武汉理工大学固体物理答案

1、一、名词解释：1、晶体：是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的，具有周期性和对称性。2、非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性。3、点阵：格点的总体称为点阵。4、晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格5、格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。6、晶体的周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。7、晶体的对称性：晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称、面对称、体心对称即点对称）。8、密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的 Miller 指数

2、9、倒格子：设一晶格的基矢为 a1 ， a2 ， a3 ，若另一格子的基矢为 b1 ，b2，b3 ，与 a1 ， a2 ， a3 存在以下关系： bi a j= 2pd ij2pi = j= i j(i,j=1,2,3)。则称以 b1， b2， b3为基矢的格子0是以 a1 ， a2 ， a3 为基矢的格子的倒格子。（相对的可称以 a1 ， a2 ， a3 为基矢的格子是以 b1 ， b2 ，b3 为基矢的格子的正格子）。10、配位数：可以用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数。11、致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度。12、固体物

3、理学元胞：体积最小的晶胞，格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只包含一个格点。是反映晶体周期性的最小结构单元。13、结晶学元胞：格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数、点阵常数或晶胞常数；体积通常较固体物理学元胞大。反映晶体周期性和对称性的最小结构单元。14、布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。（Bravais 格子）15、复式格子：晶体由两种或两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布喇菲格子，这些布喇菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子。复式格子

4、是由若干相同的布喇菲格子相互位移套购而成的。16、声子：晶格简谐振动的能量化的，以 hvl 为单位来增减其能量， hvl 就称为晶格振动能量的量子，即声子。17、布洛赫波电子在晶格的周期性势场中运动的波函数是一个按晶格的周期性函数调幅的平面波。18、布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为 Brillious 区19、格波：晶格中各原子在其平衡位置附近的振动，以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。20、电子的有效质量：是一种表观质量，并不意味着电子质量的改变，是由于周期场对电子运动的影响，使得导带底

5、和价带顶的能量不一样，得出导带底和价带顶的电子有效质量不一样。m*=2 d 2 EdK 2二、计算证明题1. 晶体点阵中的一个平面 hkl ，试证：（1）晶格的两个相邻平行平面（这些平面通过格点）之间的距离为d=2p此处 K = h b + k b + l ；b（ 2 ）利用上述关系证明，对于简单立方格子 ，hkl| K |123d = a式中 a 为晶格常数；（3）说明什么样的晶面容易解理，为什么？h 2 + k 2 +l2证明：（1）设有某个晶面通过三个基矢的一端，把基矢分别截成 h，k，l 个相等的小段，则最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距分别为 a1/h，a2/k，a3/l，同族的其它晶

6、面的截距为这组最小截距的整数倍。因而这族晶面的面间距即为原点到 ABC 晶面的距离。也即某一方向矢量在倒格矢上的投影。即： d=aK=a1 ( hb1 + kb2 + lb3)=2p1hklhKhKK= a i2p iab=11a= a j2p j（2），对于简单立方有a 2b2=a= a ka3b=2p k3a有： K= hb + kb+ lb =2phi +2pkj +2plk ，所以：h123aaad=aK h=a ( hb1 + kb2 + lb3 )=2p h=ahklh2p hKh222(h )+ ( k )+ (l)2p 2 2p 22p2(h )+ ( k )+ (l )2h

7、h + k + l aaaa （3）对于一定的晶体，原子的体密度是一定的。由 d hkl 表达式可以看出面指数（h, k, l）简单的晶面族，其 d hkl 比较大，所以原子的面密度较大，而 d hkl 大的晶面间结合较弱，所以易解理。2、金刚石晶胞的立方边长为 3.56 10-10 m ，求最近邻原子间的距离、平均每立方厘米中的原子数和金刚石的密度。（碳原子的重量为1.99 *10-23 g）解：金刚石结构是由两个面心立方点阵沿对角线方向平移体对角线长度的 1/4 套构而成。空间对角线上的原子与最近的立方体顶角上的原子之间的距离便是金刚石结构中原子的最近距离，若用 R 表示，则R =1a =

