数学建模论文

1、数学建模一周论文论文题目：乒乓球赛问题 姓名1： 胡月梅 学号： 1020630218 姓名2： 王淑琴 学号： 1020630224 姓名3： 沈方方 学号： 1020630232 专 业：电子科学与技术班 级：10206302指导教师：严兰兰2011年10月12日摘要我们就乒乓球比赛五局三胜方案进行了建模，当A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的，则5局比赛就是一个独立重复试验序列。 设是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，服从二项分布，再求得数学期望 ，要比较A，B两队实力的大小，可以比较两队在每一局比赛中获胜的平

2、均概率大小。矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是，那么，根据全概率公式，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的平均概率，再做定量的比较分析，对于A可以分为三种情况为A连胜三局，或在前四局A胜两局，最后又胜一局，或者在前四局中胜两局，最后又胜一局，把这三种情况加起来就得到五局三胜中A队最后胜利的概率得矩阵，矩阵中元素表示：当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。根据这个矩阵讨论两队采用不同的出场顺序的最坏情况即稳妥方案，其实，这是一个博弈论中的两人零和博弈问题，设A队以概率采用策略，由概率公式可知

3、，当B队采用纯策略时，求A队的得分（最后获胜概率），所以，整个问题就可以表示成一个线性规划问题，对于B队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述A队问题的对偶问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：B队采用策略的概率。关键字：独立重复事件 线性规划 出场顺序符号说明 表示A队选手的出场顺序（i=1，2，3）； 表示B队选手的出场顺序（j=1，2，3）； 表示A队每一局比赛获胜的概率； 表示A队在5局比赛中获胜的局数； 表示在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率； 表示当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率组成的矩阵；P 表示在9种不同的出场次序下A队每局获胜

4、的概率组成的矩阵； 表示A队以概率采用策略； 表示A队采用混合策略时，不管B队采用什么策略，A队的得分（最后获胜概率）;问题描述 自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。中国乒乓球老将王家声认为，规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广，有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利益。 11分制的实行，使比赛增加偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。“但这个偶然性应有个度”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。”乒乓球11分制利弊如何，是否会象羽毛球7分制一样实行不

5、久就取消呢？1试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析；2试对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析；3综合评价及建议 。乒乓球比赛11分制规定1 一局比赛中，先得11分的一方为胜方。10平后，先多得2分的一方为胜方。2 一场比赛单数局组成。在获得每2分之后，接发球方即成为发球方，依此类推，直至该局比赛结束，或者直至双方比分都达到10分或者实行轮换发球法，这时，发球和接发球次序仍然不变，但每人只轮发1分球。3一局中首先发球的一方，在该场下一局应首先接发球。一局中，在某一方位比赛的一方，在该场下一局应换到另一方位。在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。

6、4 当球停放在选手张开和伸平的手掌内时，才可以进行发球。 从球离开运动员手掌的那一刻到球被击中，球都应该在球台平面的高度之上和在发球选手的端线之后。 5 当球被击中时，发球选手或他的双打队友的身体与衣服的任何部分都不能在球与网之间的范围内。 此项目的是：防止在接发球选手视线以外的隐蔽式发球。6 发球一方只要没有发过（包括漏发）都算对方得分。 问题分析（1）、对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满

7、5局A队可胜局。由此得矩阵如下：（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？首先要弄清楚：矩阵中的元素到底表示什么意思？是不是表示：如果A队以次序出场而B队以次序出场，A队在5局中可以百分之百保证一定会胜局？显然不是这个意思，比较合理的看法，应该认为它只是对A队平均获胜局数的一个估计。在我们做实验或观察事物时，往往存在着随机现象，其结果可能是很多结果中的一个，而不能在试验前或观察前

8、完全进行预言或确定。在我们无奈数学建模过程中经常遇到随机现象，所谓初等概率法就是利用初等概率的相关知识来对随机现象进行研究的方法。初等概率法是建立在古典概率、几何概率和统计概率基础上的。根据大数定律，在无穷多次独立试验下，具有有限散度的随机变量X观测值的算术平均值X在概率上收敛于此随机变量的数学期望E(X)；事件A出现的频率则在概率意义上收敛于时间A发生的概率P(A)。在已知事件B法伤的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)，就是在重复的试验中，当B发生时事件A发生的概率。如果我们直观地把B的频率P(B)当做事件B发生的概率，把事件A、B同时发生的概率P(A|B)看作是事件AB发生的频率，那

9、么P(A|B)看成是事件AB发生的频率，那么P(A|B)的初等定义为P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B)0当A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。 设是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，服从二项分布，概率分布为， 。容易求得它的数学期望为 。 如果我们认为矩阵中元素给出的数据，不是完全确定的结果，而是估计A队在5局比赛中平均获胜的局数，则有 。这样，就可以得到的估计值 。对应于矩阵，我们可以得到这样一

10、个矩阵 。要比较A，B两队实力的大小，可以比较两队在每一局比赛中获胜的平均概率大小。矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是，那么，根据全概率公式，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的平均概率 ，这个概率超过了，也就是说，从每一局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。 以上是从每一局比赛获胜概率的大小来比较实力，但是，比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。（2）、1分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析 A队最后获胜，可以分成下列几种情况：（1）A队连胜三局。这种情况的概率为 ；（2）在

11、前三局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ；（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。根据以上公式，从矩阵 出发，可以计算出这样一个矩阵 。矩阵中元素表示：当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率）。如果两队都随机排阵，9种出场次序出现的可能性相等，都是，根据全概率公式，就可以算出A队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率 。 这个数字大于，同样也说明A队的实力比较强。 下面来看，如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？什么是“稳

