数形结合思想在解题中的应用包含30例子讲解

1、数形结合思想在解题中的应用(包含 30 例子)一、知识整合1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且 解法简捷。 所谓数形结合， 就是根据数与形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化来解决数学 问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽 象问题具体化能够变抽象思维为形象思维， 有助于把握数学问题的本质， 它是数学的规律性与灵 活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的 对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复 数、三角函数等；

2、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 (x 2) 2 (y 1)2 43纵观多年来的高考试题， 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题， 可起到 事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域， 最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且 能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意 培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例 1. 若关于 x的方程 x2 2kx 3k

3、 0的两根都在 1和3之间，求 k的取值范围。分析： 令f (x) x2 2kx 3k，其图象与 x轴交点的横坐标就是方 程f (x) 0f ( 1) 0，f (3) 0 ，的解，由 y f ( x)的图象可知，要使二根都在1，3之间，只需f( b ) f( k) 0同时成立，解得1 k 0，故k ( 1，0)2a例 2. 解不等式 x 2解：法一、常规解法：x0数形结合”在解题中的应用x0原不等式等价于 (I) x 2 0 或(II )2 x 2 0x 2 x2解(I)，得0 x 2；解(II )，得 2 x 0综上可知，原不等式的解集为 x| 2 x 0或0 x 2 x| 2 x 2 法二

4、、数形结合解法：令 y1 x 2， y2 x，则不等式 x 2 x的解，就是使 y1x 2的图象而xB 可由 x 2 x，解得，在y2 x的上方的那段对应的横坐标， 如下图，不等式的解集为 x|xA x xBxB 2，xA2， 故不等式的解集为 x| 2 x 2例 3. 已知0 a 1，则方程 a|x| |loga x|的实根个数为 ( )A. 1 个B. 2 个 C. 3 个D. 1个或 2 个或 3 个分析： 判断方程的根的个数就是判断图象y a|x|与y |loga x|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选( B )。xD. 3例 4. 如果实数

5、x、 y满足 (x()C. 32A. 12B. 33分析： 等式 (x 2)2 y2 3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为 (2 ， 0) ，半径 r3，(如图 )，而 y y 0则表示圆上的点 (x，y)与坐x x 0标原点 (0， 0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 A在以 (2，0)为圆心，以 3为半径的圆上移动，求直线 OA的斜率的最大值，由图可见，当 A在第一象限，且与圆相切时， OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为 tg60322y满足 16 25例 5.已知 x，1，求 y 3x的最大值与最小值22分析： 对于二元函数 y 3x在限定条件

6、 x y 1下求最值问题，常采用 16 25构造直线的截距的方法来求之。令y 3x b，则 y 3x b，22原问题转化为：在椭圆 x y1上求一点，使过该点的直线斜率为3，16 25且在y轴上的截距最大或最小，22由图形知，当直线 y 3x b与椭圆 x y 1相切时，有最大截距与最小 16 25截距。y 3x bx2 y2169x2 96bx 16b2 400 0116 25由0，得 b 13，故 y 3x的最大值为 13，最小值为 13例 6.若集合 M (x，y)x 3cos y 3sin(0) ，集合 N（ x，y）|y x b且M N ，则 b的取值范围为数形结合”在解题中的应用分

7、析： M （x，y）|x2 y2 9，0 y 1 ，显然， M表示以 （0， 0）为圆心， 以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分， （如图），而 N 则表示一条直线，其斜率 k=1 ，纵截 距为 b，由图形易知，欲使 M N ，即是使直线 y x b与半圆有公共点， 显然 b的最小逼近值为 3，最大值为 3 2，即 3 b 3 2例 7.它到其中一个焦点 F1的距离为 2， N为MF1 的中点， O 表示原点，则 |ON|（）A. 3 B.22C.4D.8分析： 设椭圆另一焦点为 F2，（如图），则|MF1| |MF2 | 2a，而a 5|MF1| 2， | MF2 | 8又注意到N、O 各