8、3 3.56 = 1.54 10-10 (m)344金刚石结构中每个晶胞包含 8 个原子，所以每立方厘米中的原子数8= 1.77 1023 (cm -3 )n = (3.56 10-8 )3由于碳原子的重量为1.99 *10-23 g，因此金刚石的密度r = 1.99 *10-23 *1.77 *1023 = 3.52(g.cm-3 )3. 试证：在晶体中由于受到周期性的限制，只能有 1、2、3、4、6 重旋转对称轴，5 重和大于 6 重的对称轴不存在。如图所示，设有一个垂直于转轴的晶面， B1 ABA1 是该晶面上的一个晶列。格点间最短距离为 a ，基转角为q 的转轴垂直晶面并过格点 A，B

9、 是与 A 相邻的另一格点。当绕通过格点 A 的转轴顺时针方向转动角度q 时， B1 转至点 B 的位置， AB = a 。既然转动不改变格子， B 处必定原来就有一格点。由于格点 B和 A 完全等价，转动也可以绕 B 并沿逆时针方向进行。当绕通过 B 的转轴逆时针转动角q 时， A1 格点转至 A 的位置， BA = a ， A 处原来也必有一格点。显然， BA/ AB ，因而 BA 的距离必然是格点间距 a 整数倍，即 BA = ma （m 是正整数）。其次，由图中的几何关系可知，BA 于是得B A = a + 2a cosq = (1 + 2 cosq )am = 1 + 2 cosqm

10、 -1Ncosq =B1ABA122因为 m 为整数，N=m-1 也必为整数。由于 -1 cosq 1N 的取值范围只能是- 2 N 2因此，以表示旋转轴的重数，对可能的旋转轴重数可列表如下：Ncosqqn-2-11802-1-1/212030090411/260621360或 01所以，只有 1、2、3、4、6 重转轴，5 重或大于 6 重的旋转对称轴是不存在的。4、晶体点阵中的一个平面 hkl.（a）证明倒易点阵矢量 G = hb1+ kb2+ lb3 垂直于这个平面。（b）证明正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数证明：(a) 一族晶面（h1，h2，h3）中最靠近原点的晶面 ABC 在基

11、矢a1 ， a2 ， a3 上的截距为 a1/h1，a2/h2，a3/h3，则：CB0ACA= OA- OC = a1 / h1- a3 / h3CB= OB- OC = a2 / h2- a3 / h3 则： K h CA =(h1 b1+ h2 b2+ h3 b3 ) (a1 / h1- a3 / h3 ) = h1 b1 a1 / h1- h3 b3 a3 / h3= 0 K h CB = (h1 b1+ h2 b2+ h3 b3 ) (a2 / h2- a3 / h3 ) = h2 b2 a2 / h2 - h3 b3 a3 / h3 = 0故 K h 同 ABC 晶面上的 CA ，C

12、B 两条相交直线正交，则 K h同 ABC 晶面正交， K h 同晶面族（h1，h2，h3）正交（垂直）。 2p a2 a3 2p a3 a1 2p a1 a2(b) （利用 b=， b=， b=）1W2W3W) (a a ) (a a3112W* = b (b b )=(a a) (2p )331232W3 应用公式： A B C= A C B- A BC ，得到： (a3 a1 ) (a1 a2 ) = (a3 a1 ) a2 a1-(a3 a1 ) a1 a2= W a133(a3 a1 ) (a1 a2 )则： W* = (a2 a3 ) (2p )3=(a2 a3 ) W a1 (2

