二面角的两类常见三棱锥模型及两种特殊求角的技巧

1、二面角的两类常见三棱锥模型及两种特殊求角的技巧重庆八中 陈发帮一问题的提出二面角是高中立体几何中三类空间角中难度最大的一类，它也是历年高考中必考的一个重要考点.由于呈现出这一考点的几何情景和几何模型千姿百态，尤其是当对应二面角的两个半平面均不在水平位置或当二面角的平面角为钝角时，学生把握起来较为困难.难点突出表现为：一是，视角识别困难，立体几何图形的视角不同，字母排列顺序不同，会造成视角障碍，牵制学生的思维，立体几何的大题往往设置二至三个小题，二面角的考察一般放在第二或第三个小题，在考场时间有限的情况下，当解决好前面的一至二小问后，所给的立体几何图形已经被标示得“体无完肤“，这个时候，迅速识别

2、所给二面角的两个半平面，并将注意力集中于此是相当必要的。二是，高考中二面角的平面角的作法常常有以下三种主要办法：（1） 定义法（即在棱上取一特殊点，在二面角的两个半平面内分别过该点作棱的垂线，所成角为二面角的平面角）（2） 垂面法（过二面角内一点作两个半平面的垂线，过两垂线做平面与两个半平面的交线所成角即为二面角的平面角）（3） 三垂线法（过二面角一面内的一点作另一面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用三垂线定理就可得到二面角的平面角）但分析全国各地的高考试题，不难发现，对于三垂线法作二面角的平面角考查尤为频繁，此法最困难的地方是作面的垂线时垂足的落点位置的确是关键）.本文正是基于上面两点，总结高

3、考中的立体几何解答题，归纳出两类常见模型及两种求二面角大小的特殊技巧，掌握和熟悉这些，可以较为很好的解决高考要求内二面角的很多问题.二解决问题的模型 模型一 有长度相等关系的三棱锥模型要求：(1)与相似或全等(图1)，求作二面角的平面角. 操作方法：只需过作于，再连接，由条件，可得，则为所求二面角的平面角.(2)若时，求作二面角的平面角：只需取的中点,连接.则为所求（图2）.(3)若时，取中点，连接，再过作，交于，则为二面角的平面角.（图3） 模型二.有垂直关系的三棱锥模型要求：若，求作二面角的平面角.（图4）操作方法：过点作，则，再过作，连接，由三垂线定理有,则为所求二面角的平面角.同理可求

4、二面角的平面角.特殊情形1 时，易作二面角的平面角，二面角的平面角.（图5）(此模型俗称“三节棍模型”)特殊情形 2 两两垂直，求作二面角的平面角.（图6）(此模型又俗称“墙角模型”)注:1.模型一主要是定义法作平面角，关键是确定棱上的垂足.而模型二均有面面，线面垂直的条件，很容易作出面的垂线及确定垂足的位置，熟悉这些模型可有效解决前文提到的第二个难点.2.抽取出这些模型实际上都很简单，一旦将其“藏匿”于形形色色的几何体中，识别它们的难度就大增，总结这些模型的目的是希望熟记这些模型于心，无论它们在几何体中处于什么位置，什么角度，都能快速的识别，这样可有效解决前文提到的第一个难点.三模型的运用例

5、1 （05年北京.16）如图7，在直四棱柱中，垂足为.(1) 求证：；(2) 求二面角的大小；(3) 求异面直线与所成角的大小. （1）（3）略（2）分析：有条件易知，所以，与是共底的等腰三角形，即为模型一（见图7黑体突出部分），有条件可得为的中点，连结a1e，c1e，a1c1.可证bda1e，bdc1e，a1ec1二面角a1bdc1的平面角.（下略），针对此例题，我们：延伸两种特殊的求二面角的技巧：技巧一，如本题图，设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则有.实际上，这里后两个二面角的大小显然为锐角，而且它们各有一个面为水平面，且共棱，所以学生应该是很熟悉的.本质上讲，二面角用平

6、面角来刻画大小后，其求值就是求平面角的大小，这个地方运用的技巧就是平面角的补角思想.技巧二，当然这里也可以连接，交于，则易得，那么就将我们的模型一分解成了两个模型二，相应的二面角（平面角的大小记为）与二面角（平面角的大小记为）的之和即为二面角的大小，即.本质上来讲这是一个分割的思想。不妨看下面的一个例题，就能很好的体现这种技巧的妙处：例2 如图8，已知在四棱锥中，侧面为边长等于2的正三角形，底面是菱形，侧面与地面所成的二面角为.(1) 求点到面的距离；(2) 求二面角的大小. 解：(1 )解：如图8,作po平面abcd,垂足为点o, 连结ob、oa、od、ob与ad交于点e,连结pe. adp

7、b, adob , pa = pd , oa = od , 于是ob平分ad,点e为ad的中点,所以pead. 由此知peb为面pad与面abcd所成二面角的平面角. peb = 120, peo = 60. 由已知可求得pe = .po = pesin60= . 即点p到平面abcd的距离为.(2)如图8,取pb的中点g,pc的中点f,连结eg、ag、gf,adpb, bcpb, 又由（1）可得pebc ，所以bc面pob，则面pbc面pbe，所以二面角c-pb-e的平面角的大小为.而易求得egpb，由三垂线定理可得agpb，所以age为二面角a-pb-e的平面角，所以ae=1，de=，所以

8、tanage=，所以age=.所以二面角的大小为.注：二面角的两个半平面均非水平面，且从视角看，二面角的平面角为钝角，直接在其一面向另一面作垂线很困难，由（1）小问的解决为之提供了思路，先找二面角的一个中间面pob，将二面角分割成两个二面角来求.例3 如图9，已知平面a1b1c1平行于三棱锥vabc的底面abc，等边ab1c所在平面与底面abc垂直，且acb=90，设ac=2a，bc=a.（1）求证直线b1c1是异面直线ab1与a1c1的公垂线；（2）求点a到平面vbc的距离；（3）求二面角avbc的大小.解答：（1）（2）略.（3）面面，又，所以面，所以，即图9中黑体突出部分为模型二，只需要过作于，又为等边三角形，所以为的中点，且，再过点作，连接，由三垂线定理有,所以为二面角avbc的平面角.(后略)四小结本文中二面角的两个三棱锥模型是最常见的，很多立体几何题以此为模型进行编写，本文试图将求二面角的问题模型化，总结处适用于大多数情况的结构，这对于学生思维的系统化是非常有用的，陶兴模老师在问1中提倡“在进行一个单元，一个章节的知识梳理时，要注意对典型方法，典型题型的归纳与梳理，,要知道这些典型的题型又该用怎样的方法去求解”.“将典型问题模型化符合人们的认真规律，能够有效地提高学生解