控制系统的数学模型

1、第二章控制系统的数学模型 2.1线性连续系统微分方程的建立 2.2传递函数 2.3控制系统的动态结构图 2.4信号流图本章主要内容 线性定常系统微分方程 的建立 非线性系统的线性化方 传递函数概念与应用 方框图及其等效变换 梅逊公式的应用等本章重点 传递函数的概念及其 求取方法、 控制系统方框图的构成和等效变换方法 典型闭环控制系统的 传递函数 梅逊公式的应用。概述1 .数学模型:描述系统变量之间关系的数学表达式2 .建模的基本方法：(1)机理建模法(解析法)(2)实验辩识法3 .控制系统数学模型的主要形式： 外部描述法:输入一输出描述(2)内部描述法:状态变量描述在控制系统的分析中，线性定常

2、系统的分析 有特别重要的意义。工程控制中常用的数学模型有三种: 微分方程时域描述 传递函数复域描述 频率特性频域描述本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型2.1线性连续系统微分方程的建立在控制系统的分析和设计中，建立合理的控制系统数学模型是一项极为重要的工作，它直接关系到系统分析结果的正确性和系统设计结果的可用性。因此，在建立系统的数学模型时，既要考虑数学模型的精确性，又要注重数学模型的简易性。一个合理的数学模型应该能 够以最简形式来正确描述系统的性能。2.1线性连续系统微分方程的建立建立控制系统微分方程的步骤根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，将系 统正确划分为若干环节，并确定出各环

3、节乃至整个 系统的输入量和输出量。(2)从输入端开始，根据各环节所遵循的各种定律，依次列写出相应微分方程，组成联立方程组。(3)消去中间变量，求取只包含系统(或元件)输入量和输出量的微分方程。(4)将系统的微分方程整理成标准形式。即把含有输出量的各项移至方程的左边,把含有输入量的各项及其常数项统统移至方程的右边，两边都按降阶排列，并将有关系数化为具 有一定物理意义的表示形式，如时间常数和比例系数等。二二消去中间变量,可得电路微分方程式0i(x2-x20)x10,x20，0f（x x ）、式中，为变量x1对输出改变量的参数; c/a1）1/x10,x20式中jafg为变量x2对输出改变量的参数;

4、i女2八0控制系统的微分方程图2-7具有负反馈的速度给定控制系统原理图图2-8图2-7控制系统方块图l运算放大器单元凌啜卷rui =-l(ur-uf) = -k1(ur-uf) = -k1u %2 .反相器单元r。r。u2r。= klue3 .功率放大器单元ua=k2u24 .他励直流电动机单元d2co(t) dco(t)%丁+工丁+即5 .测速发电机与反馈电位器单元u(t) = cetco(t)uf(t) = oc2c etco(t) = kfco(t)kf 二 a2ettit d2co(t) t dco(t) ,、 kk?r _ + + co(t)=ur(t)m1 + k dt2 1 +

5、k dtcp(l + k) 1 c cn(l + k) ,vc illk.k.k.k二2上 cl例26用机理分析法列写图示转速控制系统的微分方程。17ix电动机轴上的转矩平衡方程.fwn =-)m /) atlj.d：+(l3+凡尺/7+ac)端atat=cniua(0-la ms _r mg) ni v / a 7/a 八/at在工程应用中，由于电枢电路电感la较小，通常忽略不计, 因而上式可化简为+% (0 = km 一 kmsat式中 仆=rajm / (rafm+cince)是电动机机电时间常数；k4=cm/ (&*+&)，k5=ra/ (rafm+cmcj是电动机的传递系数。若考虑负

6、载和齿轮系后，上式可变为7m+ 叫=as k：m c 式中tm、k、kc、m1(t)均是考虑齿轮系和负载后, 折算到电动机轴上的等效值。设齿轮系的速比为i,则电动机转速3 m经齿轮系减速后变为3，故有1二:3m测速发电机的输出电压uf与其转速3成正比，既有消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程t桃也+ co = k dt du,工+ ki”可用于研究在给定电压ug或有负载扰动转矩me时，速度控制系统的动态性能。作业：p48 2-1 (b)5 2-4, 2-6%拉普拉斯变换拉氏变换f=f(t)eydtf=ul(t)的拉氏变换为= -he-stsf(s)= j； f(t)e-stdt =

7、j ue-stdtf(t) = ue-at的拉氏变换为f(s) = j； ue-at e-stdt = j； u e-(s+a)tdt=-es + a-(s+a)t拉普拉斯变换f(t) = ucoscot的拉氏变换为f(s) = |o ucoscot e-stdt =ejt -jcottju e-stdt = -21s jco s +jco jus一2s- +co-f(t) = e-atsincot的拉氏变换为二 j； e-atsincdte-stdt = jo e-at介 jst _ q -jst a -(s+a-jo)t _ -(s+a+jco)t e-stdt = r -dt2jjo-2

