m上恒成立例8.函数f(x)x3x2ax在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围.解：f(x)在(，)上存在单调递增区间存在x(，)，使得f (x)xx2a0成立存在x(，)，使得axx，即a(xx)min，函数yxx在(，)上的最小值为a例9.函数f(x)lnx(xa)，ar，在1,2上存在单调递增区间，求a的取值范围.解：由题意知，存在x1,2，使得f (x)2x2a0成立存在x1,2，使得axyx在1,2上单调递增(x)maxa例10.函数f(x)x3xx，mr在2,)上存在单调递增区间，求m的取值范围.解：由题意知f (x)mx2x10在2,)有解存在x2,)，使

37、得m()2()令t，则yt2t，t(0，yminy()m 已知函数单调性求参数范围(二)f(x)在区间m上存在单调递增f (x)0在m上有解f (x)max0f(x)在区间m上存在单调递减f (x)0在m上有解f (x)min0例11.函数f(x)x3(1a)xa(a2)xb在(1,1)上不单调，求a的取值范围.解：f (x)3x2(1a)xa(a2)(xa)3x(a2)在(1，1)上有零点 ，解得：1a或a1，解得：5a或a1 综上所述：a(5，)(，1)例12.函数f(x)x3(k1)x(k5)x1，kr在(0,3)上不单调，求k的取值范围.解：f (x)3x2(k1)xk5在(0,3)上

38、有变号零点 f (0) f (3)0，即(k5)(7k26)0，即5k ，解得：k2由f (0)0，得k5，此时f (x)3x12x，令f (x)0，解得x10，x24，此时在(0,3)上，f (x)0，不符合题意，故k5舍去由f (3)0，得k，此时f (x)3xx，令f (x)0，解得x13，x2，此时在(0, )上，f (x)0，在(，3)上，f (x)0，即在(0,3)上f (x)有变号零点，故k合题意.综上所述：5k2 已知函数单调性求参数范围(三)f(x)在区间m上不单调f (x)在m上有变号零点题型四 零点型1.零点(交点，根)的个数问题例1.已知函数f(x)，求函数f(x)f(

39、x)bx的零点个数.解：f(x)bx的零点方程b0的根直线yb与h(x)交点横坐标h(x)的定义域为(，0)(0，)h(x)当x0时，h(x)0，h(x)在(，0)递增；当0x2时，h(x)0，h(x)在(0，2)递减；当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)递增；当x时，h(x)0当x0时，h(x)当x2时，h(x)当x时，h(x)据此分析，其图像如下所以：当b0时，f(x)零点个数为0当0b时，f(x)零点个数为1当b时，f(x)零点个数为2当b时，f(x)零点个数为3例2.讨论f(x)lnxmx的零点个数.解：f(x)lnxmx的零点方程lnxmx0的根直线ym与h(x)交点横坐标h(x

40、)的定义域为(0，)，h(x)，令h(x)0，则0xe；令h(x)0，则xe，h(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减当x0时，h(x)当x时，h(x)0h(e)，故分析其图像如下综上所述：当m0或m时，f(x)零点个数为1 当0m时，f(x)零点个数为2 当m时，f(x)零点个，数为0例3.f(x)x8x，g(x)6lnxm，是否存在m，使得f(x)与g(x)图像有且只有三个不同的交点，求a的取值范围.解：要使f(x)与g(x)有三个不同的交点，x8x6lnxm有三个不等实根直线y=m与h(x)x8x6lnx有三个交点h(x)x8x6lnx的定义域为(0，)，h(x)2x8当x(0，1)

41、(3，)时，h(x)0当x(1，3)时，h(x)0h(x)在(0，1)上递减，在(1，3)上递增，在(3，)上递减且h(1)7，h(3)156ln3h(x)有极小值h(1)7，有极大值h(3)156ln3综上所述：由题意知，7m156ln3例4.f(x)x4ax3axa4(a0)的图像与直线y1恰有两个交点，求a的取值范围.解：f (x)xax2axx(xax2a)x(x2a)(xa)令f (x)0得，x12a，x20，x3a由a0时，f (x)在f (x)0根的左右的符号如下表所示x(，2a)2a(2a，0)0(0，a)a(a，)f (x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)极小值是

42、f(2a)a4和f(a)a4，极大值是f(0)a4要使f(x)的图像与直线y1恰有两个交点，如图示故只要a41a4，或a41，即a或0a1例5.f(x)c，讨论关于x的方程|lnx|f(x)根的个数.解：f (x)，由0，得x当x时，f (x)0，f(x)为单调递增，即增区间为(，)当x时，f (x)0，f(x)为单调递减，即减区间为(，)，其最大值为f()c令g(x)|lnx|f(x)|lnx|c，x(0，)当x(1，)时，lnx0，则g(x)lnxc，g (x)因为x(1，)，2x10，0，于是g (x)0，因此g(x)在(1，)上为单调递增函数.当x(0，1)时，lnx0，则g(x)ln

43、xc，g (x)因为x(1，)，e2x(1，e)，所以e2x1x0，即g (x)0，因此g(x)在(0，1)上为单调递减函数.综上可知，当x(0，)时，g(x)g(1)c当g(1)c0，即c时，g(x)没有零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为0.当g(1)c0，即c时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为1.当g(1)c0，即c时， 当x(1，)时， g(x)lnxclnx(c)lnx1c.要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(e1e,)；当x(0,1)时，g(x)lnxclnx(c)lnx1c.要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(0，e1e)

44、；所以c时，g(x)有两个零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.综上所述：当c时，关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为0； 当c时，关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为1； 当c时，关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2；例6.已知函数f(x)x，g(x)lnx，若关于x的方程f(x)2e只有一个实根，求a的值.解：由f(x)2e，得x2e，化为x2exa令h(x)，则h(x)，令h(x)0，得xe，当0xe时，h(x)0；当xe时，h(x)0；函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减.当xe时，h(x)取得最大值h(e)而函数m(x)x2exa(xe)ae，当xe时，m(x)取得最小值m(e)ae当ae，即ae时，方程f(x)2e只有一个实根.2.零点存在性定理的应用例1.【2012北京】证明：函数fn(x)xnx1(nn*，n2)在(，1)上存在唯一零点.证明：fn