中考数学知识点梳理(函数

1、第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1) 定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.(2) 几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(, y)的关系是一一对应.点的坐标先读横坐标(X轴), 再读纵坐标(y轴).(1 )各象限内点的坐标的符号特征(如图所示)：点P(x,y)在第一象限？ x0 , y 0;第一象限2点 P(x,y)在第二象限？ XV0, y0;(，+ ) 1Ly_第一象限(+ ,+ )XLLILI -(1)坐标轴上的点不属于任 何象限.2.点的坐标特征点 P (x,y)在第二豕限？ XV 0, y V0;-3

2、-2 -10点P (x,y)在第四象限？ x0, y V0.第二象限)-3(2) 坐标轴上点的坐标特征：在横轴上？ y= 0;在纵轴上？ X= 0;原点？ X= 0, y= 0.(3) 各象限角平分线上点的坐标 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等; 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4) 点P (a,b)的对称点的坐标特征：关于X轴对称的点P1的坐标为(a, b);关于y轴对称的点F关于原点对称的点 P3的坐标为(一a, b).(5) 点M (x,y)平移的坐标特征：I 23- 第四象限 (+ ,)2的坐标为(一a, b)；(2) 平面直角坐标系中图形 的平移，图形上所

3、有点的 坐标变化情况相同.(3) 平面直角坐标系中求图 形面积时，先观察所求图形 是否为规则图形，若是，再 进一步寻找求这个图形面积 的因素，若找不到，就要借 助割补法，割补法的主要秘 诀是过点向X轴、y轴作垂 线，从而将其割补成可以直f= I 卜 Jj FL -4 Mrm IrT _j-a-I I JLC,*r Ji D I 平 1Z/甸右平移a3C1u*接计算面积的图形来解决.M (x,y) M1(x+a,y)-4 F同*jra-Ib,t*jIVJl IM2(x+a,y+b)3.坐标点的距离问题(1) 点M(a,b)到X轴，y轴的距离：到X轴的距离为|b|;)到y轴的距离为a.(2) 平行

4、于X轴，y轴直线上的两点间的距离：点 M1(X1,0), M2(X2,0)之间的距离为 |X1 X2,点 M1(x1, y), M2(x2, y)间的距离为 凶一X2; 点 M1(0,y1), M2(0,y2)间的距离为|y1y2,点 M1(x,y1),M2(x,y2)间的距离为|y1 y2.平行于X轴的直线上的点纵 坐标相等；平行于y轴的直 线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念(1) 常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量 叫做变量.(2) 函数：在一个变化过程中，有两个变量X和y,对于X的每一个值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么就称

5、X是自变量，y是X的函数函数的表示方法有：列表法、 图像法、解析法.(3) 函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义.失分点警示函数解析式，同时有几个代 数式，函数自变量的取值范 围应是各个代数式中自变量 的公共部分.例：函数 y=T3中自变量的取值范X 5围是x -3且x5.5.函数的图象(1) 分析实际问题判断函数图象的方法： 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； 找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； 判断图象趋势：判断岀函数的增减性，图象的倾斜方向(2) 以几何图

6、形(动点)为背景判断函数图象的方法：设时间为t (或线段长为X),找因变量与t(或X)之间存在的函数关系，用含 t(或X)的 式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技 巧：当函数图象从左到右 呈“上升”(“下降”)状态时， 函数y随X的增大而增大(减 小);函数值变化越 大 ,图 象越陡峭；当函数 y值始 终是同一个常数，那么在这 个区间上的函数图象是一条 平行于X轴的线段.第10讲一次函数知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1. 一次函数的(1)概念：一般来说，形如 y= kx+ b(kO的函数叫做一次函数.

7、特别地，当b = 0r特别地，例：当k= 1时，函数y= kx+ k-1是正比例函数，时，称为正比例函数.-b/k ,0)的直纟(2)图象形状:正比例函数一次函数y= kx+ b是一条经过点(0,b)和相关概念y= kx的图象是一条恒经过点(0，_0)的直线.k, bK 0,I K 0,I K 0 ,b=0 I k0,k0,k 0b V 0b0b 4时，y的值为负数.7. 一次函数与方程组二元一次方程组厂的解两个一次函数y=kt+b和y=k2x+b图象的交IJ y=k1x+b点坐标.IR=k2+b8. 一次函数与不等式(1) 函数y=kx+b的函数值y0时，自变量X的取值范围就是不等式 kx+

8、b 0的 解集(2) 函数y=kx+b的函数值yv 0时，自变量X的取值范围就是不等式 kx+b V0的 解集知识点四：一次函数的实际应用9. 一般步骤(1) 设岀实际问题中的变量；(2) 建立一次函数关系式；(3) 利用待定系数法求岀一次函数关系式；(4) 确定自变量的取值范围；(5) 利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；(6) 做答.一次函数本身并没有最值，但 在实际问题中，自变量的取值 往往有一定的限制，其图象为 射线或线段.涉及最值问题的 一般思路：确定函数表达式 确定函数增减性根据自变 量的取值范围确定最值.10.常见题型(1) 求一次函数的解析式.(

