光学基础答案（第四版姚启钧）

1、1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为和。光线通过第一介质中指定的a点后到达同一介质中指定的b点。为了确定实际光线的路径，通过a,b两点作平面垂直于界面，是他们的交线，则实际 光线在界面上的反射点c就可由费马原理来确定（如右图）。（1） 反正法：如果有一点位于线外，则对应于，必可在线上找到它的垂足.由于,故光谱总是大于光程而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。（2） 在图中建立坐oxy标系，则指定点a,b的坐标分别为（）和（），未知点c的坐标为（）。c点在之间是，光程必小于c点在以外的相应光程，即，于是光程acb为：根据费马原理，它应取极小值，即：

2、， 取的是极值，符合费马原理。故问题得证。2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点s发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点。由于球面ac是由s点发出的光波的一个波面，而球面db是会聚于的球面波的一个波面，固而, .又光程，而光程。根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程却相等。由于实际的光线有许多条。我们是从中去两条来讨论，故从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等得证。除此之外，另有两图如此，并与今后常用到：3.解：由的结果 得： = =10（cm）4.解：由结果知：

3、（1） , （2） (3) 而 又 5.证： 6.解： 7.解：（1）（2）8.解：s/f/f/-sax 9.证：由图可知，若 使凹透镜向物体移动的距离亦可得到同样的结果。10.解： p11.解： （1）由经导知： 按题意，物离物方主点h的距离为， 于是由 （2） 12.解： （1）仍在原处（球心），物像重合（2）13.解：（1）（2）14解： （1）（2）（3） 光路图如右：15解： （1）（2）（3）16.解：（1）透镜在空气中和在水中的焦距分别为： （2）透镜置于水中的焦距为： 17.解： 18.解：（1） （2） 19.解：透镜中心和透镜焦点的位置如图所示：20.解： 21.解： 该透

4、镜是由a,b；两部分胶合而成的（如图所示），这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，a部分的主轴在系统中心线下方0.5cm处，b部分的主轴则在系统中心线上方0.5cm处。由于点光源经凹透镜b的成像位置即可（为便于讨论，图（a）（b）（c）是逐渐放大图像）式中分别为点光源p及其像点离开透镜b主轴的距离，虚线在透镜b的主轴下方1cm处，也就是在题中光学系统对称轴下方0.5的地方同理，点光源p通过透镜a所成的像，在光学系统对称轴上方0.5的处，距离透镜a的光心为10cm，其光路图s画法同上。值得注意的是和构成了相干光源22.证：经第一界面折射成像：经第二界面（涂银面）反射成像：再经第一界面折射成像而三

5、次的放大率由分别得又对于平面镜成像来说有：可见，当光从凸表面如射时，该透镜的成像和平面镜成像的结果一致，故该透镜作用相当于一个平面镜 证毕。23.解：依题意所给数据均标于图中由于直角棱镜的折射率n=1.5，其临界角， 故，物体再斜面上将发生全反射，并将再棱镜左侧的透镜轴上成虚像。 有考虑到像似深度，此时可将直角棱镜等价于厚度为h=6cm的平行平板，由于的结果可得棱镜所成像的位置为： 故等效物距为：对凹透镜来说： 对凸透镜而言，即在凹透镜左侧10cm形成倒立的虚像，其大小为24.解： 其光路图如下：25.解：26.解：27.解：经第一界面折射成像：经第二界面（涂银面）反射成像：再经第一界面折射成

6、像 即最后成像于第一界面左方4cm处28.解： 依题意作草图如下： 第一次成像： 第二次成像： 1) 求两次象的大小之比：2) 3) 可见： 若，则d无解，即得不到对实物能成实像的透镜位置 若，则d0，即透镜在e中央，只有一个成像位置， 若，则可有两个成像位置。故，欲使透镜成像，物和屏的距离l不能小于透镜焦距的4倍但要满足题中成两次清晰的像，则必须有 证毕。 注：当时，有d0，则。 即只有能成一个像的位置。29.解： 其光路头分别如下：30.解：31.解：其草图绘制如下32.解：（1）（2）33.解：34.解：其光路图如下：35.解：（1）由折射定律： nsin=sin 所以=sin-1(si

