2019年中考数学压轴题汇编(几何1)-解析版

1、（2019年安徽23题）23（14分）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3【分析】（1）利用等式的性质判断出PBCPAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出RtAEPRtCDP，得出，即h32h2，再由PABPBC，判断出，即可得出结论【解答】解：（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PA

2、BPBC（2）PABPBC在RtABC中，ABAC，PA2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2PABPBC，即：h12h2h3【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD是解本题的关键（2019年北京27题）27（7分）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线

3、段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明【分析】（1）根据题意画出图形（2）由旋转可得MPN150，故OPN150OPM；由AOB30和三角形内角和180可得OMP18030OPM150OPM，得证（3）根据题意画出图形，以ONQP为已知条件反推OP的长度由（2）的结论OMPOPN联想到其补角相等，又因为旋转有PMPN，已具备一边一角相等，过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，即可构造出PDMNCP，进而得PDNC，DMCP此时加上ON

4、QP，则易证得OCNQDP，所以OCQD利用AOB30，设PDNCa，则OP2a，ODa再设DMCPx，所以QDOCOP+PC2a+x，MQDM+QD2a+2x由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MHMQa+x，DHMHDMa，所以OHOD+DHa+a+1，求得a1，故OP2证明过程则把推理过程反过来，以OP2为条件，利用构造全等证得ONQP【解答】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N

5、作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH+1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中OCNQDP（SAS）ONQP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构

6、造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP（2019年北京28题）28（7分）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出

7、t的取值范围【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角AEP满足90AEP135；根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE

8、垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPM

9、AE，AE3，即3，解得：t，t00t【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题（2019年福建24题）24（12分）如图，四边形ABCD内接于O，ABAC，ACBD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DFDC，连接AF、CF（1）求证：BAC2CAD；（2）若AF10，BC4，求tanBAD的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180BAC）90BAC，ADB90CAD，从而得到BACC

10、AD，即可证得结论；（2）易证得BCCF4，即可证得AC垂直平分BF，证得ABAF10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tanBAD的值【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，ABCADB，ABC（180BAC）90BAC，BDAC，ADB90CAD，BACCAD，BAC2CAD；（2）解：DFDC，DFCDCF，BDC2DFC，BFCBDCBACFBC，CBCF，又BDAC，AC是线段BF的中垂线，ABAF10，AC10又BC4，设AEx，CE10x，由AB2AE2BC2CE2，得100

11、x280（10x）2，解得x6，AE6，BE8，CE4，DE3，BDBE+DE3+811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题（2019年甘肃兰州27题）27（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABCDAE，进而得到ACDE，BCAE我

12、们把这个数学模型成为“K型”推理过程如下：【模型应用】如图，在RtABC内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DEAC于点E，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F（1）求证：AD是O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB求证：FG2GOGB【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为O直径，故只需证ADAB即可由ABC+BAC90和DAEABC可证得DAE+BAC90，而E、A、C在同一直线上，用180减去90即为BAD90，得证（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2GOGB联想到对应边成比例，所以需证FGOB

13、GF其中FGOBGF为公共角，即需证FOGBFGBFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有BFGBOC，问题又转化为证FOGBOC把DO延长交BC于点H后，有FOGBOH，故问题转化为证BOHBOC只要OHBC，由等腰三角形三线合一即有BOHBOC，故问题继续转化为证DHCE联系【模型呈现】发现能证DEAACB，得到AEBC2，ACDE1，即能求ADAB又因为O为AB中点，可得到，再加上第（1）题证得BAD90，可得DAOAED，所以ADOEAD，DOEA，得证【解答】证明：（1）O为RtABC的外接圆O为斜边AB中点，AB为直径ACB90ABC+BAC90DAEABCDAE+BAC90

14、BAD180（DAE+BAC）90ADABAD是O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OCDEAC于点EDEA90AB绕点A旋转得到ADABAD在DEA与ACB中DEAACB（AAS）AEBC2，ACDE1ADABO为AB中点AOABDAOAED90DAOAEDADOEADDOEAOHBACB90，即DHBCOBOCOH平分BOC，即BOHBOCFOGBOH，BFGBOCFOGBFGFGOBGFFGOBGFFG2GOGB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理其中第

15、（2）题证明DOEA进而得到DO垂直BC是解题关键（2019年甘肃陇南27题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AM=MN求证：AMN=60点拨：如图，作CBE=60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AM=EM，1=2；又AM=MN，则EM=MN，可得3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所以5+6=120，即：AMN=60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点

