(完整版)2018二次函数压轴题题型归纳

1、 一、二次函数常考点汇总() ()2= y - y + x - x1、两点间的距离公式： ab2abab x + x y + y ，2、中点坐标：线段ab 的中点c 的坐标为：abab22= k x + b k 0y = k x + b k 0（直线 y（）与）的位置关系：1（1）两直线平行11222 k = k b b k k且（2）两直线相交121212 k = k b = b k k = -1（3）两直线重合且（4）两直线垂直12121 23、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：d 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解

2、：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。( )2 m +1 x + m 05 m且 为整数，求m 的值。例：关于 x 的一元二次方程 x22有两个整数根，m4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）( )= mx + 3m +1 x + 3 x与 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定例：若抛物线 y2此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x 的方程 mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 m（ 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。= 0解：当 m时，x

3、=1；( )3 m -1 d2m3( )当 m 0时， d = - 3 2 0m， x=，x = 2 -x = 1、 ；12m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。6、函数过固定点问题，举例如下：= x - mx + m - 2 m已知抛物线 y2（ 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。( )- x + 2 = m 1- x；解：把原解析式变形为关于m 的方程 y2 - + 2 = 0 y = -12y x ，解得：； 抛物线总经过一个固定的点（1，1）。1- x = 0x = 1( )- x + 2 = m 1- x不论 m 为何值

4、，方程恒成立）（题目要求等价于：关于m 的方程 y2 a =0= b小结：关于 x 的方程ax有无数解 b = 01 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）+ mn（1）如图，直线l 、l ，点 a在l 上，分别在l 、l 上确定两点 m 、n ，使得 am2之1212和最小。（2）如图，直线 l 、l 相交，两个固定点 a、 b ，分别在 l 、l 上确定两点 m 、 n ，使得1212bm + mn + an 之和最小。（3）如图，a、b是直线 同旁的两个定点，线段 ，在直线 上确定两点 e 、f （ e 在 f 的lal左侧 ），使得四边形 aefb的周长最小。8、在平面直角坐

5、标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，s pab=1/2 pmx=1/2 anyax bxcykxh）9、函数的交点问题：二次函数（ y2）与一次函数（ y ax bx c2（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。ykxh y ax bx c2( ) bk xch0，通过d 可判断两个图象的交点（2）解方程组，即ax2ykxh的个数d0d = 0d0有两个交点仅有一个交点没有交点10、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度2 （2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似

6、三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形平行四边形矩形l l k kk =、平移12121212直角三角形直角梯形矩形() (2图形行、对顶角、互余、互补等aba等腰三角形全等跟线段有关的 利用几何中的全等、(图形中垂线的性质等。aba等腰梯形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等跟角有关的图形【例题精讲】一 基础构图：yy=x2 - 2x - 3（以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大1 在对称轴上找一点 p，使得 pb+pc 的和最小，求出 p 点坐标2 在对称轴上找一点 p，使得 pb-pc 的差最大

7、，求出 p 点坐标axdy求面积最大 连接 ac,在第四象限找一点 p，使得面积最大，求出 p 坐标dacpb ocaxdy讨论直角三角 连接 ac,在对称轴上找一点 p，使得dacp为直角三角形，求出 p 坐标或者在抛物线上求点 p，使acp 是以 ac 为直角边的直角三角形讨论等腰三角 连接 ac,在对称轴上找一点 p，使得dacp为等腰三角形，求出 p 坐标b ocax3d y讨论平行四边形 1、点 e 在抛物线的对称轴上，点 f 在抛物线上，且以 b，a，f，e 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点f 的坐标b ocaxd二 综合题型例 1(中考变式）如图，抛物线y = -x2 + b

