圆切线证明的方法

1、切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.切线的性质定理的推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出 过这一点的半径，证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知AB为。O的直径，点D在AB的延长线上，BD= OB 点C在圆上，/ CA圧30o求证：DC是O O的切线.思路：要想证明DC是O0的

2、切线，只要我们连接0C证明/OCa90o即可.证明：连接OC BC. AB 为O O 的直径，/ AC圧 90o.1CAB= 30o, BC= AB= OB 2/ BD= OB BC= ODOCD= 90o.2 DC是O O的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切 线.【例2】如图2,已知AB为OO的直径，过点B作OO的切线BC,连接OC 弦AD/ OC求证：CD是OO的切线.CB图2思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线 是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理， 又

3、要运 用圆的切线的判定定理.欲证明CD是OO的切线，只要证明/ ODC =90o即可.证明：连接ODOC/ AD / 1 = / 3，Z 2=Z 4.T 0A= OD :丄 L 2.Z 3= / 4. 又 04 od oc= oc 0BC2AODCZ OBZ ODCt BC是O O 的切线,OB( 90o.Z OD 90o.DCO O的切线.【例3】如图2,已知AB为。0的直径，C为。0上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为 D.求证：AC平分Z DAB思路：利用圆的切线的性质一一与圆的切线垂直于过切点 的半径.证明：连接0Ct CD是O 0 的切线，二 OCL CDt AD丄CD 二

4、0(/ AD. Z 1 Z 2.T 0( 0A Z 1 Z 3.Z 2Z 3.AC平分Z DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的.在解决 有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 切线.【例4】如图1, B C是O0上的点，线段AB经过圆心0,连接AC BC，过点C作CDL AB于D,Z AC=2Z B. AC是O 0的切线吗为什么解：AC是O 0的切线.理由：连接0(T OC=OBZ OCBZ B.TZ CO是 BOC的外角，Z CODZ OC+Z B=2Z B.TZ AC=2Z B，Z ACDZ CODt CDL AB 于 D,Z D

5、COZ C0D900.Z DCOZ ACD900.即 OCLACt C为O 0上的点，AC是O 0的切线.【例5】 如图2,已知00是厶ABC的外接圆，AB是OO的直径，D是AB的 延长线上的一点，AELDC交DC的延长线于点E,且AC平分Z EAB求证：DE是 O 0的切线.证明：连接oc则o/=oq:丄 CAO/ ACO AC平分/ EAB/ EA(=Z CAO/ ACO, AE/ CO又AE丄DE COL DE DE是。O的切线.二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段 证明此垂 线段的长等于半径【例6】 如图3 , AB=A( OB=O( O O与AB边相切于点D.证明

6、 : 连接 OD 作 OELAC 垂足为 E AB=ACOB=OC AO为/BAC角平分线,/ DAO/ EAOvO O与AB相切于点D,/ BDO/ CEO90.v AO=AO ADO2AAEO 所以 OE=ODv OD是O O的半径, OE是O O的半径.O O与AC边相切.【例7】 如图,在厶ABC中 , AB=A(以AB为直径的O O交BC于D,交AC于E ,B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与OO相切.证明： 连结 OE AD.v AB是OO的直径, ADL BC.又 v AB=B(/ 3=/ 4.BD=DE / 仁/ 2.又 v OB=OE OF=OF BOFA EOF(S

7、AS ./ OBF=/ OEF.v BF与OO相切, OBL BF./ OEF=900. EF与OO相切.说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O0相切.证明一：作直径AE连结EC. AD是/ BAC的平分线，/ DABM DAC. PA=PD二/ 2=Z 1+Z DAC.vZ 2=Z B+Z DAB1 = / B.又/ B=Z E,/ 仁/ Ev AE是。O的直径， AC丄 EC，Z E+Z EAC=90/ 1 + Z EAC=90 即 OAL PA. PA与OO相切.证明二：延长AD交O 0于E,连

8、结OA OE.v AD是Z BAC的平分线， BE=CE OEL BC.Z E+Z BDE=90v OA=O，EZ E=Z 1.v PA=PD，Z PAD=Z PDA.又 vZ PDAZ BDE,Z 1+Z PAD=900即 OAL PA. PA与O O相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用【例9】如图，AB=AC AB是OO的直径，O O交BC于D, DMLAC于M 求证：DM与O O相切.证明一： 连结 OD.v AB=AC，:丄 B=Z C.v OB=O,/ 仁/ B./ 仁/C.OD/ AC.v DML AC DML OD. DM与O O相切证明二：

9、连结OD AD.v AB是OO的直径， AD丄 BC.又 v AB=AC, Z 仁/2.v DML AC, Z 2+Z 4=90v OA=OD Z 1=Z 3. Z 3+Z 4=90.即 ODLDM. DM是O O的切线.证明二是通过证两角互余证明垂说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 直的，解题中注意充分利用已知及图上已知【例10】如图，已知：AB是O O的直径，点C在O O上,且Z CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上.求证：DC是O O的切线证明：连结OC BC.v OA=OC Z A=Z 1 = Z 30. Z BOCZ A+Z 1=600.又 oc=o, OBC是等边三角形

10、-OB=BC.DvOB=BDOB=BC=BD.OCL CD. DC是OO的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好【例12】如图，AB是。O的直径，CDL AB且oA=OD OP.求证：PC是OO的切线.证明：连结OCv oA=od OP OA=OC oC=od opOC OPOD OC .又v/仁/ 1, OCP ODC./ OCP/ ODC.v CDL AB/ OCP=90 PC是oo的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于 F.求证：。丘与厶CFG勺外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，

11、但 CFG是直角三角形，圆心在 斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O,连结OC证明CE!OC即可得解.证明：取FG中点O,连结OC.v ABCD是正方形， BCL CD CFG是 RtV O是FG的中点，O是Rt CFG的外心.V OC=O，G:丄 3=Z Gv AD/ BC,/Z G=Z 4.v AD=CD DE=DE，Z ADE=Z CDE=405， ADEA CDE( SAS/Z 4=Z 1，Z 1=Z 3.vZ2+Z3=900,/Z 1+Z 2=900.即 CEL OC.。丘与厶CFG的外接圆相切二、若直线I与。0没有已知的公共点，又要证明I是。O的切线，只需作 OALI，A为垂足，

12、证明0A是O 0的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】 如图，AB=AC D为BC中点，。D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE作DFL AC，F是垂足.v AB是。D的切线，/ DEL AB.v DFL AC，/Z DEB=Z DFC=900.v AB=AC，/Z B=Z C.又 v BD=CD BDEA CDF(AAS/ DF=DE. F 在O D上. AC是。D的切线证明二：连结DE AD,作DF丄AC, F是垂足. AB与。D相切， DEL AB. AB=AC BD=CD/ 仁/ 2. DEL AB, DFL AC, DE=DF. F 在O D 上. AC与O D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DB的,证明二是利用角平分线 的性质证明DF=DB的,这类习题多数与角平分线有关.【例15】 已知：如图,AC, BD与OO切于A、B ,且AC/ BD,若