三角形(符必轲

1、三 角 形一、三角形的边与角1、主要定理三角形内角和定理：三角形三内角的和等于180；外角定理：三角形每一个外角等于和它不相邻的两内角的和；不等定理：若三角形中的两边不等，则两边所对的角也不等，大边所对的角较大；不等定理的逆：若三角形的两角不等，则两角所对的边也不等，大角所对的边较大。2、角的证明与计算证明的主要内容：角的相等，角的互余（或互补），角的和、差、倍、分的等量关系；证明明与计算通常所用的主要知识：三角形（或多边形）的内角和定理；全等三角形、相似三角形的性质定理；共点圆的知识；三角形“五心”性质、尤其是外心、内心、垂心对于一边的张角公式；3、举例例1：在ABC中，O为内心，点E、F都

2、在大边BC上，已知BF=BA，CE=CA，求证：EOF=B+C。讲解：如右图证一：利用三角形内角和定理及等腰三角形性质证明；证二：利用三角形内心性质和等腰三角形性质证明。例2：在锐角ABC中，AB为大边，AC为小边，O为外心，H为垂心，证明：OAH=C-B。讲解：如右图利用垂心的性质及外心对于一边的张角公式和三角形内角和定理证明（另外还可以推得锐角三角形外心、垂心关于角的一个有用关系OBHOCH=OAH）。例3：在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC、DC于F、E，O是CEF的外心，求证明ABC=2OBD。讲解：如右图利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外心的性质证明。例4：

3、在ABC中，A=70，点I是内心，已知AC+AI=BC，求B的度数。讲解：如右图利用三角形内心性质及等腰三角形性质进行计算。例5：两个等腰三角形的顶角互补，一个三角形的边长a、a、b（ab），另一个三角形的边长b、b、a，求它们的内角的度数。讲解：将两个三角形拼成右图形状，利用等腰三角形性质计算。二、三角形的全等1、全等三角形的性质；2、全等三角形的判定：定理：两个三角形如果满足下列条件，则两个三角形全等两边及夹角对应相等；两角及夹边对应相等；三边对应相等。另补充：1如果两三角形有两角及其中一个角的对边对应相等，则两三角形全等； 2如果两三角形有两边及其中大边的对角分别对应相等，则两三角形全等

4、。证明：如右图，设AB=AB，AC=AC，且ACAB、B=B，若BCBC，不防设BCBC，于是在BC上取一点C，使B C= BC，则ABCABC，由题设知AC= AC= A C，C=ACC，在ABC中，ACCB，从而CB，于是ABAC，与题设ACAB矛盾，所以BC= BC，即C与C重合，故ABCABC。推论：1在三角形中，等边对等角，等角对等边（见等腰、等边三角形）； 2等腰三角形两腰上的高、中线及两底角的平分线相等； 3若三角形的两高、两中线、两角平分线相等，则是等腰三角形。补充定理：若两三角形有两边相等而第三边不等，是第三边所对的角也不等，大边所对的角较大；若两三角形有两边相等而夹角不等，

5、则夹角的对边也不等，夹角大的对边较大；两直角三角形的斜边相等而一锐角不等，则不等锐角所对的边也不等，大角所对的边较大；等腰三角形的底边上的中线、高线及顶角的平分线共线。证明：两中线相等的三角形等腰，如右图，设BE=CF，G是重心，连结AG并延长交BC于D，AD也是BC边上的中线，若ABAC，不妨设ABAC，则ADBADC，在GBD和GCD中，BGCG，即BECF，BECF，与题设BE=CF矛盾，反之，若ACAB，同样证得CFBE，也与题设BE=CF矛盾，所以AB=AC。3、全等形的证明及相关知识的应用（略）；4、三角形的巧合点（五心）：外心：三角形三边中垂线交于一点外心（证明略）。简单性质：1

6、三角形外心到三顶点的距离都等于三角形外接圆的半径；2三角形外心对于边的张角等于该边对角的2倍；3三角形外心是其中点三角形的垂心，反之亦然。垂心：三角形三边上的高线交于一点垂心（证明略）。简单性质：1三角形的垂心、三高线足和三角形的顶点分别构成三组四点共圆；2三角形的垂心到顶的距离是外心到对边距离的2倍；3三角形的垂心是其垂足三角形的内心或旁心。内心：三角形三内角平分线交于一点内心（证明略）。简单性质：1内心到三边等距；2设I是ABC的内心，联结AI并延长交ABC的外接圆于另一点M，则MI=MB=MC；3设I是ABC的内心，则BIC=90+A CIA=90+B AIB=90+C4欧拉公式：ABC

7、的内心为I，外心为O，设R、r分别是ABC的外接圆与内切圆半径，则OI2=R2-2Rr。旁心：三角形一内角平分线与不相邻的两外角平分线交于一点旁心（证明略）。简单性质：1三角形的内心与旁心能构成三组三点共线和三组四点共圆；2旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线；3设IA、IB、IC分别是ABC的三个旁心，则BIAC=90-BAC CIBA=90-CBA AICB=90-ACB4旁心与三角形的半周长联系密切（如右图）。重心：三角形三条中线交于一点重心。讲解：如右图，设BE、CF是ABC的两条中线，延长CF至H，使FH=FG，连接AG并延长交BC于D，利用平行四边形的性质及三角形中位线相关知识证