8、jco(s + a)2 +cd22jl s + a-jco s + a +jco；f(t) = l(t-t)的拉氏变换为f(s)= j； l(t - t) e-stdt = j： l(t - t) e-stdt =l(u) e-s(u+t)du = est l(u) e-sudu =f(t) = 8(t)的拉氏变换为f=1f(t) = utl(t)的拉氏变换为f(s)=三s-f(t) = t2的拉氏变换为f(s) = =2sf (t) = sin cot的拉氏变换为f=、一s+crf(t) = e-atcoscot 的拉氏变换为f(s)=上等-(s + a) + co-拉氏变换的微分性质：f(

9、t)etdt二sf二阶导函数的拉氏变换为；c ft)e-stdt = s2f(s) “ u_n阶导函数在零初始条件下的拉氏变换为j；f(n)(t)e-stdt = snf(s)拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的定义将象函数s)变换成与之相对应的原函数/的过程，称之简写为17)=广夙” .拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。拉普拉斯变换简表（待续）序号 原函数加）（t 0）象函数f（s）=lf（t）1 （单位阶跃函数）11s28（f）（单位脉冲函数）13k （常数）ks4t （单位斜坡函数）1s2拉普拉斯变换简表（续1）序号原函数a。

10、a 0）象函数尸= /(，)w!sn+1tn e -at(=i,2,)n(s+a)般+i1ts + 1拉普拉斯变换简表(续2)序号原函数/)ao)象函数厂(s) = l%)9sinjaro) s2+a10cos 0rs s2+a11e 皿 sin cot(o(s+a)2+fi/12e at cosa)ts+a(s+a)2+苏微分定理推广到”阶导数的拉普拉斯变换:d/dtn二 s#(s)-st/(0)-s(0)小-2)(0)_/(/)(0)如果：函数/(，)及其各阶导数的初始值均为零，即/(0)= r(o)= f二二:一 2)(0)= fg) (0) = 0则:dv(odtn=s f(s)1 r

11、 1 =-/(o)d/ + -f(5)bl-wb2.2传递函数l传递函数的定义和性质定义：设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述:d ,、 d t /、 d ,、,、。r c+% 。+%-i30+许c) atataid nit i7=/ 而/ + 瓦，) + + bi r + bn)在零初始条件下，取拉氏变换得：(%s + %st +au_xs+% )g(s)=(瓦卡 + bst +4_卢 + b)r(s)将变换后的输出像函数与输入像函数之比定义为控制系统 的传递函数73 = 3= %+小 +鬣（s）一火（s）q0s + clys +q_s + q传递函数的性质(1)如果系统的传递函数是s的

12、有理真分式函数，具有 复变函数的性质。(2)传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入 信号的形式无关。(3)传递函数与微分方程可相互转换。ddt(4)传递函数t(s)的laplace反变换是系统的脉冲响应 g)。2.典型环节的传递函数及暂态特性1）比例环节：其输出量和输入量的关系,由下面的代数方程式来表示4 (t) = kxr (0式中k一环节的放大系数，为一常 数。传递函数为:t(s) = l=kr(s).已r(s) . r? c)u+9ri2）积分环节：环节的输出量是输入量的积分传递函数为:小9h图中电动机传动系统:(pc(t) = kut(s) = 1= u r(s)s当输入量为阶跃

13、函数 时，则输出量为：(b)(d)图2-13积分环节其它举例ng）兀 口x。）3）惯性环节输入与输出满足:了阳dt+ x) = x)t(s) =x0(s)= kx,(s) 八 +1现求输入量为单位跃阶函数时, 惯性环节输出量的函数关系x/s) = k(1-s(s + 1/t)求拉氏反变换得/二k(i)其他一些例子4)微分环节微分环节具有超前性。xc(t) = tdt(s) =x r(s)=ts传递函数为:5）二阶环节这种环节包括有两个储能元件，当输 入量发生变化时，两种储能元件的能 量相互交换。在阶跃函数作用下，其 暂态响应可能作周期性的变化。今以 klc电路为例加以说明。电路的电压 平衡方程

14、式为：-dudulcf +=t1rdt2dt在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为:丁=器%疗+1加4($2+2 加将传递函数转换为:t(s) =/lc _：2 工 r .152 + 2695 + (os h5 h l lc式中： =2振荡环节的自然振荡角频率g = ；振荡环节的阻尼比。当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为:xc (s)=5(52 + 2(dns + g)l )当。1时，上式特征方程的根为共甄复数输出量为:=1 ,sin0 = arctan由于,极点为sl,2 二 y% 土i(t)c(t)06. 一阶微分环节7.二阶微分环节c(t) = ki- + r(t)t(s) = 2