8、为 MF1、F1F2 的中点， ON 是 MF1F2 的中位线， |ON|11|MF2| 8 422若联想到第二定义，可以确定点 M 的坐标，进而求 MF1 中点的坐标，最后利用两点间的 距离公式求出 |ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例 8. 已知复数 z满足 |z 2 2i| 2 ，求 z的模的最大值、最小值的范围。分析： 由于 |z 2 2i| |z （2 2i ）|，有明显的几何意义，它表示复数 z对应的 点到复数 2 + 2i对应的点之间的距离，因此满足|z （2 2i）| 2的复数 z对应点Z，在以 （2， 2）为圆心，半径为 2的圆上， （如下图 ），而 |z

9、|表示复数 z对应的点Z到原点 O的距离，显然，当点 Z、圆心 C、点 O三点共线时， |z|取得最值，|z|min2 ，|z|max 3 2 ，|z|的取值范围为 2， 3 2 例 9. 求函数 y sinx 2 的值域。cosx 2sinx 2解法一 (代数法)：则y得ycosx 2y sin x 2，cosx 2sinx ycosx 2y 2， y2 1 sin( x ) 2y 22y 2 sin(x )，而 |sin( x )| 1y2 1| 2y 2 y2 1| 1，解不等式得4 7 4 73y3函数的值域为473解法二 (几何法)： y sinx 2 的形式类似于斜率公式 y y2

10、 y1 cosx 2x2 x1y sinx 2 表示过两点 P0(2， 2)， P(cosx， sin x)的直线斜率 cosx 2由于点 P在单位圆 x2 y2 1上，如图 , 显然， kP0A y kP0B设过 P0的圆的切线方程为 y 2 k(x 2)即kP0AkP0B473则有 k2 1 1，解得 k33函数值域为 4 3 7例 10. 求函数 u 2t 4 6 t 的最值。数形结合”在解题中的应用分析： 由于等号右端根号内 t同为 t的一次式，故作简单换元 2t 4 m，无法 转化出一元二次函数求最值； 倘若对式子平方处理， 将会把问题复杂化， 因此该题用常规解法显 得比较困难，考虑

11、到式中有两个根号，故可采用两步换元。解： 设x2t 4，y6 t，则 u x y且x2 2y2 16（0 x 4， 0 y 2 2）所给函数化为以 u为参数的直线方程 yx u，它与椭圆 x2 2y2 16在第一象限的部分（包括端点）有公共点， （如图）umin 2 2 相切于第一象限时， u 取最大值y x u 2 22 23x2 4ux 2u2 16 0x2 2y2 16解 ，得 u 2 6，取 u 2 6 umax26模拟试题】、选择题：1. 方程 lg x sinx 的实根的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 函数 y a|x|与y x a的图象恰有两个

12、公共点，则实数 a 的取值范围是（）A. （1，）C. （ ， 1 1， ）B. （ 1， 1）D. （ ， 1） （1，）3. 设命题甲： 0 x 3，命题乙： |x 1| 4 ，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件4. 适合 |z 1| 1且argz 的复数 z 的个数为()4A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 4 个5. 若不等式 x a x (a 0) 的解集为 x|m x n ，且|m n| 2a， 则 a 的值为 ()A. 1B. 2C. 3 D. 46. 已知复数 z1 3 i，|z2| 2，则 |z1 z2

13、|的最大值为()A. 10 2 B. 5 C. 2 10 D. 2 2 227. 若 x (1，2) 时，不等式 (x 1)2 loga x恒成立，则 a的取值范围为()A. (0，1)B. (1，2)C. (1，2D. 1，28. 定义在 R上的函数 y f (x)在( ，2)上为增函数，且函数 y f (x 2)的图象的对称 轴为 x 0 ，则( )A. B. f (0) f (3)C. f ( 1) f ( 3) D. f (2) f (3)二、填空题：9. 若复数 z满足 |z| 2，则 |z 1 i |的最大值为 。10. 若 f(x) x2 bx c对任意实数 t，都有 f(2 t

14、) f(2 t)，则 f(1)、f( 3)、f(4) 由小到大依次为 。211. 若关于 x 的方程 x2 4|x| 5 m 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为。12. 函数 y x2 2x 2 x2 6x 13 的最小值为 。13. 若直线 y x m 与曲线 y 1 x2 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是三、解答题：14. 若方程 lg( x2 3x m) lg(3 x)在0，3 上有唯一解，数形结合”在解题中的应用求 m 的取值范围。15. 若不等式 4x x2 (a 1) x的解集为 A，且 A x|0 x 2，求 a的取值范围。16. 设 a 0且 a 1，试求下

