(完整版)解三角形题型分类讲解

1、解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习1、正弦定理及其变形a b csin A sin B sin C2R (R为三角形外接圆半径)(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)abc(2) sin A ,sin B ,sin C(角化边公式)2R2R2R(3 a :b: c sin A:si n B :si nC(4)a sin A a sin A b sin Bb sin B c sinC c sinC2、正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a，b和A,求B时的解的情况： 如果sin

2、A sinB，贝U B有唯一解；如果sin A sinB 1，贝U B有两解;如果sin B 1，则B有唯一解；如果si nB 1,则B无解.3、余弦定理及其推论a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B2 2 2cab 2abcosCcosCb22 c2 a2bc222acb2ac2.22abccosAcosB2ab4、余弦定理适用情况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5、常用的三角形面积公式1 亠 (1 ) S ABC底咼；2111(2) S abc abs in C bcsi nA casi nB (两边夹一角).2 2 26三角形中常用结论(1)

3、a b c,b c a,a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(2) 在 ABC中，A B a bsi nA si n B (即大边对大角，大角对大边)cosC ；(3) 在厶 ABC 中，ABC ，所以 sin(A B) sinC ； cos(A B) tan (A B) tan C ./ 八 A B C A B(4) sincos , cos 2 2 2二、典型例题 题型1、计算问题(边角互换)在 ABC中，若si nA:s in B : si nC 3:5:7，则角C的度数为C -3Csin .2例1、答案:已知 ABC 中，A 60 , a 3，则 s sinB sin

4、C答案: 例3、在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=; b.求角A的大小；?答案：?题型2、三角形解的个数 例1.在AABC中，已知b=40,c=20,C= 60。，则此三角形的解的情况是()A.有一解 B.两解 C.无解D.有解但个数不确定例2.在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 ()A、a 7，b 14，A 30 ;B b 25，c 30，C 150 ;C b 4，c 5，B 30 ;D a . 6，b 、3， B 60。例3.在厶ABC中，bsinAv av b，则此三角形有A.解B.两解C.无解D.不确定例4,在 ABC中，a=x,

5、b=2, B= 45,若三角形ABCt两个解，贝U x的取值范围题型3、判断三角形形状例1在 ABC中，已知(a2 b2) sin(A B) (a2 b2) sin(A B),判断该三角形的 形状。答案：等腰三角形或直角三角形2 2 2例 2 ABC 中，sin A=sin B+sin 0贝9厶 ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形QQQQQQ例3. ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若一?=?=?则厶ABC sin ? cos ? cos ?为A.锐角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例 4.在 ABC 中，已知 3b = 2V

6、3?sin ?且 cos?= cos?角 A是锐角，J则 ABC 的形状是.例 5.在 ABC 中，若sin?= 2sin?cos?且 sin ? = sin? + sin ?,贝U ABC 的形状是.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为 边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式， 从而判断出三 角形的形状；(角化边)二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系， 通 过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系， 从而判断出三角形 的形状。(边化角)题型4、求范围或最值问题?例1、在锐角 ABC中，BC=1 B=

7、2A则；?的值等于,AC的取值范围为cos :例2、在 ABC中， A 60，BC=3，贝U ABC的两边 AC+AB的取值范围是 例 3、在 ABC 中，/ B 60 , AC= V3, , J则 AB+2BC 的最大值 例4、在 ABC中，/ B 60 , AC= V3 ,贝U ABC的周长的最大值为1例 5、A ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，且 acos?+2?= ?(1) 求角A的大小(2) 若a=1,求三角形ABC的周长I的取值范围.题型5、面积问题例1、 ABC的一个内角为1200，并且三边构成公差为4的等差数列，贝U ABC的面积为答案：15 v3例2设在

8、ABC的内角A, B,C所对边的长分别是a,b,c，且b=3，c=1， ABC的面积为 2，求cosA与a的值；例3：在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B -，cosA -,b . 33 5(I)求sinC的值；(U)求 ABC的面积.C的内角,C所对的边分别为a , b , c 向量?= (?y3?与?= (cos? si n?平行.(I)求；(II)若a 7 , b 2求 C的面积例5.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,cA 9且满足一-(1)求厶ABC的面积；(2)若c = 1,求a的值.例6.在锐角 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2

9、asinB= . :b.(I)求角A的大小；(U)若a=6, b+c=8,求厶ABC的面积.例 7: ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b ,c，已知 2cos C (a cos B+b cos A) c.(I) 求 C;3 J3(II) 若c ABC的面积为 空，求 ABC的周长.题型六、边化角，角化边注意点:换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC .(I)求角C的大小；2sin2B sin2A例2

10、在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a = 2b,则s 的值为.例3已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, asin A+ csin C 2asin C= bsin B.求B;(2)若 A= 75 b = 2,求 a, c.例4在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且0必 型B 竺Ca b c(I) 证明：sin AsinB sinC ；(II) 若 b2 c2 a26bc，求 tanB.5例5在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b+c=2acosB.（I）证明:A=2B;2（II）若厶ABC的面积S=，求角A的大

