(完整版)一元二次方程全章讲义

1、 一元二次方程知识要点1.一元二次方程1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。ax + bx + c = 02）一元二次方程的一般形式：（a0）2ax2 为二次项，a 为二次项系数；bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项。2.一元二次方程的根。1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。x + bx +5 = 0的一个根，则常数 b 是多少？例 1.如果 2 是方程23.解一元二次方程1）直接开平方法（x + n） = px = p - n x = - p -

2、 n，（1）若一元二次方程易写为2形式，当 p0 时 ，则12例 2.解下列方程（5+ x）= 36（x + 6）-9 = 022（x + n） = p x = x = -n形式，当 p=0 时，（2）若一元二次方程可写为212（x + n） = p形式，当 p0 时，因为实数的平方不会是负数，（3）若一元二次方程可写为2所以 x 取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。2）配方法（1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。（a + b）= a + 2ab + b（a - b）= a - 2ab + b完全平方公式：222222a + 2ab + b =（a + b）a

3、- 2ab + b =（a - b）配成完全平方公式： 222222例 3.填空x +10x + _ = (x + _)x -12x + _ = (x _ 6)2222x + 5x + _ = (x + _)2x + 20x + _ = （2 x + _）2222 一元二次方程例 4.解方程x + 6x + 4 = 02x - 20x - 22 = 022移项x + 6x = -426（ ）2两边同时加2x + 6x + 3 = -4 + 3222左边写成完全平方形式（x + 3） = 52配方法解一元二次方程的一般步骤：（一移、二化、三配、四开）降次x + 3 = 51、移项：将常数项移到右

4、边，含有未知数的项移到左边x + 3 = 5 x + 3 = - 5，解一次方程x = -3+ 5 x = -3- 52、二次项系数化为 1：左右两边同时除以二次项，12例 5.用配方法解下列方程x -8x +1= 02x +1= 3x223）公式法ax + bx + c = 01）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：2（a0）- b b2 - 4acd = b - 4ac 0x =则当2时，有求根公式。2a2）推导过程 一元二次方程ax + bx + c = 02用配方法解：bcax + x = -2解：移项、二次项系数化为 1 得abbcbx + x +（ ）= - +（ ）222配方

5、得a2aa 2abb - 4ac2（x + ）=2即2a4a22为根的bb - 4ac2x += 则2a2a判别式- b + b - 4ac- b - b - 4ac22d = b - 4ac0x =x =2时，、；当2ab2a12d = b - 4ac = 0x = x = -2时，时，；当当2a12d = b - 4ac0b2 - 4ac无意义，方程无实数根。23）用公式法解一元二次方程的一般步骤:1.把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；2.求出=b - 4ac2的值；- b + b - 4ac- b - b - 4ac22x =1x =3.当0 时，有两个不相等的实数根，即2a，

6、2a；2bx = x = -4.当=0 时，有两个相等的实数根，即5.当0 时，无实数根。；2a12例 6.如果关于 x 的一元二次方程kx2 - 2k +1 x +1= 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围为_.例 7.用公式法解下列方程。x + 4x -9 = 2x -112x +1= 3x22 一元二次方程4）因式分解法解一元二次方程（1）先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而求得方程的两个根。（2）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项：将方程的右边化为 0；化积：将方程的左边因式分解，化为两个一次式的乘积；转化：令每个一次

7、式分别为0，得到两个一元一次方程；求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。（3）因式分解法解一元二次方程的常用方法：提取公因式法：ab+ac=a（b+c）；完全平2方式法：a2 2ab + b2 = （a b） ；平方差公式法：a2 b2 =(a + b)（a b）。例 8.用因式分解法解下列方程。2x -12x +18 = 02（x -1）+ x -1= 02（x -1）+1- x = 0（2x +1）=（x + 2）2224.一元二次方程根与系数的关系（方程ax2 + bx + c = 0（a0）- b + b - 4ac- b - b - 4ac22x =1x =根据公

8、式法：2a2a2，bx + x = -1）两根之和：2）两根之积：a12cax x =12例 9.已知三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x -5x + 6 = 02的两个根，则三角形的周长为_. 一元二次方程中考真题1、一元二次方程x（x - 2）= 2 - x的根是（ ）a.-1b.2c.1 和 2d.-1 和 25- ax + a = 02、若 x=-2 是关于 x 的一元二次方程x2的一个根，则 a 的值为（ ）d.1 或-422a.1 或 4 b.-1 或-4c.-1 或 43、等腰三角形一条边的长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程x -12x + k = 0 的两个根，则 k 的值为（ ）2a.27b.36c.27 或 36d.18xx、x1x + 3x -3 = 0+x x4、设 x是方程的两个实数根，则的值为（ ）221221a.5b.-5c.1d.-1- 2x -1= 05、用配方法解方程x2时，配方后所得方程为（ ）（x +1）= 0（x -1）= 0b.a.22（x +1）= 2（x -1）= 2d.c.22kx +（1- k）x -1= 06、已知关于 x 的方程，下列说法正确的是（ ）2a.当 k=0 时，方程无解b.当 k=1 时，方程只有一个实数解c.当 k=-1 时，方程有两个相等的