15、述方程有解时 k 的取值范围。loga(x ak) loga2 (x2 a2)【试题答案】、选择题1. C提示：画出 y sin x，y lgx 在同一坐标系中的图象，即可。2. D提示：画出y a|x| 与y情形 1： a 0 a 1 a1a0情形 2：a 1a13. A4. C提示：|Z 1|=1 表示以（ 1，0）为圆心，以 1 为半径的圆，显然点 Z 对应的复数满足条件argz ，故满足条件的4argz ，另外，点 O 对应的复数 O，因其辐角是多值，它也满足4z 有两个。5. B提示画 出 y x a y x 的 图 象 ，依题意，ma， n a， 从 而a a a a 0或2。6.

16、 C提示：由 |z2| 2可知， z2对应的点在以（ 0，0）为圆心，以 2为半径的圆上，表示复数 z2 与 3 i 对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：数形结合”在解题中的应用22|PO| r ( 3 0) 2 (1 0) 2 2 10 27. C2提示：令 y1 (x 1) ，y2 loga x ，若 a1，两函数图象如下图所示，显然当 x (1，2) 时，要使 y1 y2 ，只需使 loga 2 (2 1)2，即a 2 ，综上可知 当1 a 2时，不等式 (x 1)2 loga x对 x (1， 2)恒成立。若 0 a 1，两函数图象如下图所示，显然当x (1，2)时，不等

17、式 (x 1)2 loga x恒不成立。可见应选 C8. A提示： f(x+2) 的图象是由 f(x) 的图象向左平移 2 个单位而得到的，又知 f(x+2) 的图象关于直 线 x=0(即 y 轴)对称，故可推知， f(x) 的图象关于直线 x=2 对称，由 f(x) 在( ，2 )上为增函数，可知， f(x)在( 2，) 上为减函数，依此易比较函数值的大小。10、填空题：9. 2 2提示： |Z|=2表示以原点为原心， 以 2为半径的圆， 即满足 |Z|=2 的复数 Z对应的点在圆 O上运动，(如下图)，而|z+1 i|=|z ( 1+i ) |表示复数 Z与 1+i 对应的两点的距离。由图

18、形，易知，该距离的最大值为 2 2 。10. f (1) f (4) f ( 3)2提示：由 f (2 t) f (2 t )知， f(x)的图象关于直线 x=2 对称，又 f (x) x2 bx c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知 f (1)、f( 3)、f (4)的大小。11. m (1，5)22提示： 设 y1 x2 4|x| 5 y2 m，画出两函数图象示意图， 要使方程 x2 4|x| 5 m有11数形结合”在解题中的应用四个不相等实根，只需使 1 m 512. 最小值为 13提示：对 x2 2x 2 （x 1） 1 （x 1） 2 （1 0）2 ，联想到

19、两点的距离公式，它表示点（ x，1）到（1，0）的距离， x2 6x 13 （x 3）2 （1 3） 2表示点（ x，1）到点（ 3，3）的距离，于是 yx2 2x 2 x2 6x 13 表示动点（ x， 1）到两个定点（ 1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin13 。13. m （ 2 ， 1提示： y=x m 表示倾角为 45，纵截距为 m 的直线方程，而 y 1 x2 则表示以（ 0， 0）为圆心，以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分（包括圆与 x 轴的交点），如下图所示，显然，欲 使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距 m 1， 2） ，即 m （ 2， 1 。

20、三、解答题：2x 3x m 00x32x 4x 3 m2x 3x m 03 x 014. 解：原方程等价于0x32 x 3x m 3 x令 y1x2 4x 3，y2 m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，212其中注意 0 x 3 ，当且仅当两函数的图象在 0 ，3）上有唯一公共点时， 原方程有唯一解， 由下图可见， 当m=1，或 3 m 0时，原方程有唯一解， 因此 m的取值范围为 3，0 1 。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究 方程的解的情况。15. 解：令 y14x x2 ，y2 （a 1） x，其中 y14x x2 表示以（ 2，0）为圆