12、妥的方案”？我们的理解是：所谓“稳妥的方案”，就是对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。从矩阵 （其中的元素，是A队获胜的概率，也是B队失败的概率）可以看出：对于B队来说，采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序，B队失败概率为；采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序或，B队失败概率为；采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序或，B队失败概率为。3个失败概率中，为最小，所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序。对于A队来说，采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场

13、次序，A队获胜概率为；采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为。3个获胜概率中，为最大，所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序或。那么，A队到底采用还是呢？如果A队预料到B队一定会采用最稳妥的出场次序，那么，这时A队采用，获胜的概率只有，A队采用，获胜的概率就会有，当然，A队应该采用。但是，如果B队又预料到A队会采用，那么，B队就不会采用失败概率为的，而是应该采用失败概率更小（失败概率为）的。 如果A队又预料到B队会采用，A队又会改变出场次序。这样的推理，可以无穷无尽地进行下去。其实，这是一个博弈论中的两人零和博弈问题。

14、A队可以采用的3种出场次序，是A队可以采用的3种策略；B队可以采用的3种出场次序，是B队可以采用的3种策略。矩阵是A队的得分矩阵，也是B队的失分矩阵（支付矩阵）。 当博弈的双方都只采用一种固定的策略（称为纯策略）时，两人零和博弈问题要得到一个稳定的解，矩阵中必须有一个鞍点（Saddle Point），即在同一列中取到最大值、又在同一行中取到最小值的元素。在矩阵中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可能有一个稳定的纯策略解。但是，在这种情况下，可以考虑混合策略解。所谓混合策略，就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以某种概率混合采用各种策略。设A队以概率采用策略。因为是概率，所以必须满足，。设是

15、A队采用这种混合策略时，不管B队采用什么策略，A队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值。由全概率公式可知，当B队采用纯策略时，A队的得分（最后获胜概率）为 ， 。因为是A队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有 ， 。 容易看出，只要上述不等式成立，当B队以某种概率混合采用各种策略时，A队的得分同样也可以保证大于，所以不必另外再列式子了。 A队的目标，是要使得这个能够保证的最小得分达到最大，所以，整个问题就可以表示成一个线性规划问题：目标函数 约束条件 。 解这个线性规划问题，可以求得：A队采用策略的概率应该分别为，当A队采用这种混合策略时，A队能够保证的获胜概率为 。 对于B队

16、，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述A队问题的对偶问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：B队采用策略的概率应该分别为，当B队采用这种混合策略时，B队能够保证的获胜概率为 。 混合策略是以一定的概率混合采用各种策略，但是实际上，在一次具体的比赛中，必须取定其中的一种策略，到底取那一种呢？这又是一个值得研究的问题。（3）、乒乓球11分制的利弊的综合评价及建议 由本模型可以看出11分制是可以接受的。因为它使比赛的“偶然性”增加，使比赛更加惊险，优势选手与稍弱的选手之间的竞技更具悬念性，二三流选手打败一流选手进入决赛的可能性更大，更能吸引观众。既然二三流选手有了更大的可能击败一流选手进入决赛

17、，那么他们必然会打得更加勇敢，更加尽心尽力，因为结果不再像以前那样“必败无疑”，所以信心增加了，且也无什么心理压力，斗志更盛；另一方面，一流选手落败的可能性也变大了，他们知道此时不能再像以前一样，能十拿九稳地获胜，因为21分制下就算是输了先手在后阶段还可补救，但现在11分制下就不可能了，于是打球也会更尽力，心理上就丝毫也不敢放松、马虎了，每一球都力求打败对手，否则自己很可能处境将会非常狼狈，甚至会被淘汰出局。于是比赛双方就会殊死对抗，全力以付，浑身解数了，比赛会因此会变得更加激烈，更加精彩。也就是说“有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛”；比赛更吸引人。同时21分制改成11分制后赛程的缩短也不会

18、使观众因长时间观看而感到过度疲倦，乏味，于是更多的观众会观看这些相对更惊险的比赛。同时因为比赛偶然性的增加，也使的更多弱势选手，乒乓球爱好者跃跃欲试，更勇敢地加入到比赛的行列中去，同时这些爱好者还会把身边的亲朋戚友也拉入这一运动行列中来，而亲朋戚友们见这种运动是这么多人喜爱的，且比赛是非常精彩，可赏性相当高，也就当然愿意加入了。可见“运动就是这样推广开去的”。观众的增加，和人们对此项运动的热爱的增加，将更有利于乒乓球市场的开发，乒乓球相关产品的销量将更加大，会有更多的商家加入乒乓球相关的行业，使乒乓球的产品品种将更丰富，品牌间竞争将更大，产品质量将更加高，相关服务行业也将更加兴旺。赞助商们的投

19、入也回得到更大的回报，其产品，企业知明度将有所上升，更有利于赞肋商们的利益。同时，更多的商家会注意到这个“广告”是值得做的，于是就会竞相出资出力赞肋，在这种竞争下，将更有利于，乒乓球赛事办得更好，更精彩。可见两者是相互促进的，互惠互利的。 但利弊是相对的，相生的，有利必有弊。11分制也会因其赛程太短，使得选手心理压力更大，2球一换使一些对发球依赖较大的老队员不得不提前退役。但是这些问题我们都可以克服的，选手们会很快地适应这些变化的。 建议选手们应加强锻炼，积极适应新的规则决定胜负的还主要是技术方面的因素，但同时也应加心理素质，减少心理方面对比赛造成的负面影响。总体来说11分制利大于弊，是可行的，值得推广的，而不会像羽毛球7分制一样实行不久就取消。（4）、虽然比赛分为五场三胜制，而矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，着用的数据处理方式存在着优缺点。优点1、矩