换元引参思想1

1、精品资源换元引参思想知识分析“换元引参”是一种常用的数学方法当题目的条件与结论看不出直接的联系(甚至相去甚远)时，为了沟通已 知与未知的联系，我们常常引进一个(或几个)新的量来代替原来的量，实行 这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发 现解题方向。换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法， 掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式(或新元换旧式、或 新式换旧元、或新式换旧式)，在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式 代换、三角代换、点代换与参数代换等。参数法是一种应用参数研究问题，解决问题的方法，参数的作用归纳起来有以下三点：(1

2、)作为桥梁，用参数把两个变量联系起来；(2)表示变化，借助参数表示问题中的所有“候选对象”；(3)促进问题转化，使不同数学分支的内容相互化归，从而利于问题的解决。下面我们将通过若干例子与练习来感受一下这种思想方法的魅力.引入例子21、若仪-z) -4(x-y)(y-z)=0,求证x, y, z成等差数列2作变换a=x-y，b = y-z，问题转化为(a+b) _4ab=0= a = b这有初一 的水平即可完成。2、设复数z1和z2满足关系式羽+血+西=其中a为不等于0的复数，证明|乙+a| |z2 + a|=| a|2 作变换 a=zi +a，p = 4 + a,问题转化为=| a|2=|。|

3、 p |=| a|2 这几乎是不证自明。典例精讲(一)式代换式代换是最常用的换元技巧，也就是把一些式视为一个整体(元)进行代 换，可以化高次为低次，变分式为整式，化无理式为有理式，从而达到化繁为 简的目的。【例 11 设 a0,求 f(x) =2a(sinx +cosx) sinx cosx2a2 的最大值和最小值。【例2】求同时满足下列两个条件的所有复数zz+1z + (1) 是实数，且1 0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）stn6 cose cos2 0 file 1。【例4】已知工=了 ，且x + y =3（#+7）（式）,求了的值。（二）三角代换三角代换是解题常见的、重要的换元

4、技巧，因为实施三角代换后，可以利 用三角式的变形公式和三角函数的性质，使解题途径增多，常会收到意想不到 的效果。(工- s+iy【例5】实数x、y满足 9+16=1,若x+yk0恒成立，求k的范围。【例6】(1)已知：|x|1, 求证(1-x) n+(1+x) n2n.(2)若 x 2-2xy+2y 22,求证|x+y| 1）,则 f（x）的值域是 c3 .已知数列a n中，a1 = 1, an书an = an+ an ,则数列通项an =。4 .设实数x、y满足x2 + 2xy1 = 0,则x+y的取值范围是。1 3自5 .方程1 +3x =3的解是6 .不等式 10g 2(2 x1) lo

5、g2(2x一 2)2 的解集是知识小结换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在 已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x + 2x-20,先变形为设2x = t (t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y= jx + j匚的值域时，易发现 xc 0,1,冗设*=$所2 ，ac0, 2 ,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y适合条件x2 + y2 = r 2(r0)时，则可作三角代换 x=rcos 0、y=rsin。化为三角问题。ss均值换元，如遇到 x+ y=s形式时，设x= 2 +t , y= 2 t等等。我们使用换元法时， 要遵循有