8、明。简单性质：1重心到对边的距离等于重心到顶点的；2三角形的中点三角形将原三角形分成四个相似三角形，其面积等于原三角形面积的四分之一；3中点三角形的顶点在垂足三角形的外接园周上。5、欧拉线：任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线，并且=。6、举例：例6：设ABC的内心为I，联结AI与ABC的外接圆O交于另一点E，AE与BC相交于点D，设R、r分别是ABC的外接圆、内切圆半径，求证：E为BCI的外心 AD*AE=AB*ACAI*IE=2Rr OI2=R2-2Rr证明：如右图， 连结BE、CE，因为BE=CE=EI，所以E为BCI的外心；因为ABDAEC，所以，AD*AE=AB*AC；过I作I

9、FAC，垂足为F，则IF=r，联结EO并延长交O于J，联结JC，则RtAFIRtJCE，所以，AI*CE=JE*IF，又由知CE=IE，JE=2R，IF=r，所以AI*IE=2Rr；设直线OI与O相交于点M、N，由和相交弦定理，2Rr=AI*IE=IM*IN=（R+OI）（R-OI）=R2-OI2，所以OI2=R2-2Rr。例7：ABC中，A90，ABAC，高线BE、CF交于H，O为ABC的外心，且AO=AH，BAC的平分线AD所在的直线交BE、CF的延长线于M、N，求证：HM=HN。例8；直角三角形中，直角的平分线平分斜边上中线和高线的夹角。例9：锐角三角形的高和垂心到顶点线段的乘积之和等于

10、三角形各边平方和的一半。例10：关于三角形各边分别与垂心对称的三个点都在三角形的外接圆上。例11：设D、E、F分别是正ABC三边上的三等分点，如右图，若ABC的面积为S，求GHI的面积。解：连接AG，容易证明ABDBCEACF，AFHBDICEG，设HIG的面积为x，AFH的面积为z，四边形BIHF的面积为y，已知 ，又=2即=2，y=5z，与方程组联立求得数x=。例12：三角形的高和侧边的夹角等于顶点与外心连线和侧边的夹角。例13：以三角形ABC的三边为底边分别向外作正三角形，证明这三个三角形的外接圆共点。例14：在三角形中，证明：若边长小于、等于或大于该边上中线的2倍，则该边的对角应为锐角

11、、直角或钝角。例15：等边三角形内一点到三边的距离之和为定值。例16：设G是ABC的重心，延长BG、CG分别至E、F，使GE=2BG，且GF=2CG，求证A、E、F三点共线。例17：设O是正三角形ABC的中心，证明BO、CO的中垂线必三等分BC。例18：设O是ABC的外心，则BOC=2A或360-2A。例19：设H是ABC的垂心，则BHC=180-A或A。例20：从ABC的边BC的中点作A的平分线的垂线，那么这条直线将AB、AC分成两条线段，分别等于和（ABAC）。例21：在ABC的两边AB、AC上向外作正方形ABDE和ACFG（D和F是A的对顶点），证明：线段EG垂直于从点A所引对边的中线，

12、并且等于中线的2倍；以E、A、G为顶点的平行四边形的第四个顶点I在由点A所引三角形的高线上；CD、BF分别垂直于BI、CI，并且也交于由点A所引三角形的高线上。例22：三角形任意两条高线足的连线与三角形另一顶点和三角形外接圆心的连线相互垂直。例23：已知三角形两底角的差等于90，求证：顶角的内角平分线和外角平分线相等。三、三角形的相似1、比例线段定理：一组平行线截两直线，截得的线段对应成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的线段对应成比例，其逆成立。定理（角平分线定理）：三角形的内（外）角平分线，内（外）分对边所得两条线段与三角形的两邻边对应成比便（外分时，三角形其夹角的两边不等

13、），其逆成立。2、相似三角形相似三角形的性质；相似三角形的判定。定理：两三角形满足下列条件之一，两三角形相似：1三角形的两角分别对应相等；2两条对应边分别对应成比例且夹角相等；3三条边分别对应成比例；4两双对应边分别成比例且其中大边所对的角相等；5对应边分别平行；6对应边分别垂直。定理：两直角三角形若具备下列条件之一，两直角三角形相似：1一锐角对应相等； 2勾股成比例；3弦勾或弦股成比例。推论：1相似三角行 的对应高、对应中线、对应角平分线成比例；2相似多边形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方；3边数相同的正多边形相似，它们的外接圆半径或边心距的比等于它们的相似比。3、勾股定理：勾2+股

14、2=弦2定理：在直角三角形中，1弦的高是勾股在弦上射影的比例中项；2勾或股各是它们自己在弦上射影与弦的比例中项；3勾股的平方之比等于它们在弦上的射影之比。推论：1在ABC中，一设CDAB于D，则BC2=AB2+AC2-2*恒成立。2三角形的一角是直角、锐角、钝角，该角对边的平方等于、小于或大于其它两边的平方和，共逆成立。3平行四边形四边平方的和等于两对角线的平方和。4、举例例24：勾股定理证一：证二：例25：设ABC的边长AB=c，BC=a，AC=b，满足a2=b2+bc，证明A=2B简证：由a2=b2+bc=b（b+c），联想圆幂定理，延长CA到D，使AD=AB=c，由切割线定理的逆易知BC是圆的切线，CD是圆的割线，又由弦切角定理：ABC=D=ABD，BAC=D+ABD=2D=2ABC，所以A=2B。例26：设M是三角形外接圆上的任意一点，求证：M点到三角形任一条边上的距离和它到该边所对顶点距离的积都相等。例27：如果两直角三角形面积之比等于它们斜边的平方比，则两三角形相似。例28：ABC中，BC边的中垂线和A的平