理学灰色预测方法

1、第7章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、 掌握系统发展规律， 对系统的未来状态做出科学的定量预测。对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。模型的选择不是一成不变的。一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。只有通过检验的模型才能用来进行预测。本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、 应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。7.1灰数简介7.1.1灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。灰色系统

2、用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元” 或“细胞”。我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。灰数有以下几类：1. 仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为：.a，：或：a，其中为灰数的下确界，它是一个确定 的数，我们称 a，二为的取数域，简称的灰域。一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用 一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有-0。2. 仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为一(：，a或：(a)，其中为灰数的上确界，是

3、一个确定的数。一项投资工程，要有个最高投资限额， 一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高 临界值。工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。3. 区间灰数既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为- a.a1。海豹的重量在2025公斤之间，某人的身高在 1.81.9米之间，可分别记为20,251, ： 21.8,1.9】4. 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是 30, 31, 32, 33, 34, 35这几个数， 因此年龄是离散灰数。人的身高、体重等是连续灰

4、数。5. 黑数与白数当 HU：或、：M- 2，即当的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时， 称为黑数。当:a,a且a = a时，称为白数。为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。6. 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值，记为，并用-a表示以为白化值的灰数。如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格：100的白化数，记为 100 =100。从本质

5、上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。1. 信息型灰数，指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数，如：预计某地区今年夏粮 产量在100万吨以上，：.100,：；估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，：7000,9000 1；预计西安地区5月份最高气温不超过36C, 0,361。这些都是 信息型灰数。由于暂时缺乏信息，不能肯定某数的确切取值，而到一定的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。2概念型灰数，也称意愿型灰数。指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。如某人希 望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，-1000Q：；某工厂废品率为1%,希望大幅度降低，当然越小越好，：-

6、0,.01 L这些都是概念型灰数。3层次型灰数，由层次的改变形成的灰数。有的数，从系统的高层次，即宏观层次、 整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。例如，一个人的身高，以厘米度量是白的，若精确到万分之一毫米就成灰的了。7.1.2灰数白化与灰度有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白化比较容易，我们可以其基本值为主要白化值。以为基本值的灰数可记为：a或：a ,a/ ,其中为扰动灰元，此灰数的白化值为：a =a。如今年的科研经费在5万元左右，可表示为-50000 =50000 ，或：50000-,50000,它的白化值为

7、50000。对于一般的区间灰数：.a,b我们将白化值取为：=c(a + (1_a)b，口 e 0,11定义7.1形如 :a (1 -)b ,b,1】的白化称为等权白化。定义7.2在等权白化中，取一 _ 2而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义 7.3 设区间灰数- a,b，: 2，C,d 1,1a，(1-)b , 0,1,苑二Pc +仆- P)d，徒0,1 ,当a = B时，称与取数一致，当0再时，称与取数非 一致。在灰数的分布信息已知时，往往采取非等权白化。例如某人2000年的年龄可能是 40岁到60岁 40,60】是个灰数。根据了解，此人受

8、初、中级教育共12年，并且是在60年代中期考入大学的，故此人的年龄到2000年为58岁左右的可能性较大，或者说在 56岁到60岁的可能性较大。这样的灰数，如果再作等权白化，显然是不合理的。为此，我们用 白化权函数来描述一个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程度。对概念型灰数中表示意愿的灰数，其白化权函数一般设计为单调增函数。一般来说，一个灰数的白化权函数是研究者根据已知信息设计的，没有固定的程式。函数曲线的起点和终点一般应有其含义。如在外贸谈判中，就有一个由灰变白的过程。开始谈判时，甲方说我的出口额至少要 5亿元，乙方说我的进口额不大于3亿。则成交额这一灰数将在3亿与5亿间取值，其白化权函数

9、可将起点定为3亿，终点定为5亿。灰度即为灰数的测度。灰数的灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为特征的未知程度。在实际应用中，我们会遇到大量的白化权函数未知的灰数，例如由一般灰色系统之行为特征预测值构成的灰数，就难以给出其白化权函数。我们认为，灰数的灰度主要与相应定义信息域的长度及其基本值有关。如果考虑一个4000左右的灰数，给出其估计值的两个灰数- 0累加生成与累减生成之间的关系如下图所示：1-AGOIAGOX(0) X X (0) 2关联度为了定量地研究两个事物间的关联程度，人们提出了各种形式的指数，如相关系数和相似系数等等。这些指数大多以数理统计原理为基础，需要足够的样本个数或者要求