21、心，以2 为半径的圆在 x 轴的上方的部分（包括圆与 x 轴的交点），如下图所示， y2 （a 1）x 表示过2原点的直线系，不等式 4x x2 （a 1）x的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对 应的 x 值。由于不等式解集 A x|0 x 2因此，只需要 a 1 1， a 2 a 的取值范围为（ 2， + ）。16. 解：将原方程化为： loga（x ak） loga x2 a2 ， x akx2 a2，且 x ak 0，x2 a2 0令 y1 x ak ，它表示倾角为 45 的直线系， y1 0令 y2x2 a2 ，它表示焦点在 x 轴上，顶点为（ a， 0）（a， 0）的等轴双曲

22、线在 x 轴 上方的部分， y2 013数形结合”在解题中的应用原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知ak a或 a ak 0 k 1或 0 k 1k 的取值范围为 （ ， 1） （0，1）数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在 解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目 标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联 系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过： “数形结合百般好，隔裂分家 万事非。 ”“数”与 “形”反映了事物两个方面的属性。我们认为

23、，数形结合，主要指的是数与形之 间的一一对应关系。 数形结合就是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、 位置关系结 合起来，通过 “以形助数 ”或“以数解形 ”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单 化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法， 数形结合的应用大致又可分为两种情形： 或者借助于数的精确性来阐明 形的某些属性， 或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系， 即数形结合包括两个方面： 第 一种情形是 “以数解形 ”，而第二种情形是 “以形助数 ”。“以数解形 ”就是有些图形太过于简单，直 接观察却看不出什么规律来， 这时就需要给图形赋值

24、， 如边长、 角度等等， 特别是在做选择题时， 只有一个答案是正确答案， 用此种方法就可能起到意想不到的效果。 由于这 “以数解形 ”比较简单， 所以这里就不多做介绍了。 “以形助数 ”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形， 可避免繁杂的 计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把 “数形结合 ”就理解为 “以形助数 ”，也可以这么说，理解 了并掌握了 “以形助数 ”这种思想方法，就是理解了 “数形结合 ”。“以形助数 ”中的 “形”，或有形或 无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此 “以形辅数 ”的途径大体 有三种： 一是运用图形； 二是构造图形； 三是借助于代数式的几何

25、意义。 以下我将从 “数形结合 ”14在哪些题型中可以应用和使用 “数形结合 ”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这 种思想方法。1. 数形结合思想的应用1.1 在方程、函数问题中的应用方程 f(x) g(x) = 0 的解情况，可化为 f(x) g(x) 的解情况，也可看作函数 y = f(x) 与 y = g(x) 图 像的交点的横坐标的情况， 所以只要我们准确地画出这两个函数的图像， 再根据图像就能很容易 地看出它们有几个交点， 及交点大致的位置或坐标， 还有一些其它的重要信息， 这样我们就可以 根据这些信息来解题， 特别是选择题。 对于计算题， 我们也可以用数形结合这种方法为

26、自己提供 一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。例 抛物线 与 x 轴的两个交点为、，点 (4，8k)在抛物线上且 AQ BQ，则 ( ) 、 、 、 、分析 这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图-所示：我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下， a ， k 总是异号的，即 再看看各个备选项，不难发现只有表示的是 小于的。故本题选() 。例 方程 的实数根个数有( )2已知 f(x)axb 的图象如图所示， 则 f(3) .解析： 由图象知 f(0)1b2， b 3.又 f (2) a2 30，a 3，则 f(3) ( 3)3 33 33.答案： 3 334(2009

27、 年高考山东卷 )若函数 f(x)axxa(a0，且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 yax与函数 yxa 交点的个数，由函数的图象可知 a1 时两函数图象有两个交点， 0a1.15数形结合”在解题中的应用答案： （1，+）x9（2009年高考上海卷 ）当 0x1时，不等式 sin 2 kx恒成立， 则实数 k的取值范围是 x图的 y原上解析：当0x1时，ysin2 的 象如图所示， ykx的图象在 0,1之间 部分应位于此图象下方，当 k0 时， kx 在0,1 上的图象恒在 x 轴下方， 不等式成立x当 k0， kx sin 2 时，

