等积法求体积点到面的距离【教师版】

1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。 但在求 体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方 法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四 棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点 到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计 算三棱锥的体积。例1例2 . (2011佛山一中三校联考)如图，已知三棱锥 A BPC中，API PC，AC丄BC，M为AB中

2、点，D为PB中点，且 PMB为正三角形。(I)求证：DM/平面APC(H)求证：平面 ABCL平面 APC(川)若 BC= 4，AB= 20,求三棱锥 D-BCM勺体积.例2 .解：(I)由已知得，MD是 ABP的中位线MD / AP2分MD 面APC, AP面APCMD / 面APC4分(n)PMB为正三角形，D为PB的中点，MD PB，-.5 分AP PB6分又 APPC, PB PCP AP面 PBC7分BC面 PBCAP BC又 BCAC, AC APA BC面 APC9分BC面ABC 平面ABCL平面APC-10分(川)MD 面 PBC，MD是三棱锥M- DBC的高，且MD= 5.3

3、11分又在直角三角形 PCB中，由PB= 10，BC= 4,可得PC= 2,21 12分于是 S BCD S BCP = 2/2?， 13 分21i_VD BCM = Vm DBC Sh 10、714 分3(1)证明：BD 平面SAC(2)问：侧棱SD上是否存在点E，使得SBBAD 1200 QBDACSBSD2、2.SA2AB2 SB2, SA2AD2SD2SAAB,SA AD ABADASABDSAACA BD BDAC OOESBDOE /SBOESB/ BAD1200 S1ABD1AB AD sin120 22 112221VA SBDVS ABD_ S ABD SA3 22.3AB/

4、AB aAC 1 A BCC1 B1 B1D1 ABCD A333例3.(茂名2010二模)如图，在底 面是菱形的四棱锥 S ABCD中, SA=AB=2 SB SD 2J2.BDD1B1 BDC1 A1C ABCDABCD E,F AA,BB BDEF AB/EFAB/平面 DEFB DEF A DEF AHED AH平面 DEF AH三 ABCDABCD BB ADEFH 平面ADGE CC DG DG AD ADGE ADE DCCD DG DG ADGE ADEDG215 DG 辽42FDG DCCDc 32 -QFH8FP/ ADE PQAE已知在棱长为DG10是AB、CD的中点，求

5、点B到平面AEC F的距离。1113 DDF DCG 1 -44881的正方体ABCD-A BCD中，E、F分别等积法 Vb AEFVF AEB3三、知识运用3AB ,面SAD 面ABCD , M是线段AD例 1：如图四棱锥 S ABCD，AB AD,AB/CD,CD上一点，AB AM 1, DM DC,SM AD .(1)证明：BM 面SMC求点C到面SMB的距离。2EX1如图，（EF FHPBC S【解析】（2）解:在边长为BCFHPBC1）证明：点B为圆的圆心又 E是弧AC的中点， FC 平面 BDE ,又BD 平面FBD ,又 FD平面FBDAC为直径， BC EB即BDEB 平面 B

6、DE ,- FC EBFC 平面 FBD 且 BD FC C EB 平面 FBD , EB FDEB殳点B到平面FED的距离（即三棱锥 B FED的高）为h ./ FC 平面BDE , FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形 FBC为直角三角形由已知可得BC a，又FB5a)2a2 2a在 Rt BDE 中，BD 2a, BEa，故 S bde11VF BDES BDE FC 33又 EB 平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形， EF 6a,DE .5a，在 Rt FCD 中，FD121 2 ,234. 21V F BDEV B FED 即 a2 ha ,故ha32321即点B到

7、平面FED的距离为h4-2121备用题：1、四棱锥P-ABCD中，底面 ABC为直角梯形，PD 底面ABCD PD=DC=BC亍AB=2, AB| CD, AB(=90。，求点D到平面PAB的距离.2、四棱 锥P-ABCD中，底面ABC助正方形，PA底面ABCD AB= 6，分别求点C与点D到平面PAB的距离.3、如图几何体是由正方体 ABCD-AQD与四棱锥E-AiBQD组成，E为CC的延长线上一点， 且EC=CC, AB=2, M为EB的中点，求点M到平面ACD的距离.4、 如图 BCD与 MCDS是边长为2的正三角形，平面 MCD平面BCD AB平面BCD求点A到平面MC啲距离.C图55、圆锥PO如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆0的直径为AB，C是Ab的中点，D为AC的中占I 八、(1)求该圆锥的侧面积；(2)证明：AC 平面POD ;(3)求点0到平面PAC的距离.6、 如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且 GG= 2,求点B到平面EFG的距离7:如图，已知 ABCD是矩形，AB a,PA AD 2a , PA 面ABCD , Q是P