9、2) 利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例I1.反比例函数的概念k(1) 定义：形如y= (k 0的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的ZV取值范围是非零的一切实数.(2) 形式：反比例函数有以下三种基本形式：ky= X；y=kx-1;xy=k.(其中k为常数，且k0)ZV例：函数y=3X m+1，当m= 2时，则该 函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随X变化的情况(1) 判断点是否在反比例函数图象上 的方法：把点的横、纵坐标代入看是 否满足其解析式；把点的横

10、、纵坐标 相乘，判断其乘积是否等于 k.失分点警示(2) 反比例函数值大小的比较时，首 先要判断自变量的取值是否同号， 即是 否在同一个象限内，若不在则不能运用 性质进行比较，可以画岀草图，直观地 判断.k0图象经过第一、三象限(X、y同号)每个象限内，函数 y的值随X的增大而减小.k0图象经过第二、四象限(X、y异号)每个象限内，函数 y的值 随X的增大而增大.3.反比例函数的图象 特征(1) 由两条曲线组成，叫做双曲线；(2) 图象的两个分支都无限接近 X轴和y轴，但都不会与X轴和y轴相交；(3) 图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限

11、和二、四象限的角平分线.k例：若(a，b)在反比例函数y 的图X象上，则(一a， b)在该函数图象上.(填在、不在)4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求岀反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点(一3，-1)，则它的解析式是y=3x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义k(1) 意义：从反比例函数y=(k 0图象上任意一点向X轴和y轴作垂线，垂线 与坐标轴所围成的矩形面积为k,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的 面积为12k.(2) 常见的面积类型：图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片失分点警示已知

12、相关面积，求反比例函数的表达 式，注意若函数图象在第二、四象限，则 k 0和kBOD .瓦时，要善于把 为图形的边长，对 三往可分割转化 七也要注意系知识点三：反比例函数的实际应用7 .般步骤(1题意找岀自变量与因变量之间的乘积关系；(2设岀函数表达式；(3) 依题意求解函数表达式；(4) 根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题第12讲二次函数的图象与性质知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1. 一次函数的定义形如y= ax2+ bx+ C (a， b，C是常数，a0的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a - 1)x2是二 次函数，那么a的取值范围是 a02.解

13、析式(1) 三种解析式： 般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h) 2+k(a 0),其 中二次函数的顶点坐标是(h,k);交点式：y=a(x-x 1)(-2),其中1,2为 抛物线与X轴交点的横坐标.(2) 待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析 式.若已知条件是图象上的三个 点或三对对应函数值，可设一 般式；若已知顶点坐标或对称 轴方程与最值，可设顶点式； 若已知抛物线与X轴的两个交 点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象XVOy- ax2+bx +

14、c(a 0)才xy-ax 2+ bx +c(aV 0)(1) 比较二次函数函数值大 小的方法：直接代入求值 法；性质法：当自变量在对 称轴同侧时，根据函数的性质 判断；当自变量在对称轴异侧 时，可先利用函数的对称性转 化到同侧，再利用性质比较； 图象法：画出草图，描点后 比较函数值大小.失分点警示(2) 在自变量限定范围求二 次函数的最值时，首先考虑对 称轴是否在取值范围内， 而不 能盲目根据公式求解. 例：当0 x 5时，抛物线 y-x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称 轴bX=2a顶点 坐标b 4ac b22a 4a增减性当x A时，y随X的增大而增大； 2a当x 0时，抛物线开

15、口向上； 当a 1,再根据a的符号即可得 出结果.2a-b的符号，需判断 对称轴与-1的大小.a、b决定对称轴(x-b2a)的位置当a, b同号，-b2a0,对称轴在y轴右边.C决定抛物线与y轴的交 点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当C= 0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与X轴有2个交点；b2-4ac= 0时，抛物线与X轴有1个交点；b2-4ac0时，抛物线与X轴没有交点知识点三：二次函数的平移4.平移与解 析式的关 系y=ax2 I 向左(h0y=a(x h)2 向上(k)或向下(k V )、y=a(x h)2+ k 的图象平移|h个单位斗的图象平移|k|个单位的图象注

16、意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是上加下减，左 加右减”左右平移易弄反.例：将抛物线y-x2沿X轴向右平 移2个单位后所得抛物线的解析 式是 y- (X 2) 2.知识点四：二次函数与一兀二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y-ax2+ bx+ c(aO的图象与X轴交点的横坐标是一兀二次方程 ax2+bx+c=0 的根.当= b2-4ac 0,两个不相等的实数根；当= b2-4ac= 0 ,两个相等的实数根；当= b2-4ac0的解集；在X轴下方的部分点的与不等式纵坐标均为负，所对应的X的值就是不等式ax2+ bx+ CV0的解集.第13讲二次函数的应用三、知识清单梳理知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解， 建立的原则：所建立的坐标系要使求出的二次 函数表达式比较简单；使已知点所在的位置适 当（如在X轴，y轴、原点、抛物线上等），方便 求二次函数、表达式和之后的计算求解 据题意，结合函数图象求出函数解析式； 确定自变量的取值范围； 根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中 求最值 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数； 检验X