(完整版)解斜三角形

1、解斜三角形 一、基本知识 1.正弦定理 2R （ R是厶ABC外接圆半径） si nC a b sin A sinB 2余弦定理 2 2 2 a b c 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC ,222 b c a cos A 2bc 2 2 , 2 a c b cosB 2ac cosC 2 , 2 2 a b c 2ab 3. S abc absinC 2 1 S ABC 丄（a b c）r（ r是厶ABC内接圆半径） 4. 重要结论 (1) sin (A B) si nC cos(A B) cosC 2 (2) (3) tan (A B)tan

2、C .A BC sincos 22 A B . C cossin 2 2 ta nA ta nB tanC tan A?ta n B?ta nC 5. 考题分类 题型一：求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题 题型五：实际应用 、例题解析 【例1】已知 ABC中，2、2(si n2A sin2 C) (a b)si n B,外接圆半径为2，求 分析： 由 2,2(sin2 A sin2 C) (a b)sin B,得 2 2b 2 2( 吕)(a b)昙 4R4R2R 由于， R 2 , 代入并整理，得 2 a b2 c2 ab

3、 所以， cosC 2 a b2 2 c ab 1 2ab 2ab 2 所以，C -。 1 【例2】设 ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c，已知a 1.b 2.cosC - 二 sin A 4 (i)求 ABC的周长 (n)求cos A C的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能 解析：(i)： c2 a2 b2 1 2abcosC 1 4 44 4 c 2 ABC的周长为a b c 1 2 2 5. 1 (n). cosC, .2 15 sin C v1 cos2 C 吐 1 丄 4 V4 4 15 4 -15 2 8 asinC c /

4、a b , A B,故 A为锐角, 二 cos A1 sin2 A 7 8 7 1 15 、15 11 cos A C cosAcosC sinAsinC 8 4 8 4 16 1 【例3】在 ABC中，tanA, tanB 3 4 5 (I)求角C的大小; (n)若AB边的长为.,17，求BC边的长 解：(I) Q C n (A B), tanC tan (A 又Q0 C 冗， 3 5 1 n 4 5 C 3 C n. 4 B) (n)由 tan A sin2 A sin A cosA cos A 1 4 且A 1, n 0,_ 2 得 sin A 17 17 Q妲 si nC BC sin

5、 A BC AB sin C 根据下列条件判断三角形 ABC的形状: (1) 222222 tanB = b tan A ； (2) b sin C+ c sin B=2bccosBcosC (1)由已知及正弦定理得 2 sinB2 sinA (2Rs inA)= (2Rsi nB) cosBcosA 2sin AcosA=2s in BcosBsin 2A=si n2B 2cos(A + B)sin(A- B)=0 A + B=90 o 或 A - B=0 所以 ABC是等腰三角形或直角三角形 (1)由正弦定理得 2 2 sin Bsin C=sinBsinCcosBcosC / sin B

6、sin Cm 0, / sin Bsin C=cosBcosC, 即 cos( B + C)=0,二 B + C=90o, A=90o, 故厶ABC是直角三角形 B处 【例5】如图，海中小岛 A周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在 5 测得小岛A在船的南偏东300；航行30海里后，在C处测得小岛 A在船的南偏东60o。如 果此船不改变航行方向，继续向前行驶，有无触礁危险。 【解】过A作AD BC于D，由正弦定理易求得 AD 15、326 （海里） 20 （海里），所以继续航行没有触礁的危险。 【例6】已知圆内接四边形 ABCD的边长 AB 2, BC 6, CD DA 4，求四边形 ABCD

7、的面积。 【解】连结BD，则有四边形 ABCD的面积 S ABD S CBD 11 AB?ADsi nA - BC?DC si nC 22 A C si nA si nC S f(AB?AD BC ?DC)sinA 1(2 4 6 4)sinA 16sin A 9 由余弦定理，在 ABD中，得 2 2 2 BD AB AD2AB ? AD cos A 2 2 42 2 4 cos A 20 16 cos A 在厶CBD中， 2 2 2 BD CB CD 2CB ?CD cosC 2 2 642 6 4cosA 5248cosC 20 16cosA 52 48cosC cosA cosC 64

8、cos A 32 cos A sin A S 1638、3 2 解斜三角形训练题 、选择题 1. 在ABC中，已知a2 b2 bc c2, 则角 A为（C ) 2 亠2 A.B - C. D. 或 36 3 33 2. 三角形三边长分别为a, b,c , 且满足关系 (a b c)(a b c) 3ab, 则c的对角 是（C. ) A 15B. 45 C. 60 D. 120 3. （15年广东文科）设 C的内角， C的对边分别为 a, b , c 若 a 2, c 2 3， cos3，且 b c, 则b ( ) 2 A.,3 B. 2 C. 2 sin2 A cos2 B 1 - cos 2

