高二 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

1、 三角函数y=asin(x+)的图象与性质一、内容要求1能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3结合具体实例，了解y=asin（wx+）的实际意义及图像变换方法；二、知识精点讲解1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数相关性质最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心

2、。4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。

3、5由yasin(x)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 6对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意a、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9五点法作y=asin（x+）的简图：五点

4、取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。三典例解析题型1：三角函数的图象例1（2008全国）函数yxcosx的部分图象是（ ）例题1解析：因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除a、c，当x（0，）时，yxcosx0。答案为d。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型2：三角函数图象的变换例2试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=

5、sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例3（上海春）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）a（1y）sinx+2y3=0 b（y1）sinx+2y3=0c（y+1）sinx+2y+1=0 d(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方

6、法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得c选项。题型3：三角函数图象的应用例4已知电流i与时间t的关系式为。（）右图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（）由图可知 a300。设t1，t2， 则周期t2（t2t1）2（）。 150。又当t时，i0，即sin（150）0，而， 。故所求的解析式为。图点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑

7、思维能力、分析和解决问题的能力。（2）（2009全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）a（，）（，） b（，）c（，） d（，）（，）解析：c；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得c答案。图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选c。（如图2）题型4：三角函数的定义域、值域例6（2009京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kz，所以f（x）的定义域为x|xr且x，kz，因为f（x）的定义域关于原点

8、对称，且f（x）=f（x）。所以f（x）是偶函数。又当x（kz）时，f（x）=。所以f（x）的值域为y|1y或0，0，xr）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。 课后强化与提高练习答案1、解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项a、d为奇函数，b为偶函数，c为非奇非偶函数。2、解析：a；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。3、分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系。解析：定义域为r，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=

9、f（x），f（x）为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。4、答案：，k（kz）；或者，+k（kz）；或者，+k（kz）解析：当=2k，kz时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1），kz时f（x）=sinx仍是奇函数。当=2k+，kz时，f（x）=cosx，或当=2k，kz时，f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。5、解析：(1) ， ， ，又 的最大值。， ，且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 。6、解析