最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题

1、解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题考情分析把握方向圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的基本量是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：高考年份填空题解答题知识点2010 年第6题中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的 统一定义2011 年第18题椭圆的标准方程2012 年第8题第19题双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的 距离公式由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考 查），弱化了直线

2、与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。备考策略提升信心1 江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线 的关系，以椭圆为载体的综合问题是考查的重点。2新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用a,b,c表示关系式中的量，再代入求解小

3、题训练 激活思维1. 等轴双曲线 C的中心在原 点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 4x的准线交于 A、B两点，AB = 3，贝U C 的实轴长为 .12 22. 已知双曲线笃爲1（a 0,b 0）的右焦点为F ,若以F为圆心的圆x2y2 6x 5 0与此双曲线a2 b2的渐近线相切，则该双曲线的离心率为. 答案： 辽52 2VPF1F2 的3. 设双曲线 J 1的左、右焦点分别为F2,点P为双曲线上位于第一象限内一点，且45面积为6，则点P的坐标为 提示：注重方法的选择2 24. （2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为2 -y2 1（a b 0），过椭圆的右焦点且与 x轴垂直的直a b线

4、与椭圆交于 P,Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点 M，若 PQM为正三角形，则椭圆的离心率为_332x5.已知Fi、F2分别是椭圆82y 1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则4| PFi PF21PFi的取值范围是答案：0, 2.22提示：整体消元；或焦半径公式(文科学生适当掌握一些焦半径(椭圆)知识会有帮助) 2 26.设P为双曲线 笃 爲 i(a 0,b0)上除顶点外的的任意一点，a b圆交实轴于点 M贝U FiM F2M值为 说明：本题目的在于强化定义的运用 核心问题 聚焦突破 b22x 如图，在平面直角坐标系 xoy中，Ai,A2, Bi,B2为椭圆 二aFi1(a b,F2分别

5、为左右点,0)的四个顶点,Fi PF2内切F为其右焦点,直线AB?与直线BiF相交于点T,线段OT与椭圆的交点e 2 ,75变式训练：已知B为双曲线nur点，点A(0,b)，若满足 AP2 2-2i(a 0, b 0)的左准线与a buuu2AB的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为变式拓展分类解密题型一：直接求出 a,c，求解e恰为线段x轴的交例i ：已知圆锥曲线的标准方程或ca, c易求时，可利用率心率公式e来解决。a(2012扬州期末)已知椭圆2与 i(a b 0)过点P(3,i),其左右焦点分别是Fi,F2 ,且bFiP F2P6，则椭圆的离心率为题型二：构造a、c的齐次式，解出根据题

6、设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系(特别是齐二次 式)，进而得到关于 e的 元方程，从而解得离心率例2:已知Fi、F2是双曲线若边MFi的中点在双曲线上,e。2 2笃笃 i(a 0,b0 )的两焦点，以线段FiF2为边作正三角形 MFiF2,a b则双曲线的离心率是 解：如图，设MFi的中点为cclP，则P的横坐标为2，由焦半径公式1 PFiexp a,2即ccca，得2 c 20，解得a2aac e -13 ( 1.3舍去)a题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义(或统一定义)求解例3:( 1)设椭圆的两个焦点分别为 F,、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F

7、,PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是c解: e -a2c2a2c2c|PFi| |PF2|20, b0)上横坐标为 一的点到右焦点的距离大于它到左准线的距2解析：由题意可知(3a a )e (3a a )即3e 131解得e 22c2c22 e离，则双曲线离心率的取值范围是 利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解2 2xv(2)双曲线 2 1 (a 0,b 0)的两个焦点为 P、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF 2|，则双曲线ab离心率的取值范围为 分析：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢?解析