9、a 2f cos B 1 其中正确的是(B.) A B. C. D 6.已知三角形的三边之比是 5:7: 8 , 则最大角与最小角之和为( B) A 90 B. 120 C. 135 D150 7. 2014 江西七校联考在厶 ABC 中，若 sin(A B)= 1 + 2cos(B+ C)sin(A+ C),则厶 ABC 的形状一定是() A 等边三角形 B 不含60的等腰三角形 C.钝角三角形 D 直角三角形 解：D 解析由题意得，1 + 2cos(B+ C)sin(A+ C) = 1 2cos Asin B，又 sin(A B) = sin Acos B cos Asi n B, n 所

10、以 sin Acos B + cos As in B= 1，即 si n(A+ B)= 1，所以 A+ B= y，故 ABC 一定为直 角三角形. 2 2 8 在厶 ABC 中，a ta nB b tanA ABC 是(D.) A等腰三角形B.等腰直角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 11 在厶ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 a, b, c,已知tanB= , tanC=,则tanC等 23 于 A . 1B. 1C. 2D. 2 、填空题 ABC中，已知,BC 3, AB 10, AB边的中线为7 ,则 ABC的面积是 15 3 2 2在厶 ABC中，若面积S 1 2

11、 2 2 (a b c )则 C的度数为 4 由，S 1 2 ,2 2、 (a b c ) 4 1 absin C 得 2 1 ?2ab?cosC abs in C 2 所以， cosC sinC 1 45 得, C 45 1 。 3.在厶ABC中，若 60 11 由 C 60，得 4.在 2 5.如图, DAB 90 , AD 简解: a2 b2 ab a(a a2 b2 c) b(b (b c)(a c) c) ABC 中，3sin A 4cosB 6 , 1 (可得 sin (A B) 在四边形 ABCD中， D 135 , AB 10, AC 16,CD 8(,3 1) ,BC 14

12、由正弦定理，得 ab 2 a ab 4sin B 8.2 , b2 ac bc bc ac c2 3cosA 1则 C的度数为 DAC 30 DCB 15 再由正弦定理，得 AD sin 15 曰 是, 亠，得 sin 135 AD 16.2?-6 4 8( . 3 1)。 在 ABC中,，应用余弦定理，得 22 2 1 2 BC2 102 162 2?10?16? 142 2 所以, BC 14 ABC 中, ABC 中, 匚 A 12 B C a 、- 3, cosA，贝y cos - 32 2 A 若sin BsinC cos ，则 ABC的形状是 等腰二角形 2 8.在 ABC 中,

13、sin A: sin B :sinC 5:7:8，则 B 的大小是( 3 A. 6 3 C. 4 5 D. 一 6 三、解答题 1 .在 ABC中, 已知 a 3 , b 2 , B=45 求 A、C 及 c 解：由正弦定理得：sinA逊B3sin 45空 V2 / B=45 90 即 ba A=60 或 120 当 A=60 时 C=75 C bsinC. 2 sin 7562 sin B sin 45 12 当 A=120 时 C=15 bsi nC 2 si n1562 sin B sin 45 c 2 2. 一海轮以20海里/小时的速度向东航行，它在A点时测得灯塔 P在船的北60o东,

14、 2小时后到达B点时测得灯塔P在船的北450东，求： （1）船在B点时与灯塔P的距离； （2）已知以点P为圆心，55海里为半径的水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行，有 无触礁为危险？ 解：如图：在MB卩中F厶巴4* =30上虫135 （2分） 由正弦定理得：茹产話 （琨分） ( (n)若 si nC sin( B A) 2s in 2A ,求 ABC 的面积. 人 _53 4 ABC 中，cos A, cos B .黑龙江 2008 135 (I)求sinC的值； (n)设BC 5，求 ABC的面积. 解： (i)由 cosA -，得 sin A 12 1313 由 cosB 3，得 sin

15、 B -. 5 5 所以 sinC sin(A B) sin AcosB cosAs in B 16 65 L 4 （n）由正弦定理得 AC BC sinB 5 513 sin A 12 3 13 所以 ABC的面积 S 1 -BC AC sinC - 5 13 16 8 . 10 分 2 2 3 65 3 （2008重庆） 设 ABC的 内角A , B , C 的对边分别为a,b,c.已知 bCCC舟 C/曰CC sin (2cos 2sin 1)0，由 sin 0 得 2cos 2sin 2 2 2 2 2 c2 a2 一 3bc，求: (I) A的大小； (n) 2si n BcosC sin( B C)的值 解：(I )由余弦定理，a2 b2 c2 2bc cos A, 故 cosA b2 2bc 3bc 3 2b?2 所以A - ( n ) 2sin B cosC sin(B C) 2sin BcosC (sin BcosC cosBsinC) sin BcosC cosBsinC sin（B C） sin（ A） .八1 sin A . 2 5.（江西17）（本小题满分12分） C 在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a , b , c，已知sin C cosC 1 s