10、数据服从一定的概率分布。在客观世界中，有许多因素之间的关系是灰色的，分不清哪些因素之间关系密切，哪些不密切，这样就难以找到主要矛盾和主要特性。灰因素关联分析，目的是定量地表征诸因素之间的关联程度，从而揭示灰色系统的主要特性。关联分析是灰色系统分析和预测的基础。关联分析是一种相对性的排序分析。从思路上来看，源于几何直观。如图7.1所示的A、B、C、D四个时间序列，曲线 A与B比较平行，我们就认为 A与B的关联程度大。曲线 C 与A随时间变化的方向很不一致，认为A与C的关联程度较小。曲线 A与D相差最大，则认为两者的关联程度最小。将曲线A与B、C、D的关联程度分别记为ab , %, Ud，则它们之

11、间有如下排序关系：发展变化趋势越接近，关联程度越大；反之亦然。关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联度需先计算关联系数。 (1)关联系数的计算设参考序列为X。=x(1),x(2)，X0(n)比较序列为Xi 二Xi(1),xi(2)，必(n)关联系数定义为:1 nr i(k)n k 吕 (7.2.2)另外，定量地表征灰色系统诸因子之间关联程度的指数有两种，按其计算方法的差异， 分别称为绝对值关联度和速率关联度。 以上我们所介绍的是绝对值关联度的概念和计算 关速率关联度的问题，在此不作详述。7.3灰色预测模型7.3.1 GM( 1,1)模型1. GM(1,1)模型 令X(0)为GM(

12、1,1)建模序列，X =(x(1),x(0 )(2) ,.,x(0)( n)X为X(0)的1-AGO序列，X =(x(1),x(2),x(1)(n),k(1)(0儿X (k)二 X (i)i(k)mjn mjn x0(l) _Xj (I) + P max max x0(l)_Xj(l)x0(k) - 人(k) ： P max maxx(I)-Xj(I)(7.2.1)式中,min/i、 /i、min min x0(I) Xi(I)Xo(k)Xi(k)为第k点与的绝对差；j丨j为两级最小差，其中x(l) -Xj(l)是第一级最小差，表示在序列上找各点与的最小差；n | m x(n I-x(j I)

13、为第二级最小差，表示在各序列中找出的最小差基础上寻求所有 max max x0(I) Xi(I)序列中的最小差； j 丨j分辨率，0 ： P : 1，一般采用P =0.5。对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数之前应首先进行初值化， 所有数据分别除以第一数据，将变量化为无单位的相对数值。(2)关联度的计算 关联系数只表示了各个时刻参考序列和比较序列之间的关联程度， 列之间的关联程度，必须求出它们的时间平均值，即关联度。因此，计算关联度的公式为：是两级最大差，其含义与最小差相似。P称为即将该序列的为了从总体上了解序g , k = 1,2,，n(732)令Z为X(1)的紧邻均值(MEAN )生

14、成序列Z=(z(2), z(3),.,z(n)Z(k)=0.5X(k)+0.5X(k1)则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为x(0)(k) + az(k) = b模型符号含义为GMGfy式中称为发展系数，为灰色作用量。 的最小二乘估计参数列满足:=(BT B)BTYn其中MOdel(1,11)1个变量设为待估参数向量，即=(a,b)T ,则灰微分方程(7.3.2)-z(1)(2)-z(1)11丁x(0)(3)(1)=3(0)( n)_dxdtax 二 b(7.3.3)为灰色微分方程 x(0)(k) az(1)(kb的白化方程，也叫影子方程。 如上所述，则有dx(1) b

15、ax b的解也称时间响应函数为a aGM(1,1)灰色微分方程x(k) az(k) =b的时间响应序列为bbaka e + a , k =1,2,., n1)2)3)白化方程dt(1),(k 1) T (0)取 x(0)二 x(0)(1)，则4)还原值(0),(k 1)bbaka e + a , k =1,2,., n列)(k 1) = 4(k 1) -0)(k)上式即为预测方程。有关建模的问题说明如下：1. 定原始序列X(0)中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得 模型不同，即和不同。2. 模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。可采3. 一般建模数据序列应