11、小.4例6 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a, b,（I）若a, b, c成等差数列，证明：si nA si nC（II）若a, b, c成等比数列，求cosB的最小值.题型七、三角变换与解三角形的综合问题4例 1.在厶 ABC 中，AC=6, cos?= - , ?=5（1）求AB的长c.2 sin A C ；?-（2）求cos（?-）的值变式练习.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.且bsin 2?= ?n?(1)求角C?3(2)若sin (?- 3)=-，求sin?的值2. 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且tan ?= 2 ,

12、tan ?= 3(1) .求角A的大小(2) 若c=3，求b的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且 ABC的面积为S,-? 2? (1)求sin?的值(2)若 C=4 ? 16 求 b 的值? ?变式练习 1.在锐角 ABC 中，向量 m = (cos (?+ 3) , sin (?+ -) , ?=(cos?sin ?,且?丄？(1) 求A-B的值3(2) .若cos?= 5,? 8,求?的长2. 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且m = (?- ? ?打?) ?= (? ? 且 ? /?(1) 求

13、B(2) 若b = VI3, cos(?+ 6) = ，求 a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例1.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c , a =b(sin ?+ cos?.(1).求/ ABC（2）若/A=n,D为三角形ABC外一点，DB=2, DC=1,求四边形ABC面积的最大值。变式练习.如图，在平面四边形 ABCD中，DA丄AB, DE=1, EC=7, EA=2,Z ADC =2?三，且/ CBE, / BEC, / BCE成等差数列.3(1)求 sin / ?(2)求 BE 的长4、如图，在梯形 ABCD中，已知 AD/ BC,AD=1,BD=J10，

14、/ ?tan /ADC=-2,求：（1） CD的长（2）三角形BCD勺面积课时达标训练1、在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c(1) .设?？?= ?求证三角形ABC是等腰三角形(2) .设向量 S=(2 sin?- V3), ?= (cos2? cos?,且？?/?旬n ?= 3,求3?sin (- ?)的值.32、在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 ab,a=5,c=6, sin ?= 5.(1)求b和sin?勺值QQ(2)求 sin (2?+ ?)的值3、在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c. a= m

15、bcos?为常数.(1) 若 m=2且cos?= ,求 cos?勺值；(2) 若m=4,求tan (? ?的最大值.4、如图，在梯形 ABCD中，已知 AD/ BC,AD=1,BD=V10，/ ?ta n / ADC=-2,求：(1) CD的长(2)三角形BCD的面积315、已知函数 f(x)=才？?2?0s?(1)求f (x)的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；(2)设 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a, b, c，且c=H ?= 0,若？?求?a,b 的值。6. 在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a, b, c，已知2cosB=2c-b.(1)若 cos(A+C

16、)=,求 cosC 的值；(2) 若b=5, ? -5,求三角形ABC的面积；(3) 若O是三角形ABC外接圆的圆心，且 吆?:?空?=?求?的值? ?解三角形基础练习1、满足A 45 , c 6 , a 2的ABC的个数为m，则am为_.2、已知a 5,b5.3 , A 30，解三角形。3、在ABC中，已知a 4 cm , bxcm , A 60，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()Ax 4B、0x4CC 4 x8、334、在ABC 中，若SSa2 b2c2),则角C45、设 R 是 ABC 外接圆的半径，且 2R(s in2 A sin2C) (.2a b)s in B ,

17、试求 ABC面积的最大值。&在 ABC中，D为边BC上一点，BD33 , sin B ，cos ADC13-，求 AD .57、在ABC中，已知a，b,c分别为角A,B,C的对边，若b聽，试确定ABC 形状。8、在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知cos A 2cosCcosB2c ab(1)求sin Csin A1若cosB 4，b 2,求abc的面积。1、 在 ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc ,且 sin A 2sin BcosC，贝U ABC 是A、等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形2、ABC中若面积S=-(a2 b2 c2)则角C43

18、、 清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面 上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为h m， 则清源山的高度为m。A hsin cosD h cos sinsi n()sin( )C hsin sinD h cos cossi n( )si n()4、ABC的三个内角为 A B、C，求当A为何值时，cos A 2cos-C取得最大2值，并求出这个最大值。5、在 ABC中，a,b,c分别为角 A B C的对边，且满足csi nA acosC(1) 求角C的大小(2) 求、.3s in A cos(B )的最大值，并求取得最大值时角 代B的大小。正弦

19、定理、余弦定理水平测试题一、选择题1 在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2 + c2 b2= , 3ac, 则角B的值为2已知锐角 ABC的面积为3 3, BC = 4, CA= 3,则角C的大小为A. 75 B. 60 C45D. 303. (2010 土海高考)若厶ABC的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 5 ： 11 ： 13,则厶ABCA 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为5. (2010湖南高考)在厶ABC中