8、x + c与 x 轴交与 a(1,0),b(-3，0)两点，顶点为 d。交 y 轴于 c(1)求该抛物线的解析式与abc 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 m，使mbc 是以bcm 为直角的直角三角形，若存在，求出点 p 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 e 为抛物线 b、c 两点间图象上的一个动点(不与 a、b 重合)，过 e 作 ef 与 x 轴垂直，交bc 于 f，设 e 点横坐标为 x.ef 的长度为 l，求 l 关于 x 的函数关系式？关写出 x 的取值范围？(4)在（5）的情况下直线 bc 与抛物线的对称轴交于点 h。当 e 点运动到什么位置时,以点 e、f、h、

9、d 为顶点的四边形为平行四边形？4 例 2 考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点 a、c 的坐标分别为(1，0)、(0， 3 )，点 b 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过 a、b、c 三点，且它的对称轴为直线x1，点 p 为直线 bc 下方的二次函数图象上的一个动点（点 p 与 b、c 不重合），过点 p 作 y 轴的平行线交 bc 于点 f（1）求该二次函数的解析式；y（2）若设点 p 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 pf 的长；（3）求pbc 面积的最大值，并求此时点 p 的坐标bxfpcx1例 3 考点：讨论等腰1如图，已知抛物线 y x 2bxc 与 y

10、轴相交于 c，与 x 轴相交于 a、b，点 a 的坐标为（2，0），2点 c 的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点e 是线段 ac 上一动点，过点e 作 dex 轴于点 d，连结dc，当dce 的面积最大时，求点 d 的坐标；（3）在直线 bc 上是否存在一点 p，使acp 为等腰三角形，若存在，求点 p 的坐标，若不存在，y说明理由yaxdeax备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点a（一1，0）和点b（1，2），在坐标轴上确定点p，使得abp为直角三角形，则满足这样条件的点p共有（ ）(a）2个 （b）4个 （c） 6个（d）7个5 11 已知：如图一次函数 y x1

11、 的图象与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；二次函数 y x 2212bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 b、c 两点，与 x 轴交于 d、e 两点且 d 点坐标为（1，20）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 bdec 的面积 s；（3）在x 轴上是否存在点 p，使得pbc 是以 p 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点p，若不存在，请说明理由yc2bxaod e例 5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 yax 2xc（a0）与 x 轴交于点 a（2，0），点 b（6，0），与 y 轴交于点 c（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（

12、2）在抛物线上有一点 d，使四边形 abdc 为等腰梯形，写出点 d 的坐标，并求出直线 ad 的解析式；（3）在（2）中的直线 ad 交抛物线的对称轴于点 m，抛物线上有一动点 p，x 轴上有一动点 q是否存在以 a、m、p、q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点q 的坐标；如果不存在，请说明理由ycaobx6 综合练习：1、平面直角坐标系xoy 中，抛物线y = ax2 - 4ax + 4a + c 与x 轴交于点a、点b，与y 轴的正半轴交于点c，点 a 的坐标为(1,0)，oboc，抛物线的顶点为d。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点p 满足apbac

13、b，求点p 的坐标；qa qb= 2 ，求点q 的(3)q 为线段bd 上一点，点a 关于aqb 的平分线的对称点为 ，若-a坐 标和此时qaa 的面积。( )+2ax + c 的图像与y 轴交于点c 0，3，与2、在平面直角坐标系中，已知二次函数y = ax2xoyx( )- 3，0轴交于a、b 两点，点b 的坐标为。（1） 求二次函数的解析式及顶点d 的坐标；（2） 点m 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线om 把四边形acdb 分成面积为1 ：2 的两部分，求出此时点m 的坐标；（3） 点p 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点p 在何处时cpb 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时

14、点p 的坐标。2= x2 - 2x x3、如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y与 轴负半轴交于点a，顶点为b ，m且对称轴与x 轴交于点 。c（1）求点b 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）d为ob 中点，直线ad交y 轴于e ，若e （0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点m 在直线ob 上，且使得damc的周长最小，p 在抛物线上， 在直q线bc 上，若以a、m、p、q为顶点的四边形是平行四边形，求点p 的坐标。4、已知关于 的方程x2(1- m)x + (4 - m)x + 3 = 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；m7 m8-2m 2，

