算法的时间复杂度

1、时间复杂度：如果一个问题的规模是 n ，解这一问题的某一算法所需 要的时间为 T(n) ，它是 n 的某一函数， T(n) 称为这一算法的 “时间复 杂度”。渐近时间复杂度： 当输入量 n 逐渐加大时， 时间复杂性的极限情形称 为算法的 “渐近时间复杂度 ”。 当我们评价一个算法的时间性能时， 主要标准就是算法的渐近时间复 杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时 间复杂度 T(n)=O(f(n) 简称为时间复杂度， 其中的 f(n) 一般是算法 中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关， 还与输入实例中各元 素的取值相关。 但是我们总是考虑在最坏的

2、情况下的时间复杂度。 以 保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶 O(1) 、对数 阶 O(log2n) 、线性阶 O(n) 、线性对数阶 O(nlog2n) 、平方阶 0(n八2)、立方阶0(n3) 、k次方阶0(nAk)、指数阶0(2八n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1 、 设 三 个 函 数 f,g,h 分 别 为 f(n)=100nA3+nA2+1000,g(n)=25nA3+5000nA2 , h(n)=nA1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立：(1) f(n)=0(g(n)(2) g(n)=0

3、(f(n)(3) h(n)=0(nA1.5)(4 ) h(n)=O(nlgn)这 里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法 T(n)=O(f(n) ，这里 的O是数学符号，它的严格定义是若T(n)和f(n)是定义在正整数 集合上的 两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C和nO ,使得当n nO时都满足0 T(n) C?f(n)。用容易理解的话说就是 这两个函数当整型自变量 n 趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等 于0 的常 数。这么一来，就好计算了吧。 (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是nA3,因此当n时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 (2)成立。与上

4、同理。 (3)成立。与上同理。 (4)不成立。由于当nx时nA1.5 比nlgn递增的快，所以 h(n) 与 nlgn 的比值不是常数，故不成立。2、设 n 为正整数，利用大 O 记号，将下列程序段的执行时间表示 为 n 的函数。(1) i=1; k=0while(i1 while (x=(y+1)*(y+1)y+;解答： T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2) ， 最坏的情况是 y=0 ，那么 循环的次数是 n1/2 次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3) x=91; y=100;while(y0)if(x100)x=x-10;y-;else x+;解答： T(n)=O(1) ，

5、这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000 次，但是我们看到 n 没有? 没。这段程序的运行是和 n 无关的， 就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为 1 ，该程序段的执行时间是一个与问题 规模 n 无关的常数。 算法的时间复杂度为常数阶， 记作 T(n)=O(1) 如果算法的执行时 间不随着问题规模 n 的增加而增长，即使算法中有上千条语句， 其执行时间也不过是一个较大的常数。 此类算法的时 间复杂度是 O(1) 。0(n 八2)2.1. 交换 i 和 j 的内容sum=0 ；(一次)for(i=1;

6、i=n;i+)(n 次 )for(j=1;j=n;j+)(nA2 次)sum+ ;5八2 次)解： T(n)=2nA2+n+1 =O(nA2)2.2.for (i=1;in;i+)y=y+1; for (j=0;j=(2*n);j+)x+; 解： 语句 1 的频度是 n-1语句 2 的频度是 (n-1)*(2n+1)=2nA2-n-1f(n)=2nA2-n-1+(n-1)=2nA2-2该程序的时间复杂度T(n)=0(n2).O(n)2.3.a=0;b=1;for (i=2;i=n;i+)s=a+b;b=a;a=s;解： 语句 1 的频度： 2,语句 2 的频度： n,语句 3 的频度： n-1

7、, 语句 4 的频度： n-1,语句 5 的频度： n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n )2.4.i=1;while (i=n)i=i*2; 解： 语句 1 的频度是 1,则：设语句 2 的频度是 f(n),2Af( n)=n;f(n )v=log2 n 取最大值 f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )O(nA3)2.5.for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+) for(k=0;kj;k+)x=x+2;解：当 i=m, j=k 的时候,内层循环的次数为 k 当 i=m 时, j 可以取 0,1,.,m-1 ,所以这里最内循环

8、共进行了O+1+.+m-仁(m-1)m/2次所以,i从0取到n,则循环共进行了 ：0+(1-1)*1/2+.+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为0(n八3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。 如快速排序的最 坏情况运行时间是 0(nA2)，但期望时间是 0(nlogn)。通过每次 都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即0(门八2)情况) 的概率减小到几乎等于 0 。在实际中， 精心实现的快速排序一般都能 以 (0(nlogn) 时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作， 或说 0(1) 操作。一个算法如 果 能在每个步骤去

9、掉一半数据元素， 如二分检索，通常它就取 0(logn) 时间。用 strcmp 比较两个具有 n 个字符的串需要 0(n) 时间 。常 规的矩阵乘算法是 0(nA3) ，因为算出每个元素都需要将 n 对 元素 相乘并加到一起，所有元素的个数是 nA2 。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如， n 个元 素 的集合共有 2n 个子集,所以要求出所有子集的算法将是 0(2n) 的 指数算法一般说来是太复杂了，除非 n 的值非常小，因为，在 这个 问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。 不幸的是， 确实有许多问 题 （如著名 的“巡回售货员问题 ” ，） 到目前为止找到的算法都是指 数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果 的算法替代之。一个经验规则有如下复杂度关系c l