16、B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，EB1M1中=90=A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1=B1C1E=45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N1=90+45=135，B1C1E+M1C1N1=180，E、C1、N1，三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1=EB1A1B1M1=EB1M1B1M1=B1M1，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M

17、1=EM1，1=2，A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4，2+3=45，4+5=45，1=2=5，1+6=90，5+6=90，A1M1N1=180-90=90【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，EB1M1中=90=A1B1M1，得出EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出B1EC1=B1C1E=45，证出B1C1E+M1C1N1=180，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明A1B1M1EB1M1得出A1M1=EM1，1=2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出3=4，证出1=2=5，得出5+6=90，即可得

18、出结论此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键（2019年甘肃天水25题）25（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外

19、作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE已知AC4，AB5，求GE的长【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形证明：ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等如图2，已知四边形ABCD中，ACBD，垂足为E，求证：AD2+BC2AB2+CD2证明：ACBD，AEDAEBBECC

20、ED90，由勾股定理得，AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+CE2+DE2，AD2+BC2AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2AB2+CD2（3）连接CG、BE，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+AME90，ABG+AME90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2+BE2CB273，GE【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾

21、股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键（2019年广东深圳23题）23（9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（3，0），C（3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接OD（1）求证：直线OD是E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG；当tanACF时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；求的最大值【分析】（1）连接ED，证明EDO90即可，可通过半径相等得到EDBEBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DOBOAO，ODBOBD，得证；（2）分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于

22、BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令yCG2（64CG2）（CG232）2+322，应用二次函数最值可得到结论【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，BC为圆的直径，BDC90，BDA90OAOBODOBOAOBDODBEBEDEBDEDBEBD+OBDEDB+ODB即：EBOEDOCBx轴EBO90EDO90点D在E上直线OD为E的切线（2）如图2，当F位于AB上时，过F作F1NAC于N，F1NACANF1ABC90ANFABCAB6，BC8，AC10，即AB：BC：AC6：8：103：4：5设AN3k

23、，则NF14k，AF15kCNCAAN103ktanACF，解得：k即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2MCA于M，AMF2ABC设AM3k，则MF24k，AF25kCMCA+AM10+3ktanACF解得：AF25k2OF23+25即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）如图4，CB为直径CGBCBF90CBGCFBBC2CGCFCFCG2+BG2BC2，BG2BC2CG2令yCG2（64CG2）CG4+64CG2（CG232）2322（CG232）2+322当CG232时，此时CG4【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考

24、查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键（2019年广东24题）24（9分）如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF（1）求证：EDEC；（2）求证：AF是O的切线；（3）如图2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长【分析】（1）由ABAC知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC得BCDADC，从而得证；（2）连接OA，由CAFCFA知ACDCAF+CFA2CAF，结合

25、ACBBCD得ACD2ACB，CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，从而得证；（3）证ABECBA得AB2BCBE，据此知AB5，连接AG，得BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB，由点G为内心知DAGGAC，结合BAD+DAGGDC+ACB得BAGBGA，从而得出BGAB5【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，又ACBBCD，ABCADC，BCDADC，EDEC；（2）如图1，连接OA，ABAC，OABC，CACF，CAFCFA，ACDCAF+CFA2CAF，ACBBCD，ACD2ACB，CAFACB，AFBC，OAAF，AF为O的切线；（3）ABECBA，BADBCDAC

26、B，ABECBA，AB2BCBE，BCBE25，AB5，如图2，连接AG，BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB，点G为内心，DAGGAC，又BAD+DAGGDC+ACB，BAGBGA，BGAB5【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点（2019年广东广州24题）24（14分）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE（1）当点F在AC上时，求证：DFAB；（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出

27、S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时求AE的长【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得DFCA，可证DFAB；（2）过点D作DMAB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，SABF最小时，S最大；（3）过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明BGDBHE，可求EC的长，即可求AE的长【解答】解：（1）ABC是等边三角形ABC60由折叠可知：DFDC，且点F在AC上DFCC60DFCADFAB；（2）存在，过点D作DMAB交AB于点M，ABBC6，BD

28、4，CD2DF2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60MD2SABF的最小值6（22）66S最大值（66）3+6（3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDEDFDC2，EFDC60GDEF，EFD60FG1，DGFGBD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BGEHBC，C60CH，EHHCECGBDEBH，BGDBHE90BGDBHEEC1AEACEC7【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似