13、p )=(2p )W3W3W5. 证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。证：aa=( j+ k )12a面心立方格子基矢：a2=(k+ i )2aa3=( i+ j )2 2p a2 a3 2p a3 a12p a1 a2 =利用公式： b， b， b1W2W3W2pb=(- i+j + k )1a2p可求出其倒格子基矢为： b2=( i-j+ k )a2pb=( i+j- k )3aaa=(- i+j + k )12a体心立方格子基矢：a2=( i - j + k )2aa3=( i+j- k )22pb=( j + k )a1=2p利用公式可求出其倒格子基矢为：b2a( k+ i

14、)2pb=( i+ j )a3所以体心立方格子与面心立方格子互为正倒格子。6. 在六角空间格子中选取一平行六面体为原胞，试求：（1）基矢 a1 , a2 , a3 的表示式；（2）原胞的体积；（3）倒格子基矢 b1, b2, b3 。解：=3a+aa1ij22= -3a+a（1）作图，并由图中可以得出，基矢为 a2ij式中 i、j、k 是沿 x、y、z 方向的单位22a3= ck矢量。32（2）原胞的体积W = a3 (a1 a2) =ac23aa-i+j ck2211=a2 a3=+（3）根据倒格子基矢的定义， bij1W33aaa 2 c2111同理可得b= -i +jb =k23aa3c

15、把 bi 与a i 与（I=1，2，3）比较可知，倒格子仍是一个六角空间点阵，但轴经过了转动。7、氪原子组成惰性晶体为体心立方结构，其总势能可写为U (R) = 2NeAs 12- As 6，其 126R R 中 N 为氪原子数，R 为最近邻原子间距离，点阵和 A6=12.25，A12=9.11；设雷纳德琼斯系数 e =0.014eV，s =3.65。求：（1）平衡时原子间最近距离 R0 及点阵常数 a；（2）每个原子的结合能（eV）。1dU (R)-12 As12s62 A126解：（1）= 2Ne+ 6 A= 0R=s dRR13A126 R70R603.9 1222 A62R = 3a,

16、a =R=12s 4.5 030A63 （2）U (R ) = 2Nes12s6= 2Ne4.11- 8.23= -0.115NA- A0 12R6 R00U = U (R0 ) = -0.115eV ，每个原子的结合能为 0.115eV。N8. 设两原子间的互作用能可表示为 u(r ) = - ram + rbn 式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；a, b均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须 nm。证明：相互作用着的两个原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r = r0 时， u(r )2u(r )= 0 02rrr0r0u(r

17、 ) = -a+b u(r)= ma- nb= 0+1r n+1r mr nr rrm000 n b1 n-mr= (1)a0 mu(r0 ) = -aba m += -1 -rr nrm0 n 00m其次，对应于处能量取最小值，应有2u(r )n(n +1)b = -m(m +1)a+ 0n+2r2m+2rr0r00n(n +1)br m-n 1m(m +1)a0把（1）式代入，即得n(n +1)b nb-1 1m(m +1)a ma mn +11 1, n m这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。9. 已知，由 N 个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构

18、的晶体，其互作用能可表示为s 12s 6U (R) = 2Ne (12.13)- (14.45) 式中，e,s 为参数；R 为原子最近邻间距。R R 试求：（1）平衡时的晶体体积 ；（2）体积弹性模量；（3）抗张强度。解：（1）为了求出平衡时晶体的体积V0 ，我们将 U（R）变换成 U（V）。已知晶体具有面心立方结构，设晶格常数为 a，由 N 个原子构成的晶体的体积可写成V = N (a3 4)，a3 4 是一个原子所占的体积（因为面心立方晶胞中含有 4 个原子）。若以表示最近邻原子间的距离，上式又可表示为 V = N (R3 / 2 ) 因而题给势能 U（R）可改写为U (V ) =1(12.13)N 5es 121- (14.45)N 3es 612V 4V 2= Vb124 - Vb62其中b =1(12.13)N 5es 12b = (14.45)N 3es 61226利用平衡条件(U (V )/ V )V0 = 0 ，可求得平衡时的体积 2b12V0 = 12 b6 （2）体积弹性模量 2U K = V V 2 V020b6b2b51 2=12-6= 6533V0