7、n/n)又 临界角c=sin-1（1/n）即c 故是部分反射。（2）由图知：=（-）+，即=2-，而=-2, 所以=-4+2.（3）因为d/d=-4d/d+2=0，即：d/d=1/2, 而：=sin-1（sin/n）,dsin-1x/dx=1/(1-x)1/2. 即：d/d=cos/n(1-sin2/n2)1/2=1/2,1-sin2/ n2=4cos2/n21=sin2/n2+ cos2/n2+ /n2=1+3cos2. 所以cos2=（n2-1）/3.或：=cos-1（n2-1/3）1/2. 36.因为n/s/-n/s=(n/-n)/r.(1) 1 因为n/=1.5,n=1,s1=r1=4

8、(cm)所以1.5/s1/ -1/4 =(1.5-1)/4,1.5/s/1=1/4 +0.5/4=3/8.所以s1/=81.5/3 =4(cm). 即在球心处。2 因为n/=1,n=1,s2=s/+(9-8)/2 =4.5cm.所以1/s2/ -1/s/1=0, s2/=s2=4.5cm. 即像仍在球心处。（3）1 因为n/=1.33, 1.5,r=1.5mm,s=1mm.所以1.33/ s/1-1.5/1=(1.33-1.5)/1.5.1. 33/ s/1=1.5+1.33/1.5 1=1.39.所以s/1=1.33/1.39=0.96(mm)又 s2=50-(1.5-0.96)=49.46

9、(mm).故 1/ s2/-1.33/49.46=1-1.33/50 s2=0.0203 s2/=49.26 （mm）所以 d（内）=2r(内)=2(50-49.26)=1.481.5（mm）2 由 n/=1 n=1.33 r=50mm s=48.5（mm） 所以 1/s1/-1.33/48.5=1.33./50 1/s1/=1.33/48.5+1/50-1.33/50=0.0208 所以 s/48.1（mm） d（外）=2r/(外)=2(50-48.1)4（mm）(2) 1 n/=1.5 n=1.0 r1=4cm s1=4-0.15=3.85cm 1.5/ s1/ -1/3.85=(1.5-

10、1.0)/41.5/ s1/=1/3.85=0.5/40.385 s1/=1.5/0.3853.896(cm)2 又 n/=1.0 n=1.5cm s2=3.896+0.5=4.396(cm) 1/s2/-1.5/4.396=(1-1.5)/4.5 1/s2/=1.5/4.396-0.5/4.50.23 s/24.348(cm)d=2(4.5-4.348) 0.304(cm) 3mm37. （1） 证：物像具有等光程性，即： sl1ps1=so1o2s2s1sl2s2=so1o2s2sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1 sl2s2p=sl2s2+s2p= =ps2而 so1o2

11、s2s1-so1o2s2=s1s2=l=sl1ps1-sl2s2 =sl1p-sl2s2p =（sl1ps1-ps1）-（+ps2） = (sl1ps1-sl2s2)-ps1-ps2 = l-( ps1+ps2)故有= l-( s1p+s2p) 得证。 （2） 当=j时为干涉相长，是亮纹。=（2j=1）/2时相消，是暗纹。 且条纹仅出现在光轴的上方（s1s2p）的区域内。故 在（s1s2p）区域内放置的垂直于垂线的光屏上可看到亮暗相间的半圆形干涉条纹。（ 剖开后的透镜为半圆形）（3） n/=1.0 n=1.5 r=1.5mm s=1mm 1/s/ -1.5/1 =(1-1.5)/1.5 1/s

12、/=1.5-1/31.167. s/0.857 d(内)=2(1.5-0.857) 1.268(mm)38. da db,该玻璃板可视为薄透镜，且是近轴光线。圆板中心处的折射率为n（0），半径为r处的折射率为n（r），则由物像之间的等光程性知： n1l +n2l/=n1a+n(0)d+n2b,而：n1=n2=1 l=（a2+r2）1/2 l/=(b2+r2)1/2即：（a2+r2）1/2+n(r)d+(b2+r2)1/2=a+b+ n(0)d n(r)d= n(0)d+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/2 故 n(r)= n(0)+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/