8、： |PF1|=2|PF 2|, IPF1I |PF2|=|PF 2|= 2a, |PF2| c a 即 2a c a 3a c所以双曲线离心率的取值范围为1 e 3点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不 小于c a )则可建立不等关系使问题迎刃而解.2 2(?1)O为坐标原点，且 0P垂直于PA则椭圆2X。2y0解：设P点坐标为(X0,y),则有a22X0axoy。20消去 y02得(a2 b2)x2 a3x2 2a b0若利用求根公式求 x运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由a2b2根与系数关系知ax0a bXo由0 x a得 2 e

9、 1 a b变式训练：2 y b21(a b 0)的两焦点为Fi( c,0), F2(c,0)，椭圆上存在点M使UJHVFMUJUJVF2M0.则椭圆离心率e的取值范围为解析:ULUV ULULV设 M(x,y),FM F2Mc2将y2b2唤代入得aa2b22Q0 xa2求得一2e 122 y b21(a b0)中x是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常变式训练：设椭圆 冷 爲 1的左、右焦点为F1,F2，左准线为I , P为椭圆上一点，PQ l，垂足为 a bQ,若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为2 2(3)已知椭圆 笃打 1(a b 0)右顶为A

10、,点P在椭圆上,a b的离心率e的取值范围为使用，应给予重视.运用函数思想求解离心率例5 :设a 1，则双曲线2X2 a(a 1)21的离心率e的取值范围是解析：由题意可知e1 (亍)2(11 )2 a 1 1 1 12aa题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用例6:如图，在平面直角坐标系xOy中,椭圆笃a岭 1(a b 0)的左、右焦点分别为 c,0), F2(c, 0).已 b知(1, e)和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.2(1 )求椭圆的方程;(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 AF1(第 19 题)与直线BF2平行，AF2与BFi交于点P.(i )若AF1 BF

11、2 f，求直线AF1的斜率;(ii )求证：PFi PF2是定值.变式训练：已知某椭圆的交点是(-4,0 ) , F2(4,0 ),过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F2B 10，椭圆上不同的两点 人(洛，), C(X2,y2)，满足条件F2A,F2B,F2C成等差数列。(1)求该椭圆的方程；求弦AC中点的横坐标。【专题总结画龙点睛】精要归纳：1. 离心率问题的求解方法：(1)建立一个关于a,b,c的齐次等式，再消除b，求出e；(2)建立一个关于a,b,c的齐次不等式，再消除 b，求出e的范围；(3)利用定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式 来求解e。(4)在求解圆锥

12、曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握 好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.2. 圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代 数问题。在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的等式(不等式)的化简，对字母运算能力要求较高。求 圆锥曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下， 确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是确定a2、b2的具体值, 常用待定系数法。专题检测水到

13、渠成2 2 2xVa1. 设点P在椭圆-+ 2= 1( a b0)上，直线l的方程为x ,且点F的坐标为(一c, 0)，作PQL l于 abc点Q.若P、F、Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e =2 22. 如图，已知椭圆 务 与 1(a b 0)的左、右准线分别为h,l2，且分别 a b交x轴于C, D两点，从h上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若AF BF，且 ABD 75，则椭圆的离心率等于6 223.已知双曲线2 2务鶴 1,(a0, b 0)的左，右焦点分别a b为F1, F2 ,点P在双曲线的右支上，且| PF1 | 4 | PF21,则

14、此双曲线的离心率e的最大值为 2 5解：|PF1|=4PF2|, IPF1I |PF2|=3|PF 2|= 2a , |PF2| c a 即一a c a a c3 35所以双曲线离心率的取值范围为1 e 52 2x y4.已知F1, F2分别为-2 1 (a 0,b 0)的左、右焦点,a bP为双曲线右支上任一点，若 曲的|PF最小值为8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是解析2可 (2a門|)2 4a2PF2PF2pF?PF24a 2、44a8a，欲使最小值为 8a，需右支上存在一点P,使 PF2 2a，而 PF2 c a即2a c a所以13.2V2 = 1(ab0)的左焦点为F,右顶点为 A,2 :x V5. ( 11年苏北四市二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆+ bP是椭圆上一点，I为左准线，PQL l