16、当由最新的数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。7.3.2 GM (1,1)模型检验GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。1 .残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算 X(1(1),将0)(i 1)累减生成X (i)，最后计算原始序列x(0)(i)与G0)(i)的绝对残差序列(0) =/(i),i=1,2,.,n，也(0)(i)=x(0)一炉(i)及相对残差序列-%0 =,i

17、= 1,2,.,n, x()(i)并计算平均相对残差给定，当：，且n 0.950.800.700.65勉强合格0.65不合格若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否 则应进行残差修正。7.3.3 GM( 1,1)模型应用实例解：设 X(k)=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步构造累加生成序列X)(k)=2.67，5.80，9.05，第2步构造数据矩阵和数据向量2_丄21 _x(1)(3)XX(1 )(2)x(1)(2)x(1)(3)x(1 4)12.41，15.97,1-4.2357.425-10.7319.6911例7.1某大

18、型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立 GM(1,1)预测模型, 并预测2005年的产品销售额。年份199920002001200220032004销售额(亿元)2.673.133.253.363.563.72-14.19x(1 *4)x(5).-17.83x(5)x(1 )(6)_x(0) (2)3.131x(0) (3)3.25x(0)3.36x(0)3.56:x(0)一1 i3.72 一Yn 二fl第 3 步计算=b_=(BTB)，BTY707.46375 - 54.41Btb-54.415-0.008667 0.094319(BtB) J= 1(0.094319 1.2

19、26382-0.043879= (BTB)-*BTYn= 2.925663 一第4步得出预测模型dx(1)dt 0.043879=2.9256630.043879 k? (k 1) =69.3457 e- 66.6757bv(0) /(x(I 丿=2.67; a = 66.6757)第5步残差检验(1) 根据预测公式，计算化)，得刃(k) = 2.67, 5.78, 9.03, 12.43, 15.97, 19.68, 19.69 (=0,1,，6)(2) 累减生成 妙(k)序列，=1,2, - ,6?)(k) = 2.67, 3.11, 3.25, 3.40, 3.54, 3.71原始序列：

20、X(0)(k) = 2.67, 3.13, 3.25, 3.36, 3.56, 3.72(3) 计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：= 0, 0.02, 0, 0.04, 0.02 , 0.01相对残差序列：=0, 0.64%, 0, 1.19%, 0.56% , 0.27%相对残差不超过1.19%，模型精确度高。第6步进行关联度检验(1) 计算序列x(0)与好0)的绝对残差序列.-：(0) (k)A (0)、= 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01A (0)min ：(k) = min 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01 = 0max (k) = max 0,0.0

21、2,0,0.04,0.02,0.01 = 0.04(2) 计算关联系数由于只有两个序列(即一个参考序列，一个被比较序列)故不再寻求第二级最小差和最大差。(k)二(k =1,.,6, P =0.5)min (k) P max ：(k) 也(k) + P maxA(k) 求得 (k) = 1,0.5, 1,0.33, 0.5, 0.67(3) 计算关联度1 nn心)n 心=0.67r=0.67是满足P=0.5时的检验准则r0.6的。第7步后验差检验1(0)(1)计算：X化=6 2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72=3.28计算X(0)序列的均方差：(0) (0) 2)1/2=

22、0.3671n -1计算残差的均值： 计算残差的均方差:1=6 (k) =0.015( X (k)-x ( ：(k) - J-=0.0152计算 c :S2 =0.0152/0.3671=0.0414计算小残差概率：=0.67450.3671=0.27466k A(k) =丿0.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小残差概率 6 ：: So =1 ,而同时C=0.04140.35 ,故模型 0.043879 kX (k 1) =69.3457e- 66.6757 合格。第8步预测：k=7, X(0)(8)=(8) X(7)=4.23即2005年的产品销

23、售额预测值为4.23亿元。7.3.4 GM (1,1)残差模型当原始数据序列 X(0)建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修 正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度。若用原始序列X(0)建立的GM(1,1)模型(0)X(1)(i 1)=可获得生成序列X的预测值，定义残差序列 则对应的残差序列为：(1) b b蔦e-i aa e + ae(0)(j) =x(1)(j) - ?(1)(j)。若取戸，i+ 1,n.计算其生成序列e(0) (k)=e(0)(1),(1)e (k)，并据此建立相应的GM(1,1)模型:山