13、2/d讨论：若为平行光照射时，且折射后会聚于焦点f, 则有n(r)d+(f/+r2)1/2=n(0)d+. 即： n(r)=n(0)+ f/-(f/+r2)1/2/d. 当d f/ 时，有 ：n(r) n(0)-r2/2df/.图示： l r l/ a b a b d f f39（1） n/s1/ -n/s1=(n/-n)/r1 n/=1.5, n=1.0, s1= -40cm, r1= -20cm 1.5/ s1/=1/(-40) +(1.5-1.0)/(-20)= -1/20, s1/= -201.5= -30(cm). (2) 1/ s2/+1/s2=2/r2, s2=s1/= -30c

14、m, r2= -15cm 1/ s2/=2/ r2 -1/s2=2/ (-15) 1/(-30)= -1/10, s2/= -10(cm). (3) n/s3/ -n/s3=(n/-n)/r1 s3=s2/= -10cm r1 = -20cm n/=1.0 n=1.5. 1/ s3/=(1.0-1.5)/( -20) +1.5/( -10) = -1/8 (4) =123, =y/y=ns/n/s . 1= ns1/n/s1=1/2 2= ns2/ / (-n/s2)= - s2/ s2= -1/3 3= ns3/n/s3=6/5. =1/2(-1/3)6/5= -1/5= -0.2.故最后像

15、在透镜左方8cm处，为一大小是原物的0.2倍倒立缩小实像。图示：40. 证： o1p1= -s1, o2p2=s2, p1a1= l1 , a2p2=l2, a1m=a2n=h, o1o2=d., l1=(-s1)+o1m2+h21/2, l2=s2+o2n2+h21/2. 在近轴条件下，o1mr1 o2n -r2 即: o1mh2/2r1 o2nh2/2( -r2). p1a1a2p2=n1l1+nd-o1m-o2n+n2l2 =n1(-s1)+o1m2+h21/2+nd-o1m-o2n+n2s2+o2n2+h21/2 =n1-s1+h2/2r12+h21/2+nd-h2/2r1-h2/2(

16、-r2)+n2s2+h2/2(-r2)2+h21/2 当a1点在透镜上移动时，r1和r2是常量，h是常量，根据费马原理， 对h求导，并令其等于0，即 dp1a1a2p2/dh =0,得： n1-s1+h2/2r1h/r1 +h/l10 nh/r1 nh/(-r2)+ n2s2+h2/2(-r2)h/(-r2) +h/l2=0. 在近轴条件下，hr1, h=1, 即y/l=1.22/d. d=1.22l/y dmin=1.22l/y=1.2255010-9200103/1=0.1342(cm).24，解： 1=1.22/d, /=y/l而/=1, 即： y/l=1.22/d. y=1.22l/d

17、. ymin=1.22l/d=1.2255510-93.8108/1.56164.93(m) 165(m). 25，解： p=y=jn, l=nd. =589+589.6/2=589.3(nm) =589.6-589=0.6(nm) d=l/n=jl/=2150.6/589.30.031(cm) 0.03cm5-1解：（1）（2）5-2. 解： 5-3. 解： 5-4. 证： 5-5. 解： 5-6. 解： 经方解石透射出来时的两束平面偏振光的振幅分别为： 再经过尼科耳棱镜后，透射出来的仍是两束平面偏振光。 （1） 振动面与尼科耳主截面在晶体主截面两侧时，其透射光的振幅分别为：（2） 振动面与

