一元二次方程知识点总结及典型习题

1、一元二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一) 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1 )明确只有当二次项系数 a 0时，整式方程ax bx c 0才是一元二次方程。(2) 各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3) 熟练整理方程的过程3元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 列出实际问题的一元二次方程(二) 、一元二次方程的解法1 明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次

2、方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4 值得注意的几个问题：2 2(1)开平方法：对于形如 x n或(ax b) n(a0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解当 n 0 时，x n ；当 n 0 时，x-i x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为（x m）2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； “系数

3、化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为（x m）2 n的形式； 求解：若n 0时，方程的解为x m n，若n 0时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程2ax bx c 0( a 0)的根 xb b2 4ac2ab24ac0时,方程有两个实数根b24ac0时,方程有两个实数根b24ac0时，方程无实数根.，且这两个实数根不相等;，且这两个实数根相等，写为当当当x1x2b2a ；第3页共13页a, b, c的值；代入b2 4ac中计算其值，判公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定 断方程是否有实数根；若 b2 4ac

4、 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即:若 ab 0,则 a 0或b 0 ； 因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注

5、意二次根式的化简问题。 方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。（三）、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。（ 1 ）=b24ac（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2 bx c0 （ a 0）a0当0时方程有实数根；a0a0（当方程有两个

6、不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根； ）0时0时当a0方程无实数根；0时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式（关键步骤）； 用配方法将判别式恒等变形； 判断判别式的符号； 总结出结论 .例：求证：方程 （a2 1）x2 2ax （a2 4） 0 无实数根。（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方 程进行分类讨论，如果二

7、次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（ 6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（ 7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题（四）、一元二次方程的应用1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。第 3 页 共 13 页3增长率问题（下降

8、率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ）,增长率（x ）,变化的次数（n ）,变化后的基数（b ），这四者之间的关系可以用公式 a（i x）n b表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有 400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两

9、位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （36岁）第15页共13页已知：a,b,c分别是ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 m） 2 . max 0有两个相等的实数根，求证:ABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分别是 ABC的三边长，求证：方程 b2x2（b2 c2 a2）x c20没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 mx2 4x 4220 与 x 4mx 4m 4m 50 的根都是整数？ （ m 1）2（6）已知关于x的方程x 2x2 .m 12x 2x 2m0，其中m为实数，（1 ）当m为何值时

10、，方程没有实数根？ （ 2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：（1） m 2 （ 2） x 1, 1, 2.（六）相关练习（一） 一元二次方程的概念1.一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项:(1)5x223x2(5x , 3x, 2)(2)26x215x0(6x2,15x,2)(3)3y(y1)7( y2) 5(3y2, 4y, 9)(4)(m,m)i(m.m) (m 2) 由方程的根的定义求字母或代数式值7 5m(2m2,0, 3)(5)(5a1)24(a3)22(3a ,2a, 5)2 应用一元二次方

11、程的定义求待定系数或其它字母的值4m是一元二次方程（1） m为何值时，关于x的方程（m 2）xm （m 3）x若分式x7x 80，则x(x 8)x 1（1）关于x的一元二次方程（a 1）x2x a210有一个根为0,则a(a 1)2（2）已知关于x的一元二次方程axbx c 0（ a 0）有一个根为1，一个根为(3)已知c为实数，并且关于x的一元二次方程x2 3x c 0的一个根的相反数是方程 X23x c 0的一个根，求方程x2 3x c 0的根及c的值。(0,-3,c=0)(二)一元二次方程的解法1.开平方法解下列方程：(1) 5x2 125 0 (x-i 5, x25)2(2) 169(

12、x 3)289( x15613，x2(3) y23610 (原方程无实根)(4) (1、3)m20(m1m20)(5)2(3x 1)2512、532.配方法解方程：(1) x2 2x 50(x2(2) y 5y 10(x5 212(3) 2y2 4y 3(y 1)3.公式法解下列方程:(1) 3x2 6x 2(2) p2 3 2.3p( Pi P2 . 3 )(3) 7y211y( yi117,y22(4) 9n 5n 2 (原方程无实数根)(5) x 2(x 2)(2x 1)3(x3.1524.因式分解法解下列方程：1 2(1) X290( x 6)42(2) y 4y 45 0 (力9,

13、y? 5)2 1(3) 8x 10x 3 0 ( x1,x24(4). 7x2. 21x0(石0,x2. 3 )X26)(5) 6x2 3, 3x 2 _ 2x 6 ( x12(6) (x 5)2(x5)1 ( x-i(7) (x2 3x)2 2(x2 3) 8 0 ( x12, x21, X34,X41)5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）(1) .2(2x 7)2.128( x -2 )22 2 2(2) 2m m 12(m2m)(m(3) 6x(x 2) (x 2)(x 3)(x-i2, X23 )5(y1 -,y2 2)2710(4)y23y(32y) y(3y 1)3232 2(

14、1) x2 2mx m2 n20(x1 m n, x2 m n)2 2(2) x 3a 4ax 2a 1(x1 3a 1,x2 a 1)(3) (m n)x22nx m n ( m n 0)1,X2(5) 81(2x5)144(x3) 解含有字母系数的方程（ 解关于x的方程）：(4) a2(x2 x 1) a(x2 1)(a2 1)x(三)一元二次方程的根的判别式1.不解方程判别方程根的情况：(讨论a)2(2)3(x22) 4x (无实数根)(1)4x2 x 3 7x (有两个不等的实数根)(3) 4x254 .5x(有两个相等的实数根)23.已知关于x的方程 4x(m 2,为22. k为何值

15、时，关于 x的二次方程kx6x9 0(1)有两个不等的实数根(k1且 k 0)(2)有两个相等的实数根(k1)(3)无实数根(k1)(m 2)x1 m有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.1x2或 m 10, x122 24.若方程 x 2(a 1)x a 4a 50有实数根，求：正整数a.(a 1, a 2,a 3)5.对任意实数 m,求证：关于x的方程(m21)x2 2mx m240无实数根.6. k为何值时，方程(k 1)x2(2k3)x (k3)0有实数根.(当k 10时，原方程有一个实数根,k 10 时,0k解得k121 ,所以当k21且k 1时方程有两个实数根。4综上所述，当

16、k7 .设m为整数,方程有实数根.)40时，方程x22(2m3)x 4m214m 80有两个相异整数根,的值及方程的根。(当m=12时，方程的根为x-i 16, x226 ；当m =24时，方程的根为x1 38, x2求m52 )第 17 页 共 13 页（四）一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3， 4，5，面积为 6）2一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数 .（ 84）3某印刷厂在四年中共印刷 1997 万册书，已知第一年印刷了 342 万册，第二年印刷了 500 万册，如果以后两年

17、的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？（550, 605）4某人把 5000 元存入银行，定期一年到期后取出还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是300 元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期275元，求存款的年利率？（不计利息税）（10 %）5 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（ 20元）6.已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动,40千米，问几分钟后，两人相甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟 2千米，若正方形广场周长为距2 .J0千米？（2分钟后）7.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息夕卜,还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.（20%）&如图，东西和南北向两条街道交于0点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过0点又继续前进50