29、三角形是本题的关键（2019年广西池州25题）25（10分）如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F（1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若OB2，ABBDDA，F45，求CF的长【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出ADEDBC，证明ADEDBC，即可得出结论；（2）连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，则OHGOHB90，由切线的性质得出FCG90，得出CFG、OGH是等腰直角三角形，得出CFCG，OGOH，由等边三角形的性质得出OBH30，由直角三角形的性质得出OHOB1，OG，即可得出答案【解答】（1）证明：AEDC

30、，ADEDBC，在ADE和DBC中，ADEDBC（AAS），DEBC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，如图所示：则OHGOHB90，CF与O相切于点C，FCG90，F45，CFG、OGH是等腰直角三角形，CFCG，OGOH，ABBDDA，ABD是等边三角形，ABD60，OBH30，OHOB1，OG，CFCGOC+OG2+【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键（2019年广西贺州25题）25（10分）如图，BD是O的直径，弦BC与OA相

31、交于点E，AF与O相切于点A，交DB的延长线于点F，F30，BAC120，BC8（1）求ADB的度数；（2）求AC的长度【分析】（1）由切线的性质得出AFOA，由圆周角定理好已知条件得出FDBC，证出AFBC，得出OABC，求出BOA903060，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BECEBC4，得出ABAC，证明AOB是等边三角形，得出ABOB，由直角三角形的性质得出OEOB，BEOE4，求出OE，即可得出ACABOB2OE【解答】解：（1）AF与O相切于点A，AFOA，BD是O的直径，BAD90，BAC120，DAC30，DBCDAC30，F30，FDBC，AFBC，OABC，

32、BOA903060，ADBAOB30；（2）OABC，BECEBC4，ABAC，AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，ABOB，OBE30，OEOB，BEOE4，OE，ACABOB2OE【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OABC是解题的关键（2019年广西柳州25题）25（10分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点F是O上一点，且，连接FB，FD，FD交AB于点N（1）若AE1，CD6，求O的半径；（2）求证：BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作

33、O的切线，交BA的延长线于点M求证：ONOPOEOM【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，CDAB，AB是直径，CEDECD3ACDABC，且AECCEBACECEBBE9ABAE+BE10O的半径为5（2）ACDADCCDF，且DEDE，AEDNED90ADENDE（ASA）DANDNA，AEENDABDFB，ANDFNBFNBDFBBNBF，BNF是等腰三角形（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，MD是切线，MDDO，MDODEO90，DOEDOEMDODEOOD2OEOMAEEN，CDAOANCCAN，CAPCNO，AOCABFCOBFPCOPFB四边形ACFB是圆内接四边

34、形PACPFBPACPFBPCOCNO，且POCCOECNOPCOCO2PONO，ONOPOEOM（2019年广西北部湾等25题）25（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BFCE于点G，交AD于点F（1）求证：ABFBCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DCDG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CMDG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值【分析】（1）先判断出GCB+CBG90，再由四边形ABCD是正方形，得出CBE90A，BCAB，即可得出结论；（2）设ABCDBC2a，先求出EAEB

35、ABa，进而得出CEa，再求出BGa，CGa，再判断出CQDBGC（AAS），进而判断出GQCQ，即可得出结论；（3）先求出CHa，再求出DHa，再判断出CHDDHM，求出HMa，再用勾股定理求出GHa，最后判断出QGHGCH，得出HNa，即可得出结论【解答】（1）证明：BFCE，CGB90，GCB+CBG90，四边形ABCD是正方形，CBE90A，BCAB，FBA+CBG90，GCBFBA，ABFBCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DHCE于H，设ABCDBC2a，点E是AB的中点，EAEBABa，CEa，在RtCEB中，根据面积相等，得BGCECBEB，BGa，CGa，DCE+B

36、CE90，CBF+BCE90，DCECBF，CDBC，CQDCGB90，CQDBGC（AAS），CQBGa，GQCGCQaCQ，DQDQ，CQDGQD90，DGQCDQ（SAS），CDGD；（3）解：如图3，过点D作DHCE于H，SCDGDQCHDG，CHa，在RtCHD中，CD2a，DHa，MDH+HDC90，HCD+HDC90，MDHHCD，CHDDHM，HMa，在RtCHG中，CGa，CHa，GHa，MGH+CGH90，HCG+CGH90，QGHHCG，QGHGCH，HNa，MNHMHNa，【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判