28、在 x0,1 恒成立， k1 即可x故 k1 时， x0,1上恒有 sin2 kx. 答案： k1数形结合思想1. 数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略 ,它包括两个方面 : “以 形助数”和“以数助形” . “以形助数”即是借助形的生动性和直观性来 阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函 数的图象来直观地说明函数的性质， 应用数轴直观表达不等式组的解集 .16 “以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性， 它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布， 曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质 .2. 数形结合，是根据数量与图形之间的

29、对应关系，通过数与形的相互转 化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以 使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而， 便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决 .3. 在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面： (1)由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础 .( 2)数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势 . “形”有直观、形 象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学 解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容 易造成对数形结合的谬用 .4. 数学前辈华罗庚曾说过： “数与形，本是相倚依，焉

30、能分作两边飞，数 缺形时少知觉，形少数时难入微 . 数形结合百般好，隔离分家万事非 . 切 莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离” . 可见，数形结合既是一种 重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固 掌握，熟练应用 .【例 1】已知奇函数 f(x) 的定义域是 x|x 0,x R，且在 (0,+ )上单 调 递 增 ， 若 f(1)=0, 满 足 x f(x)0 的 x 的 取 值 范 围 是 .分析 函数 f(x)比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的， 注意到 xf17数形结合”在解题中的应用（x）0表明自变量与函数值异号，故可作出 f （x）的图象加以解决 . 解

31、析 作出符合条件的一个函数图象（草图即可） ， 可知： xf （x）0的x取值范围是（ -1，0）（0，1）.探究拓展 函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形 象、简明的特点 . 通过绘出函数图象， 依图象确定相关不等式的解集的方 法，称作“图象法解不等式” .变式训练 1 （2009徐州调研）设奇函数 y=f（x） ，（x 0）, 当x（0,+ ） 时，f（x）=x-1 ，则不等式 f（x-1）0,x-10 讨论，分别得到不等式， 并解之. 如果 能根据已知条件作出 y=f（x） 的图象（奇函数图象关于原点对称） ，则可 直观地得到 f（x）0 的解为 x-1 或 0x1（见图

32、 ）.3.1 数形结合在集合问题中的应用 在集合运算中常常借助于数轴、集合图来处理集合的交、并、补等运算，从而 使问题得以简化，使运算快捷明了 . 例如我们要求集合 -2 ，2与集合 -4,1 的交集 和并集，我们就可以利用数轴来画图在图中表达出来 .利用图形结果随着图形的画出结果就出来了，所以集合交集是 -2,1, 并集是 -4 ，2. 其实很类题很多，尤其是这类题出在选择填空中我们利用数形结合思想可 以很快的解答出来，大大节省了做题时间同时也保证了做题的质量 .3.2 数形结合在函数问题中的应用借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法 . 函数图象的几何特征与数量特 征紧密结合， 体现了数

33、形结合的特征与方法 . 从我们初中学习的一次函数到简单的二 次函数，再从简单的二次函数到复杂的函数等等，数与形紧密结合在一起 . 在函数问18题上出题方向很多但也也无外乎这几种题型，求定义域，值域，对解讨论及取值范 围，单调性奇偶性等等 .例1 若定义在区间 1,0 内的函数 f x log 2a(x 1)满足 f x 0 ,则a的取值范围是() .A 0,2 B 0,2 C 2, D 0，分析 由在定义区间 1,0 内 f x 0可知函数 f x log 2a (x 1)在 1,0 内的图象位于 x 轴上方，且x 0时， f(x) 0 (如图所示)所以底数 2a应满足0 2a 1，得0 a

34、2，选 A.评注 解题时应善于将 f x 0 加以转化，由式想形本题还可进一步考查函数 在 1,0 内的单调性例 2 已知函数 f x ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则( )A b,0 B b 0,1 C b 1,2 D b 2,分析 本题的已知信息主要在图象上，所以认真观察图象，可得：函数的图象经 过了点 (0,0) ， (1,0) ， (2,0) ， (0, 2) ，这些点的坐标应该满足函数解析式。因此有d 0,a b c d 0,8a 4b 2c d 0.1 2 1a b,c b f(x) bx(x 1)(x 2) 解得 3 3 ，所以 3显然由 f 1 0或f 3 0，即可