18、尼科耳主截面在晶体主截面同侧时，其透射光的振幅分别为：5-7. 解： （1）投射出来的寻常光和非常光的振幅分别为：（2）or5-8. 解： 5-9. 解：（1） （2）振动面与晶片主截面成角放置可满足要求。 这是半波片，平面偏振光垂直入射经过半波片而透射出来以后，仍是平面振光，若入射时振动面与晶片主截面之间交角为，则透射出来的平面偏振光的振动面从原来的方位转过，现在， 应有放置。5-10. 解：or：直接由p321公式：算出。5-11. 解：（1）视场由亮变暗，或由暗变亮。说明位相有的突变，这个波晶片是一个1/2波片。（2）若入射时振动面和晶体主截面之间交角为，则透射出来的平面偏振光的振动面从

19、原来方位转过，这里。 要转过时才能使的视场又变为全暗。12. 解： （1）四分之一波片能把线偏振光转变为平面偏 振光，且这里又是垂直入射。透射光是振动方向与晶片主截面之间成角的线偏振光。（2）通过八分之一波片后，0光和e光的相位差，将其代入 得： 此即椭圆方程 透射光为椭圆偏振光。 or： 圆偏振光可看成由相位差为的两个互相垂直的振动合成。（1） 经过四分之一波片后，两个振动间的相位差增加或减少，成为 。 透射光是平面偏振光，其振动方向与晶片主截面之间成角的。（2）经过八分之一波片后，两个振动间的相位差增加或减少成为： 。 故透射光为椭圆偏振光。5-13. 证： 此即为平面偏振光。5-14.

20、解： 方解石晶体中透射出来的光是椭圆偏振光，可以把它看成相位差为的两束互相垂直的线偏振光的叠加，而： 5-15. 解： （1）杨氏干涉实验中，屏上光强分布为：式中为一个缝在屏上某点形成的光强，为双缝发出的光波到达屏上某点的相位差。若用一尼科耳放在双缝前，则干涉条纹的光强分布为： 即：光强减半，但因尼科耳很薄对光程差的影响甚微，故干涉条纹的位置和条纹的间隔并未改变。要使视场最暗，即使光屏上的干涉花样中的暗条纹最暗，可视尼科耳的主截面与圆面成角，以使屏上的叠加严格是两束同一直线的振动的叠加。（2）5-16. 解： （1）同上题： 因偏振片很薄对光程差的影响甚微，故屏上干涉条纹的位置、宽度没有变化。

21、但光强减半，即： （2）此缝的平面偏振光和另一缝的平面偏振光比较,将对称于1/2波片转过。此时，变成两束同频率，振动方向互相垂直的光的叠加，叠加的结果不能形成明暗相间的条纹，屏上出现的是均匀照度，各点光强相同，其数值均为。具体的说：a点：1、3象限的平面偏振光；b点：圆偏振光;c点：2、4象限的平面偏振光。5-17. 解：如图所示，x轴为晶片的光轴，和两直线分别表示两尼科耳棱镜和晶片的交线，和晶片的光轴成角和角。从透射出来的两束平面偏振光、的振动平面相同，振幅相等，但相位差为，其振幅分别为：此外， e光和o光在晶片中的相位差为： 以透射出来的两束平面偏振光之间的总相位差为： 由透射出来的光强为

22、： 而射入第一个尼科耳的光的波长为400.0760.0nm对应的k可取值为6、7、8、9、10，故透出第二个尼科耳后少了430nm、477.8nm、537.5nm、614.3nm和716.7nm或430.0nm、480.0nm、540.0nm、610.0nm和720.0nm这五种波长的光。（）。5-19.解： 沿垂直于光轴方向切出的石英片为旋光镜片。当出射光矢量与入射光矢量垂直时，则光不能通过，即欲使光不能通过，使从出射的光束经晶片后又转过，此时该光束的振动面与的主截面垂直，亦即： 5-20. 解：5-22.解，经过p有在经过l1有可得：在经过m得出：在经过l1在经过p可以得出：i=所以：i=