37、断出DGQCDQ是解本题的关键（2019年广西梧州25题）25（10分）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，AF平分DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AHDF，分别交BD，BF于点G，H（1）求DE的长；（2）求证：1DFC【分析】（1）由ADCF，AF平分DAC，可得FACAFC，得出ACCF5，可证出ADEFCE，则，可求出DE长；（2）由ADGHBG，可求出DG，则，可得EGBC，则1AHC，根据DFAH，可得AHCDFC，结论得证【解答】（1）解：矩形ABCD中，ADCF，DAFACF，AF平分DAC，DAFCAF，FACAFC，ACCF，AB4，BC3

38、，5，CF5，ADCF，ADEFCE，设DEx，则，解得x；（2）ADFH，AFDH，四边形ADFH是平行四边形，ADFH3，CH2，BH5，ADBH，ADGHBG，DG，DE，EGBC，1AHC，又DFAH，AHCDFC，1DFC【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键（2019年广西梧州25题）25（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BEDF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BHDG，连接EG，FH（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB2，EB4

39、，tanGEH2，求四边形EHFG的周长【分析】（1）证明ABECDF（AAS），得BEDF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）如图，连接BD，交EF于O，计算EO和BO的长，得OEB30，根据三角函数可得HM的长，从而得EM和EH的长，利用勾股定理计算FH的长，最后根据四边的和计算结论【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABCD，ABCD，DCABAC，DFBE，CFDBEA，BACBEA+ABE，DCACFD+CDF，ABECDF，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS），BEDF，BHDG，BE+BHDF+DG，即EHGF，EHGF，四边形EHFG是平行四

40、边形；（2）如图，连接BD，交EF于O，四边形ABCD是正方形，BDAC，AOB90，AB2，OAOB2，RtBOE中，EB4，OEB30，EO2，ODOB，EOBDOF，DFEB，DFCBEA，DOFBOE（AAS），OFOE2，EF4，FM2，EM6，过F作FMEH于M，交EH的延长线于M，EGFH，FHMGEH，tanGEHtanFHM2，HM1，EHEMHM615，FH，四边形EHFG的周长2EH+2FH25+210+2【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解

41、题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键（2019年广西百色25题）25（10分）如图，已知AC、AD是O的两条割线，AC与O交于B、C两点，AD过圆心O且与O交于E、D两点，OB平分AOC（1）求证：ACDABO；（2）过点E的切线交AC于F，若EFOC，OC3，求EF的值提示：（+1）（1）1【解答】证明：（1）OB平分AOCBOEAOCOCODDOCDAOCD+OCDDAOCDBOE，且AAACDABO（2）EF切O于EOEF90EFOCDOCOEF90OCOD3CD3ACDABOAE3EFOCEF63（2019年广西贵港26题）26（10分）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，将

42、ABC绕点C顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当90180时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E（1）如图1，当CAD15时，作AEC的平分线EF交BC于点F写出旋转角的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）【分析】（1）解直角三角形求出ACD即可解决问题连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM首先证明CFA是等边三角形，再证明FCMACE（SAS），即可解决问题（2）如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M证明AEFAEB，推出EF

43、EB，推出B，F关于AE对称，推出PFPB，推出PA+PFPA+PBAB，求出AB即可解决问题【解答】（1）解：旋转角为105理由：如图1中，ADAC，ADC90，CAD15，ACD75，ACA105，旋转角为105证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CMCEDACE+CAE45+1560，CEA120，FE平分CEA，CEFFEA60，FCO180457560，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60，AOF是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM是等边三角形，ECM60，CMCE，FCAMCE60，FCM

44、ACE，FCMACE（SAS），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F关于AE对称，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在RtCBM中，CBBCAB2，MCB30，BMCB1，CM，ABPA+PF的最小值为【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题（2019年广西桂林25题）25（10分）如图，BM是以AB为直径的O的切线，B为切点，BC平分ABM，弦CD交AB于点E，DEOE（1）求证：ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2OEDC：（3）求tanACD的值【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得ACBABM90，由角平分线的性质可得CABCBA45；（2）通过证明EDOODC，可得，即可得结论；（3）连接BD，AD，DO，作BAFDBA，交BD于点F，由外角的性质可得CABCDB45EDO+ODB3ODB，可求ODB15OBD，由直角三角形的性质可得BDDF+BFAD+2AD，即可求tanACD的值【解答】