24、J|e(0)(1)-Le0)(i+1)ae(0)(2),，e(0)( n)ek. _beae得修正模型x(1)(k 1) = x(0)-ak eb；mo)-aeke e(7.3.4)1 k _iQ k兰i为修正参数。6(k _i)=丿其中应用此模型时要考虑：1. 一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差。2. 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与(k i)中的i的取值有关。X (O)x(o)x(o)x()XI = Xl(1), N ，0(n)7.3.5 GM (1,N)模型如果考虑的系统由若干个相互影响的因素组成, 为系统特征数据序列，而(o)2=(i),(0)x2 )

25、(0)x2 )(n)(0) x2)(0)X N =x(0)Nx(0)N(n)为相关因素序列。 列，则称Xi为 Xj 的 1-ago 序列(i =1,2,，N), Z1为Xi的紧邻生成序Nx(0) (k) az(k)bixi(1)(k)i=2(7.3.5)为GM(1,N)灰色微分方程。定义出=la pm J为GM(1,N)灰色微分方程的参数列，根据最小二乘法可以得出： = (BtB)BtY式中_-Z(1 )(2)xy(2)xN)(2)1B-Zxy(3)xN)(3)b =_Z1(1)(n) x( n)xN)( n) _| Y=x1 0) (2)X1( )(3)x10)(n)Tdxjdtax1 二

26、bzxjdxfbNX(1) N为GM(1,N)灰色微分方程 于是，我们有7.3.5)的白化方程，也称影子方程。(7.3.6)1)白化方程(7.3.6)的解为NNx(t) =e瓦 JbXi(t)eatdt+x(1)(0) 送 Jbx(0)dt2i =2NN十妒(0) -1迟 bXj(0)吃 fbix(1)(t)eatdtN为DXi(k)可视*为灰常量，这样,GM(1,N)t =2i =22)当Xi (i叫2., N变化幅度很小时,灰色微分方程(7.3.5)的近似时间响应式为11)(k1)= X1(1)(0)-丄 bixi(1)(k 1) eka i=21 Nbx(k 1)a i=2(7.3.7)

27、其中为(0)取为才1)。3)累减还原式为只)(k 十1)=斤)(k+1)斤)(k)(7.3.8)灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：(1) 建立模型常用的数据有以下几种：1科学实验数据；2经验数据；3生产数据；4 决策数据。(2) 序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。(3) 一般非负序列累加生成后，得到准光滑序列，对于满足光滑条件的序列，即可建 立GM微分模型。(4) 模型精度可以通过不同的灰数生成方式，数据的取舍，序列的调整、修正以及不同级 别的残差GM模型补充得到提咼。(5) 灰色系统理论采用残差大小检验、关联度检验、后验差检验三种方法检验、判断 模型的精度。7.4灾变预测灰色灾变

28、预测的任务是给出下一个或几个异常值出现的时刻，以便人们提前防备，采取对策，减少损失。作为灰色预测模型的应用，以下简要介绍灰色灾变预测的原理和方法。定义7.4设原始序列为=(1),，(n)。给定上限异常值(灾变值)，称的子序列X】 xq(1)】, xq(2), .,xiq(m)= xlq(i) xlq(i),=1, 2,， 为上灾变序列。定义7.5设原始序列=(1),，(n),给定下限异常值(灾变值)，称的子序列= x q(1) , xq(2) 1,，xh(l)l= xq(i)l xq(i)乜；=1, 2,， 为下灾变序列。定义7.6设为原始序列，X = x q(1) 1, xq(2) 1,，x

29、h(m)为灾变序列，则称Q(0)=q(1),q(2)；q(m)为灾变日期序列。定义7.7设q(0)= (k1)=(q(1)-P)e环-(q(1) -匕代皿)a q(1- 亠aa=( 1 一 e )( a )e定义7.8设=(1)，(n)为原始序列，n为现在，给定异常值，相应的灾变日期 序列Q(0)q(1),q(2)；q(m)其中，q(m)(空n)为最近一次灾变发生的日期，则称(?(m 1)为下一次灾变的预测日期；对任意0,称0m k)为未来第次灾变的预测日期。例7.2某地区平均降水量(单位：毫米)的原始数据为：X 3.X 1 ,x 2 ,., x 24 /=386.6, 514.6, 434.1,48