23、or因为经过l1及返回（两次）后，相当于，角度从变为2在经过p后（相当于检偏器，第一次是起偏）所以;i=5-23,(1) 因为;(2)设未偏振光成分强度为，偏振部分沿x轴的强度分别是， 则; =+=+=在任何角度，为偏振成分始终是，而偏振成分为：a=x,y是椭圆的主轴，和得相位差为，且它们是非想干光叠加，即;=+所以：=+= 与结果无关（2）通过1/4波长后，使x相位相对于y轴相位移动，使得偏振光变成了线偏振光，于是：代入+=+=可以得出：=0.75，=0。25，=0.75在处的最大光强为：+=1.75入射光强化总未偏转部分所占比例为：2/（+）=/2.5=0.60=60%ds5-24，解，敬

24、爱能够光源和光屏位置前后摆放好，因为光源发出的光市自然光，所以可以将几个光学器件一次放在光源和光屏之间，观察光源变化而判定之（1） 线偏振器的判断；经两个光学元件放在光源和光屏之间，转动后一个，直到调换至光屏上会出现两次消光为止，这是的两个光学元件便是偏振器。（2）长的判定将两个线偏振器前后放置在光源和光屏之间，再把一个光学期间放在这两个线偏振器中间转动之，光强始终不变的就是片。（3）片的判定同上，把一个光学器件房子两个偏振器之间转动之，并调整线偏振器的位置，在转动一周的过程中，出现两次消失就是片。（4）最后身下的一个就是 偏振器当然还有很多判断方法。5-25解，因为：所以： /n）=（sin

25、/n）=（）=故，=-5-26解，（1）右旋，检偏器眼顺时针转动就到了消光位置。（2） 因为：所以; /=ctg27.对于长短之比为2:1,长轴沿x轴的右旋椭圆偏振光的电矢量为故，这一偏振光的归一化源斯矢量为：（3） 这两个偏振光叠加的结果为：+5-27解：（1）对于长、短比为2:1,长轴沿x轴的右旋椭圆偏振态电矩为 221 故， 这一偏振光的归一化琼斯矢量为-i =（2）同理，可得左旋椭圆偏振光的琼斯矢量为22i =2()(3)这两个偏振光叠加的结果为i+-i2 2+2-i+i1040 = =6-1解：（1） 白光透过0.1mm厚度后（在吸收带附近）的光强为：（2） 白光在透过5mm厚度后光

26、强为：但两中情况下颜色有所不同6-2.解： 6-3.解： 6-4.解： 6-5.解：6-6.解： 6-7.解： 6-8.解： 6-9.解6-10.解：6-11,=6-12,解， n=a+b/7-1解： 7-2解：波长为5890的光在二硫化碳中的相速度为 波长为5890的光在二硫化碳中的群速度和相速度的关系 计算如下 式中为相速度折射率，故将对求导，可得 代入群速度表式 将已知数值代入上式，得 7-3. 解： 设两反射镜之间的距离为，正棱柱体的转速为.7-4. 解：(1) 7- 6.解（a）辐射的最可几频率可利用的条件，求得，为此，将式子（8-7）的对求导，并令其为零，即由于dv=-cd/,所以

27、： 其中当时。 （d）辐射出射度 7-7，太阳挂普非常接近于为4800的绝对黑体光谱，试求在一秒钟内太阳由于辐射而损失的能量，并估计太阳质量减少1%（由于热辐射）所经历的时间，太阳的质量，太阳的半径是解，太阳作为一个绝对黑体，可利用%时，利用质能关系可得所经历的时间：7-8. 解： 7-9.解： 7-11. 解：7-17. 解： or7-19，解：(1) eo=hv=hc/=6.62610-343108/50010-9=410-19(j).po=1005%=5(w). no=po/eo=5/410-191.251019(个/s). (2) p=po/4r2=5/4229.9510-2(w/m2

28、). n=p/eo=9.9510-2/410-192.51017(个/m2.s) 7-20，解： eo=hv=hc/=6.62610-343108/5.5010-93.61410-17(j). n=/eo=2.010-18/3.61410-175.534 5 (个).7-21，解：（1） mv2/2=ev, v=(2ev/m)1/2. =h/mv=h/(2mev)1/2.(2) v=dr/dt=/r=v=hv/h=e/p=ev/mv=ev/(2mev)1/2=(ev/2m)1/2 或者：=hv/(2mev)1/2=ev/(2mev)1/2=(ev/2m)1/2.u=e/p=de/dp.而： f

