行列式的计算方法及应用

1、聊城大学本科毕业论文 本科生毕业论文题 目: 行列式的计算方法及应用 专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪 学 号: 2007200676 单 位: 2007 级 1 班 指导教师: 孙守斌 2011年 5 月 20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签

2、 名: 日期 聊城大学本科毕业论文目 录前言1 1.行列式的定义及其表示1 1.1 行列式的定义1 1.2 行列式的表示3 2.行列式的性质43.行列式的计算方法63.1加边法63.2利用已知公式73.3数学归纳法10 3.4递推法113.5构造法12 3.6拆项法134.行列式的应用13 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用13 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用15 4.3行列式在多项式理论中的应用15 4.4 行列式在解析几何中的应用16 结语17 参考文献18 致谢19 i摘 要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加

3、边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用.关键词：行列式；计算方法；行列式的应用 ivabstractdeterminant calculation is an important tool in higher algebra. studying the definition and properties of the determinant a

4、nd summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. at the same time two linear determinant, cross-strait determinants, the upper (lower) triangular det

5、erminant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. using determinant proof differential mid-value theorem.and through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving inverse mat

6、rix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications. keywords: determinant; calculation method; determinant application 行列式的计算方法前 言行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况,对行列式计算的常见方法进行了总

7、结.计算行列式的常见方法有化三角形法,拆分法,降阶法,升阶法,待定系数法、数学归纳法,乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,现在的应用范围已拓展得较为广泛,成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳,不仅有课程建设的现实意义,而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例,说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.1.行列

8、式的定义及其表示 1.1行列式的定义行列式有各种各样的定义方法,本文以排列为工具来定义行列式.先来考察二、三阶行列式的共同规律,然后利用这些规律去定义阶行列式.二阶行列式为 .于是二阶行列式可以简写成 .其中 表示所有二元排列求和.我们约定,在一个行列式中,横排叫做行,纵排叫做列,行列式中的数叫做行列式的元素,其中表示所在的行,叫做行标；表示所在的列,叫做列标.从二阶行列式中可以得到以下规律：（1） 它是2！=2项的代数和；（2） 每一项都是两个元素相乘,且这两个元素既位于不同的行又位于不同的列；（3） 每一项的两个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部二元排列为12和21,前一个为

9、偶排列,与其对应的项取正号；后一个为奇排列,与其对应的项取负号.下面看三阶行列式 .类似于二阶行列式,可以得到以下规律：（1）它是3！=6项的代数和；（2）每一项都是三个元素相乘,且这三个元素既位于不同的行又位于不同的列； （3）每一项的三个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部三元排列为：123,231,312,321,213,132.前三个为偶排列,与其对应的项取正号,后三个为及排列,与其对应的项均取负号. 总之,三阶行列式可以写成.以上是二、三阶行列式的共同构造规律,它也是一般阶行列式的本质所在.定义1.1 称为一个阶行列式,它表示：（1）项的代数和； （2）每一项是个元素相乘

10、,且这个元素既位于中不同的行,又位于不同的列；（3）每一项的个元素行标按自然顺序排列后,其列排列为偶排列时该项取正号,为奇排列时该项取负号.这一定义可以简单的表示成其中 表示对所有阶行列求和.1.2行列式的表示.矩阵的行列式记作.绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆.不过矩阵范数通常以双垂直线来表示,且可以使用下标.此外,矩阵的绝对值是没有定义的.因此,行列式经常使用垂直线记法（例如:克莱姆法则和子式）.例如,一个矩阵： 矩阵行列式 也写作或明确的写作: 行列式即矩阵的方括号以细长的垂直线取代. 阶行列式的表示： ,其中为的逆序数.2.行列式的性质为了有效地进行行列式的计算

11、,有必要研究其性质,并由此得到实际可行的计算方法性质2.1 设是阶矩阵,则,其中是的转置矩阵.今后称行列式 为的转置行列式,性质1说明行列式与它的转置行列式相等,具体地写出来,即 根据性质1,对于行列式中有关行的性质完全适用于列性质2.2 交换行列式中任意两行(列),其值变号 例如二阶行列式中,若交换其第1行与第二行,则得 推论2.1 若行列式有两行(列)的对应元素相同,则该行列式等于零.证明 设行列式中第行与第行的对应元素相同,现交换这两行得一新行列式,记作, 根据性质2,但因这两行对应元素相同,交换后所得行列式与原行列式又相同,即于是,故性质2.3 用常数乘以行列式中某行（列）的每个元素所

12、得到的行列式,等于用乘以该行列式.证明 设行列式是.若用乘以的第1行,则成为行列式 .现按d1的第一行展开得其中与中第一行各元素的代数余子式是相同的.现设用乘以的第行,.我们记交换的第1行与第行所得的行列式为.现用乘以的第行,即得行列式 .推论2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,则该行列式等于零证明 在性质3中取即可推论2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因数,则可将该公因数提到行列式外面 此推论实际上就是性质3推论2.4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例,则该行列式等于零证明 只要把比例系数作为公因数提到行列式外面,就得到一个两行相同的行列式,所以行列式为零3.行列式的计

13、算方法在行列式的计算问题中,对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算. 对于一般的行列式,我们主要有下面两种计算思想：1) 利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.2) 利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.3.1 加边法利用行列式按行(列)展开的性质,把阶行列式通过加行(列)变成与之相等的阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算添