35、解得 b 0选A评注 本题不仅要求学生掌握待定系数法、方程思想和数形结合思想，而且对 学生的观察能力、逻辑推理能力也有较高要求以上两个题介绍的在选择填空中的应用，而在解答题中，考虑到推理论证的严 密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题 中对数形结合思想的考查以由“形”到“数”的转化为主19数形结合”在解题中的应用例 3 求函数 y 3x 6x 9 的图象的开口、对称轴、增减性及最值、顶点坐标2解 将函数 y 3x 6x 9 变为顶点式为 由图象得：此函数的开口向上，对称轴是 x 1增减性： x 1， y随x的增大而增大，x 1， y随x 的增大而减小最值：当 x

36、 1 时， ymin 6 顶点坐标 1,6分析 此题如果不利用图形，则完全靠记忆公式理论的话，则不但使整个过程条 观、形象，而且容易出错 .评注 对函数单调性的研究，转化为对导函数正负的研究，实际上就是研究函数 值正负的分布这种研究过程往往没有现成的定理可以使用，而必须由图象的直观 性得出结论在解答书写的过程中，一般不必画出函数图象，但结论的得出又必须 依赖于函数图象，这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式3.3 数形结合在方程和不等式中的应用处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；要找到交 点很多时候还是画图，图上就有我们所说的交点 . 处理不等式时，从题目的条件与结

37、论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路 .y即函数， x 的图象的交点个数，20根据图象得交点个数是 1，故原方程有 1 个解.分析 此题的关键在于将方程两边转化为函数，再转化为函数的图象，才得以 解决. 若用一般的方法来解，对于初中生来说是不可能的 . 原因在于此方程是一个分 32 式方程，一般思路是转化为整式方程， 即得 x3 4x2 6x 6 就得到一个 3次的高次方程，而对于初中生来说只能求解 2次及 2次以下的整式方程 .所以利用数形结合进行 讨论分析，可以将很复杂的，而且容易出错的甚至得不出正确结论的题也变得清晰、 快速、准确地求出了答案 .因此，数形结合

38、起来是一种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象 概念和关系式，若赋之以图形意义，往往变得非常直观形象，并使关系明朗化、简 单化.3.3.2 数形结合在不等式中的应用 数形结合在不等式问题的作用很大，我们都知道不等式问题很多时候是需要我 们分情况讨论的， 导致演算过程繁琐冗长 ,若用数形结合的方法 , 问题将会大大简化 数形结合的在不等式中的应用几乎是无处不在，从简单求不等式的解到分情况讨论 的不等式我们做题的时候都离不开与图形结合，在解答不等式组的时候也要用到图 形的分析才能准确简单的得出结果 .例 5 解不等式 x2 1 ax 1，其中 a 0.分析 这个题解题方法很多，我这里给出

39、三种解题方法，分别如下： 方法一：不等式中含有参数 a 0 ，故多揣摩挖掘题意2 x2 1 1 1 ax 1 ax 0，结合 a 0可知 x 0 据此，两边平方得 x 1 1 ax 1 a x 2a ，接下来只需按 0 a 1， a 1，a 1共三类讨论取解即可1 ax 0 x12 xa方法二：已给不等式和 a 0 得 x 1 1 ax 即 x a 1 x 2a 0所以，当 a 1 时，所给不等式的解集为 0, ；21数形结合”在解题中的应用0, 2 a当0 a 1时，所给不等式的解集为 0,1 a 2 方法三： 若注意到不等式两端 x 1 1 ax 明显的几何意义， 亦可借助几何直 观取解在

40、同一直角坐标系中作函数 y x 2 1 （图象为实、虚半轴的长均为 1的等图象，如图所示轴双曲线的上支）和 y 1 ax a 0 （图象为过点 0,1 、斜率为正数 a 的直线）的从图中得出：当 a 1 时，所给不等式的解集为 0, ；0, 2a 2 当0 a 1时，所给不等式的解集为 0,1 a 2 评注 某些有几何意义的不等式也可用数形结合的思想方法来解证明，通过构造几何图形，然后由图形间的数量关系来论证往往既简洁又一目了然3.4 数形结合在三角函数中的应用 有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单 位圆或三角函数图象来处理， 数形结合思想是处理三角函数问题的重

