浅析“数形结合”在数学教学中的应用

1、浅析“数形结合”在数学教学中的应用 主题词数形结合、数学教学内容摘要 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。第一 提出问题本人在教学过程中，通过对学生的听讲、解题过程、完成作业等充分、深入的研究后发现，学生在数形结合思想的运用过程中还存在如下几个方面的问题1、学生运用数形结合思想解决问题的兴趣不浓厚，认为数形结

2、合思想是一种笼统的，模糊的数学方法，而没有严密的逻辑推理，在一定程度上还不能认可数形结合思想。2、学生运用数形结合思想解决问题的能力是有限的。不能很好的掌握那些问题该用，那些问题不该用，还没有掌握该思想的魂魄。3、数形结合思想属于辨证唯物主义方法的范畴，是科学的方法，是正确的方法，在教学过程中注意培养学生用辨证法解决问题的思想意识，给学生树立正确的思维习惯是重中之重。第二 分析问题数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。通过对以上

3、三个问题的分析得出导致这些问题的原因有主要是：教师的教学总是一成不变，一个模式，墨守成规，缺乏针对学生的具体情况、结合实际的变化，使学生不能愉快地接受知识和启动思维，从而产生了消极的学习态度。许多教师为此进行了有益的探讨，本人在教学中通过探索和相关的实践，深深地体会到在数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，用“数形结合”的技巧去训练学生解题，能够促进学生学习数学的兴趣，提高学生的思维能力。通过对问题的分析，接下来本人据自己的教学经验，结合一些实际的问题谈一些自己解决上述问题的方法。第三 解决问题一、应用“数形结合”，激发学生的学习兴趣数学的客观存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美。

4、例如：（1）在数与形的关系中特别引人注目的著名的“黄金分割率”，它被世人称之为和谐性的最完美的表现。“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”审美的观念看世界。在绘画和建筑艺术中，如达芬奇的最后的晚餐，埃菲尔铁塔等，都用到了“黄金率”，所以，它们才有经久不衰的魅力。（2）教师在数学教学活动中，要充分运用这些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望。诱发学生对数学美的追求心理，从而消除对学习数学感到单调、负担和惧怕的心理，产生对数学学习的兴趣和积极追求的欲望。爱因斯坦认为：“兴趣是最好的老师。”培养学习数学的兴趣

5、是克服数学学习困难的内在动力。所以，所学材料或研究对象的生动趣味有助于把学生从“要我学”转变成“我要学”的良好的学习心理，从而有可能获得最佳的教学效果。将美感渗透融合于数学教学的过程，这种审美心理活动能启迪和推动学生数学思维活动，触发智慧的美感，使学生的聪明才智得以充分发挥。“数形结合”就能起到这方面的作用。二应用“数形结合”，提高学生的能力对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑

6、的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。1、“数形结合”有助于对数学知识的记忆“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解

7、题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等。这样，材料的组成方式较好，内容的组织结构较严密，记时可以提纲挈领地在大脑中储存，今后可以随时纲举目张地提取，达到良好的记忆效果。图1/2-/2-3/23/2-1-1xy

8、如图1是余弦函数y=cosx的图象，从中我们可以知道余弦函数的定义域是（，+），值域是1，1，函数在（2k，2k+）内单调减少，在（2k+，2k+2）内单调增加，函数的周期是2，|cosx|1，函数有界，函数是偶函数，在区间（2k/2，2k+/2）上是下凹的，在区间（2k+/2，2k+3/2）上是上凹的。（kz）2、 应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。用数形结合的方法解题，能最直接揭示问题的本质

9、，直观地看到问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案。如：若复数z满足|z+|+|z| 2，则|z+1|的最小值是( )a)1 b)1.5 c)2 d)3 对此题分析可知，由于|z+|和|z-|分别表示复数z在复平面上的对应点到和-的距离，且有|z+|+|z-| 2，所以表示复数z的点的集合是虚轴上点到-之间的线段（含端点）。另外，|z+1|=|z(1)|为复数z在复平面上的对应点到1的距离，由图4可以看到，当z=-时，|z+1|取得最小值1，所以选a。-1-i1-1i-ixi图2此题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y的关系，转化为一元函数，按照求二次函数的最值的方法求解。这个

10、解法虽有可遵循的操作程序，但对解题过程中出现的情况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，且解程冗长。而用数形结合的方法，则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，只要思考正确，形象清晰，往往很快就能看到问题的结果。在日常的教学中，教师要注意用数形结合的方法训练直觉思维，让学生养成整体观察、检索信息、把握问题实质的好习惯。3、 应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，

11、达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。本人在教学中曾问过学生这样一个问题：如何判断直线与圆的位置关系？大多数学生的回答是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定并能计算。本人在给出图3后，学生能从l、m、n这三条直线与圆的交点个数判定直线与圆的位置关系。本人进而设问：如何求圆与直线的交点？学生能答出联立方程。本人列出方程组，把直线方程代入圆方程，得到一个关于x的二次方程。这时，学生一般能知道考察这个方程的根的判别式，由判别式的正负可以知道x的解的情况，进而知道交点的情况，从而判定直线与圆的位置关系。这样就用另一种方法解答了这个问题，学生

12、对于解析几何的核心形与数结合，用代数方法来研究几何问题有了更深一步的理解。lmnxyo图3教师在教学中要注意学生思维的横向推广和纵向深入，使二者有机结合以利于保证思维的流畅性，做到反应灵敏，思路畅通，联想丰富，在短时间内汇集、检索与所研究问题有关的概念与性质，随机应变，巧妙运用有关公式与定理，综合运用各模块知识。4 、应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力目前，推行素质教育已成为教育发展的主流。对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要。，是思维的最高境界。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。在数学教学中，

13、教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。如：若a2+b2=1,a,b 均不为零，求证：（a+1/a）2+(b+1/b)29此题要从几何图形入手，由题设a2+b2=1联想到点（a,b）在圆x2+y2=1上而得到一种解题思路；也可以联想到点（a,b）在直线ax+by1上，又得到一种解题思路，解答过程更为简捷。事实上由（a+1/a）2+(b+1/b)2联想到两点（a,b），（1/a，1/b）间的距离

14、。显然由于点（a,b）在直线ax+by1上，则点（1/a，1/b）到点（a,b）的距离不小于它到直线的距离。故（a+1/a）2+(b+1/b)29 成立.教师要引导学生通过一些典型题目最佳解法的寻求，增强学生的求新、求异意识，激发他们不甘满足，勇于创新的激情。三、应用“数形结合”，培养学生的良好情操1、 树立现代思维意识1.1在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。1.2在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性

15、思维的好习惯。1.3 在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质。2、树立辩证唯物主义世界观客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着。我们从数学的发展即可揭示出：事物无不处于普遍联系之中。例如，解析几何是由代数和几何，数和形两方面的联系、变化、发展而来的。几何图形的研究，要借助于代数对方程的研究（如上文提到的借助于代数式子变换来的黄金率可用于黄金分割作图）。而对几何的研究同时亦丰富了代数的内容（如代数中函数图象就是借助于形的直观性来研究的）。代数和几何，数和形是对立的