15、设二次函数 y = (1- m)x2 + (4 - m)x + 3x的图象与 轴交于（2） 若正整数 满足a、b两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 y = kx + 3与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可）。5 如图，抛物线 y=ax +2ax+c（a）0 与 y 轴交于点 c（0，4），与 x 轴交于点 a（4，0）和 b2（1）求该抛物线的解析式；（2）点 q 是线段 ab 上的动点，过点 q 作 qeac，交 bc 于点 e，连接 cq当 ceq 的面积最大

16、时，求点 q 的坐标；三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数 yx (m1)xm2 的图象与 x 轴相交于 a（x ，0），b（x ，0）两点，且212x x 12（1）若 x x 0，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；12（2）若 x 1，x 1，求 m 的取值范围；12（3）是否存在实数 m，使得过 a、b 两点的圆与 y 轴相切于点 c（0，2），若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；1mddn13（4）若过点 d（0， ）的直线与（1）中的二次函数图象相交于 m、n 两点，且2，求该直线的表达式题型二、抛物线与

17、 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数 y= x2+mx+m-5，（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短8 题型三、抛物线方程的整数解问题y = x - 2(m +1)x + m = 0与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m5，则例1 已知抛物线22整数 m 的值为_例 2已知二次函数 yx 22mx4m8（1）当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（2）以抛物线 yx 22mx4m8 的顶点 a 为一个顶点作该抛物线的内接正damn（m，n 两点在拋物线上），请

18、问：amn 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；y（3）若抛物线 yx 22mx4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值oxa题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线 y = x2 + bx + c （其中 b0，c0）与 y 轴的交点为 a，点 a 关于抛物线对称轴的对称点为 b(m,n)，且 ab=2.(1)求 m,b 的值(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且bo= 20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关

19、于原点对称、等等）y = x - 4x + mxx的图象与 x 轴交于不同的两点 a（ ，0）、b（ ，0）（ x例 1已知：二次函数2121x），其顶点是点 c，对称轴与 x 轴的交于点 d2（1）求实数 m 的取值范围；xx（2）如果（ +1）（ +1）=8，求二次函数的解析式；12a（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与 x 轴交于点 、1b1a b c是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式，顶点为点 c1，且111综合提升1已知二次函数的图象与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c（0，4），且| ab|2 3，图象的对称轴为 x1

20、（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线 yxm 的下方，求 m 的取值范围9 2已知二次函数 yx mxm22（1）若该二次函数图象与 x 轴的两个交点 a、b 分别在原点的两侧，并且 ab 5，求 m 的值；（2）设该二次函数图象与 y 轴的交点为 c，二次函数图象上存在关于原点对称的两点 m、n，且 smnc27，求 m 的值3. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2(k1)xk 0 有两个整数根，k5 且 k 为整数22（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数 yx 2(k1)xk 的图象沿 x 轴22向左平移 4 个单位，求平移后的

21、二次函数图象的解析式；（3）根据直线 yxb 与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b 的取值范围4已知二次函数的图象经过点 a（1，0）和点 b（2，1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m（1）若 m 为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 a 的另一个交点，求 m 的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线 yx1 所得线段的长为 2 2，求 m 的值四、中考二次函数定值问题1. （2012 江西南昌 8 分）如图，已知二次函数 l ：y=x 4x+3 与 x 轴交于 ab 两点（点 a 在点 b21左边），与 y 轴交于点 c（1）写出二次函数 l 的开口方向、对称轴和顶点坐标；1（2）研究二次函数 l ：y=kx 4kx+3k（k0）22写出二次函数 l 与二次函数 l 有关图象的两条相同的性质；12若直线 y=8k 与抛物线 l 交于 e、f 两点，问线段 ef 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 ef2的长度；如果会，请说明理由10 2. （2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三点，过坐标原点 o 的直线 y=kx 与抛物线交于 m、n 两点分别过点 c、d(0，2)作平行于 x 轴的直线 、 ll12(1)求抛物线