41、要方法 . 锐角三 角函数的定义也是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐 标系或单位圆来定义的 .例 6 设函数 f x xsin x x R证明 f x 2k f x 2kxsin x ，其中 k为整数；设 x0 为 f x 的一个极值点，证明 f ( x 0 )x041x 02证明 由函数 f x 的定义，对任意整数 k ，有f x 2k f x x 2k sin x 2k xsin xf x 2k f x x 2k sinx xsinx 2k sin xf x xcosx sinx（2）函数 f x 在定义域 R上可导， 令 f x 0， 得 sinx xcosx 2

42、2若cosx 0，则 sinxxcosx 0，这与 cos x sin x 1矛盾，所以 cosx 0当 cosx 0时， f x 0 x tanx22由于函数 y x的图象和函数 y tanx 的图象知，f x 0有解， f x 的极值点 x0 一定满足 tanx0x0.当 f x 0 时， f(x0)22 sin22x0 sin x0 x02 002sin x0 cos x02 2 4 x0 tan x0x022 1 tan x0 1 x03.5 数形结合在最值问题中的应用 无论是小学初中高中数学最值问题都存在，但是最值问题怎么样解答一直都是 以个难点，数形结合在解决这类问题的最好方法，线

43、性规划问题是在约束条件下求 目标函数的最值的问题 . 从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用 .例 7 已知 0 x 1, 0 y 2, 3y z 2且 x y z 1. 求函数 F 2x 6y 4z 的最大和最小值 .分析 这个题目属于在一些约束条件下求多元一次函数的最值 . 如果想直接用代 数的方法计算则无从下手，但注意观察已知条件，把 z消去后能化为 x， y的不等式 组成的约束条件下，求二元一次函数 F ax by dz（ a ， b ， c为常数）的最值的 问题.约束条件的几何意义是：约束条件所确定的点 P x, y 集合是一个平面区域 M, 现在就要在这个区域内找一个点 P

44、, 使F 达到最大或最小 .解 x y z 1 z 1 x y F 2x 6y 41 x y 2y 2x 4 又 3y z 2 2y x 1.约束条件等价于 : 坐标满足此不等式的点 P的集合 M ，即梯形 ABCD（包括内部界），其中个顶点坐标为 A 0,0.5 , B1,1 , C 1,2 , D 0,2 设2t 2y 2x,则y x t, t是经过点 p且斜率为 1的直线在 y轴上的截距 . 观察与梯形 ABCD有公共点且斜率为 1的平行线簇 , 易知当直线经过点 D 0,2 时 , 截距 t 取最大值 2，而直线经过点 B 1,1 时, 截距 t 0 为最小 .23数形结合”在解题中的

45、应用Fmax2tmax4 8Fmin2tmin 4 4注 本题所用的方法为等值线法 , 解题关键在于 :（1） 理解约束条件的几何意义 （ 为一个封闭区域 ）;（2） 设2t 2y 2x 后，使求一个代数式 F 2x 6y 4z的最值转化为了求一条直 线截距的范围 . 此法非常巧妙 ，充分体现了数形结合的优越性 .3.6 数形结合在几何中的应用几何问题包括解析几何和立体几何 . 解析几何的基本思想就是数形结合， 在解题 中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中 . 立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可 将抽象的几何问题转化纯粹

46、的代数运算 .几何问题就是图形与数字完美的结合，任何一个几何问题都必须有图形同时和E数也是分不开的 .例 8 四棱锥 A BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE， BC 2，CD 2， AB AC（）证明： AD CE ；（）设 CE与平面 ABE 所成的角为 45 ，求二面角 C AD E 的大小（I） 证明 作AO BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知, AO 底面BDCE ，且O 为 BC 中点，OC CD 1由 CD DE 2 知， Rt OCD Rt CDE ， 从而 ODC CED ，于是 CE OD， 由三垂线定理知， AD CE .（II ）由题意， BE BC ，所以 BE侧面 ABC，又 BE 侧面 ABE ，所以侧面 ABE 侧面 ABC24作CF AB，垂足为 F，连接 FE ，则CF 平面ABE故 CEF 为 CE 与