14、加的行与列一般有四种方式,分别是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置 例3.1.1 计算阶行列式的值.解 按第行展开得到的是关于的多项式,而所求行列式的值是上述加边行列式展开式的项的系数乘以.注意 能够利用加边法的题目往往具有如下两种特征之一：（1） 各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多；（2） 添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来.3.2 利用已知公式3.2.1 定义二条线性行列式的计算定义3.2.1

15、 的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出.例3.2.1 计算行列式和的值. 解 观察行列式和可知它是二线型行列式,且由定义知其中全为0.故代入公式可得出 . .类似的二条线型行列式还有,和（其中定义中给出的二线型行列式为=,=,在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）,它们均可以按定义中的方法进行计算展开进行降阶,再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式. 3.2.2 “两岸”行列式的计算方法定义3.2.2 形如 的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于注 对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第列(行)都加到第1列（行）（或第列（行

16、）加到第列（行）,则第1（或）列(行)的元素相等,再进一步化为三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的计算定义3.2.3 形如的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式,其值为.3.2.4 二条线叉型行列式的计算 定义3.2.4 形如的行列式为二条线叉型行列式.例3.2.2 计算二线型行列式的值.解 可将此行列式按照第一行展开,则 然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开,则 .3.2.5箭型行列式的计算定义3.2.5 形如,的行列式称为箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性质将其一条边化为零,从而可根据三角形或次三角形的结果求（在简记中实线处均为非零元素其它地方元

17、素为零）.例 3.2.3 计算行列式的值.解 可给该行列式第行分别乘以加到第行则知原行列式 .3.3 数学归纳法数学归纳法多用于证明明题用数学归纳法计算n阶行列式,依据行列式元素间规律来计算,此类型的题变化较多,相应的方法也较多.例3.3.1 计算的值,其中解 当时,；当时,；当时,；假设当时,.那么当时,将按最后一行展开得 ,所以 .综上可得 .3.4 递推法利用行列式的性质,把某一行列式表示成具有较低阶相同结构行列式的关系式（称为递推关系式）,根据所得递推关系式及低阶某行列式的值便可递推得到所需要的结果（有时用数学归纳法证明明其正确性）,这种计算行列式值得方法叫做递推法. （1）若则. （

18、2）若我们可以设、是的根,则,.于是有 （1） （2）若,则.注意 由（1）和（2）得：,.若,则（1）与（2）变为 ,即 ,于是 , 依次做下去得： . 3.5 构造法通过构造新的行列式计算原行列式.例 3.5.1 计算循环行列式. 解 设 ,令 ,则 ,因为,故.3.6 拆项法这是计算行列式常用的方法.一般地,当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式,就可以考虑用拆为和的方法来进行计算.例3.6.1 以为顶点的三角形面积为其中 .解 第一行为 .四 、行列式的应用4.1 行列式在证明明微分中值定理中的应用4.1.1 拉格朗日中值定理设函数满足条件：（1）

19、在闭区间连续；（2）在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得 .证明 我们可以构造行列式辅助型函数来证明明定理.设因在上连续,在内可导,所以在上连续,在内可导,且,故由罗尔定理知,至少存在一点使得所以4.1.2柯西中值定理（1）函数与都在闭区间连续；（2）与都在开区间内可导；（3）与则在内不同时为零；（4）,则在内至少存在一点,使得. 证明 设由于是的多项式函数,从而在上上连续,在内可导,利用行列式性质易见故由罗尔定理知,至少存在一点,使得由此可得 .4.2 行列式在求逆矩阵中的应用设,则是非奇异矩阵的充分且必要条件是,且当时,的逆矩阵其中是的伴随矩阵.例4.2.1 设是正交矩阵,则证明 由a

20、正交知道|a|= 1.于是a=a-1=|a|-1(adja)故由(2)易见与有上述关系 4.3行列式在多项式理论中的应用例4.3.1 证明明一个次多项式至多有个互异根. 证明 设有个互异的零点则有.即这个关于的齐次线性方程组的系数行列式 因此这个矛盾表明至多有个互异根.例4.3.2 设是个复系数多项式,满足.证明：.证明 设取分别代入,可得 由此得到这个行列式关于的齐次线性方程组的系数行列式.因此.4.4 行列式在解析几何中的应用4.4.1 在向量积、混合积中的应用设为右手直角坐标系,因为 所以 4.4.2 在面积、体积中的应用以为邻边的平行四边形的面积为.以为相邻棱的平行六面体的体积为.4.

21、4.3 在求解几何图形方程中的应用 1)过不同两点的平面直线的方程为.2)过不共线三点的平面的方程为.行列式的应用是十分广泛的,本文只列举了行列式在数学中几个方面的应用,随着行列式理论的不断发展与完善,它必将应用到更加广泛的领域中.结语通过对行列式的计算方法的研究发现,不同的题目可能用到不同的计算方法,至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定.每一种方法都各具特色,每一种方法都是从根本上解决行列式计算难的问题,简化了计算过程,避免了许多错误的出现.同样的题目有时也可以用不同的方法来计算,只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法特别需要注意的是有的行列式的计算不是单纯的一种方法就能够完成,有时需要用到两种或两种以上的方法.在对行列式定义及其方法了解透彻的基础上,可以将行列式灵活的运用在解决其它问题上.参考文献1 王文省,赵建立,于增海,王廷明.高等代数.山东大学出版社,2004.5.2 钱吉林.高等代数题解精粹m.北京:中央民族大学出版社,20023 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)m.北京：高等教育出版社,2003.4 赵树原.线性代数(第三版)m.北京:中国人民大学出版社