29、=dp/dt, de=fds=dpds/dt=dpv, 即：de/dp=v=(ev/2m)1/2.(3) 2dsin=j. d=j/2sinh/(2mev)1/2=h/2sin(2mev)1/2.7-22，解：（1） tm=b. m=b/t=2.897810-3/107=2.897810-10(m)=0.28978(nm). (2 ) eo=hv=hc/m=6.62610-343108/0.2897810-96.8910-16(j) 6.910-16(j)8-1解：（1）其能级图如下：（2） 8-2.解： （1） （2） 8-3.解：8-4.解： 8-5.解：8-6.解：8-7.解：8-8.解

30、： （2）8-9解： 1-1解： cm cm 又 ， 0.327 cm or: cm1-2 解： j=0,1 (1) (2) (3) 1-3解： 而： 1-4 解: 1-5 解: 1-6解:(1) 利用 亦可导出同样结果。（2）图即：离屏中央1.16mm的上方的2.29mm范围内，可见12条暗纹。（亮纹之间夹的是暗纹）1-7解：1-8.解：1-9.解：薄膜干涉中，每一条级的宽度所对应的空气劈的厚度的变化量为：若认为薄膜玻璃片的厚度可以略去不计的情况下，则可认为or：而厚度h所对应的斜面上包含的条纹数为：故玻璃片上单位长度的条纹数为：1-10解：对于空气劈，当光垂直照射时，有 1-11解：是正射

31、， 1-12解：1-13解：1-14解: (1) 中心亮斑的级别由下式决定： （） 所以，第j个亮环的角半径满足 于是： 第1级暗环的角半径为 (对于第1级暗环，每部分j=0时亮斑)（2）解之：1-15解： 亦即： 于是： 81-16解： j=1、2、3即：而：即：而1-17解：又 对于暗环来说，有 18,解：光源和双棱镜的性质相当于虚光源由近似条件和几何关系：得：而2a+所以：a=（rad）又因为：为插入肥皂膜前，相长干涉的条件为：插入肥皂膜后，相长干涉的条件为：所以：故：1-19，（1）图（b）中的透镜由a，b两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在该光学系统的中心轴线上，a部分的主轴oa在系

32、统中心线下0.5cm处，b部分的主轴ob则在中心线上方0.5cm处，分别为a，b部分透镜的焦点。由于单色点光源p经凸透镜a和b后所成的像是对称的，故仅需考虑p经b的成像位置即可。所以：，所以：所以：又因为：所以：故所成的虚像在透镜bd的主轴下方1cm处，也就是在光学系统的对称轴下方0.5cm处。同理，单色点光源p经透镜a所成的虚像在光学系统对称轴上方0.5cm处，其光路图仅绘出点光源p经凸透镜b的成像，此时，虚像和就构成想干光源。它们之间的距离为1cm，所以：想干光源发出的光束在屏上形成干涉条纹，其相邻条纹的间距为：（2）光屏上呈现的干涉条纹是一簇双曲线。 1-19题图：1-20，解，（1）如

33、图（a）所示，对透镜l的下半部分，其光心仍在，故成像位置不变，即但对透镜得上半部分，其光心不在，而移到，则成像位置将在处，像距这样，两个半透镜，所成的实像和位于主轴上相距0.83cm的两点，光束在和之间的区域交叠。（2）由于实像和购车国内一对想干光源，两想干光束的交叠区域限制在和之间，依题意，光屏d至于离透镜10.5cm处，恰好在和之间，故可以观察到干涉条纹，其条级为半圆形。根据光程差和相位差的关系可以进一步计算出条级的间距。1-21，解，（1）因为:在反射光中观察牛顿环的亮条纹，及干涉级j随着厚度h的增加而增大，即随着薄膜厚度的增加，任意一个指定的j级条纹将缩小其半径，所以各条纹逐渐收缩而在中心处消失，膜厚h增加就相当于金属 的长度在缩短。所以，但到牛顿环条纹移向中央时，表明c 的长