巧添平行线多法证一题(20210511174537)

1、巧添平行线多法证一题证线段成比例，往往要通过添平行辅助线，构成人教版几何第二册214页的图59、510的两个基本图形，即 A”型和型图形，再利用平行线分线段成比例定理进行证明。但在具体的证题过程中，到底过哪一点作平行线恰当， 不少同学感到茫然。这里向同学们介绍一个添平行线的方法： 以比例式的一边为 基准，若前、后项的两条线段有公共端点且在同一直线上，则就把这两条线段的三个端点，分别看成某一三角形一边的两个端点和一个内（外）分点，经过这三 点都可作两条平行线。（但过分点作平行线，往往会使证明过程变复杂）。现以 几何第二册255页第17题为例说明如下。题目：过厶ABC的顶点C任作一直线，与边AB及

2、中线AD分别交于点F和E。 求证：AE: ED=2AF : FB分析：要证明的比例式中的线段 AE、ED和AF、FB，都是有公共端点且各在同 一直线上，E、F分别是AD和AB的内分点，所以，至少可以分别过 A、E、D、 F、B各作两条平行线（如图1 9）,同时，考虑到AD是中线，还可以过C点 作平行线（如图1011）。另外，根据题设条件，不添辅助线，直接用梅勒劳 斯定理也可证明。这样就得到该题的 12种证法。证法1:如图1,过点A作AG/BC，交CF的延长线于G。AE AG_ AG _2AG则：CD 1J2BC BCAG AFAE_ 2AF而环珂，所以B D C图1证法2:如图2,过点A作AG

3、/FC，交BC的延长线于GAF_GC_ GC则：FB CB 2CDGC=而 CD EDAF_ AE所以西五AE 2AF即：ed_Tb图2证法3:如图3,过点E作EG/AB，交BC于GBG AE则：3一 aEG DG.AB DBEG _ CG_ CG2DBFB CBAB CG得：FB 2DG而 CG = O 十 DG =HU -1- DG = BG 4- 2DGAB_BG+2DG所以匹2DGAFBC AE所以刊ZDG 2EDAE_2AF即：FBB G 0图3证法4:如图4,过点D作DG/AB，交CF于Gdg=1hf则：2AE AF AF 2AF所以 ED DG 1/2BF FBDocDoco则则

4、：DG AFBG TB图4证法5:如图5,过点D作DG/CF，交AB于GAE 2AF 即 W ID所以 ED FG 1/2BF FB图5证法6:如图6,过点F作FG/BC,交AD于G则：AB JW W CD _LDAF AG + GE_ AE所以 AB AD-i-ED AE+2ED所以FB 2ED图6证法7:如图7,过点F作FG/AD交BC于GFG BGHj GCED CD AD_ GC得：ED_BG而 GC = CD -+DG =HD + DG = BG + 2DGADBG + 2DG所以云BGAE 2DG所以而辰AE 2AF从而而一面图7证法&如图8,过点B作BG/AD，交CF的延长线于G

5、则.HG = 2HEAF_AE_ AE所以 FB BG ZDEAE 2AF即 ED FB图8证法9:如图9,过点B作BG/CF交AD的延长线于G则：ED =DG即 EG =2EDAF_AE_ AE所以帀_而_方亦AE 2AF即：ED ir证法10:如图10,过点C作CG/AB，交AD的延长线于G,连结CG 则易证 CG=AB , DG=ADAF AE所以06 EG而 EG=ED+DG=ED+AD=AE+2EDAF AE所以 AR AE + 2EDAF_ AE所以両五AE 2AF即：m _ FB证法11:如图11,过点C作CG/DA交BA的延长线于G 贝U易证：AG=AB，CG=2ADAE AF所以而而而 FG=AF+AG=AF+ABAE _ AF所以 2AD AF+ABAE_ 2AT 所以 AD_ AF+JVBAE 2AF即：ED irB 0图11证法12:如