15、= kts + 1ns)/、叱 2 d2r(t) dr(t) /、 c(t) = kt 2 一廿 + kt + r(t) dt2 dtt(s) = - = kt2s2+kts + 1 ns)9.延迟环节c(t) = r(t - t) tt(t)1 -c(s) = e-tsr(s)0，c(t)1 -r(s)轧钢机延迟环节的例子c(t) = r(t-t)t(s) = 2 = cr(s)-ts/二（ 一7）传递函数为:图2-18带式运输机时滞环节三.传递函数的性质拉氏变换是一种1）传递函数是经拉氏变换导出的co线性积分运算,因此传递函数只适用 0于线性定常系统。2）传递函数只描述系统的输入输出特性，

16、是系统的 的外部描述，不反映系统内部任何信息。3）传递函数是系统本身的属性表示，它只取决于系 统地结构和参数，而与输入量的大小和性质无关。4）传递函数与微分方程所包含的信息相同。因为传递函数的分子多项式及分母多项式与相应微分方程的右端及左端算子多项式相对应。5）传递函数是一种数学抽象，不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传 递函数。6）传递函数通常为复变量的有理分式，即nm,因为实际系统总是具有惯性的，而输入的能量也 是有限的，所以其输出一般不会超前于输入。作业：p49 2-1 （b） 2-4 2-6 . .k=_ r2当=:（勺出-卜2而） =4 画）qco =卜2值7q

17、i =qrlqro=kiapiiah = hh0qi。411tt0单容水槽的惯性响应特性2月o dah att 2k1vho+ ah = k9 dtfk92酊而0fie? = k2a/h 01 s + 1s + 1及2_ th(t)-h0=k(kin-pi10)(l-e-t)试求下图所示无源网络的传递函数，其中r1=r2=1q, l=1h, c=lfo试求下图所示无源校正网络的的传递函数。c11o1=)ori i5r2 u22.3控制系统的动态结构图控制系统的结构图:描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种 图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种 直观的描述。系统结构图的组成

18、系统结构图一般有四个基本单元组成（1）信号线.（2）引出%（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系 统的传递函数。（a）信号线（b）综合点/曲）（c）引出点邢）（d）环节方框 1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节。 2)根据预先确定的变量名，由输入到输出的顺序，依次列 写出系统中每个环节的方程。 3)设初始条件为零并对上述方程进行拉氏变换，求出全部 象方程，并逐个整理成c(s)=g(s)r(s)的形式。 4)根据象方程画出对应各个环节的方框。 5)按照系统的结构关系和信号流向，正确连接各环节方框。 先根

19、据由输入到输出的顺序，自左向右连好前向通道，再 补齐反馈通道和外作用量。 6)标明所有信号的复变量名称，即得完整的系统动态结构 图。无源网络的方框结构图u(s) = /(s)r+uc u(s) = /(s)&12(s)7t cs/(s)= /(s)+ /2(s)例:绘制系统的动态结构图。r(t)-%(t)= ii(t)u1(t)= -lfi1(t)-i2(t)dt5%(t) c(t)r2= i2(t)以。=；门2。）出(b)将上图汇总得到:cj5cg)q（s） =i。uf（s）工-1 m；（s）tltms2+tms + 1q 各环节连接成系统动态结构图系统传递函数和结构图的变换和简化任何复杂的

20、系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算 后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则 变换前后的变量之间关系保持不变一、典型连接的等效传递函数rp)仿一 3r(s) rg(s)g2(s)g(s) =(s)g2 (5)(1)串联等效g(s)=g2 伙s)=g2(s)gl (s)邺)的邺）a g(s)+q(s)g(s)=g (s)及(s)+g2 (s)k(s)=q (s)+g2 (s)k(s)，s)=5(s)+5 (s)（3）反馈c(s) = g(s)e(s)=邠)因s) b(s)=g(s)r(s

21、) 土g(s)h(s)c(s)c(s) =邪）1不邠）吸）&s)=/ s)r(s)r:、相加点及分支点的位运算移动前后保持信号的等效性(1)相加点从单元的输入端移到输出端，如图(2)相加点从单元的输出端移到输入端，如图所示（3）分支点前移c=（4）分支点后移/?r例2.11化简例2. 9所求两级rc网络的动态结构图（见图 2.20）,并求出系统的闭环传递函数。图2. 20两级rc网络的动态结构图单位反馈结构等效变换储（、）综合点前移的等效变换单位反馈结构等效变换2gg j + (r + r2c2 + r)s+i例2. 12试求图2. 26所示多回路系统的闭环系统传递函数。ug)图2.26三回路

22、闭环系统结构图并联结构等效变换负反馈结构等效变换g。3 1+c2 c3 (c4+ c5 )串联结构等效变换g g2 c31 + c2 g3 ( g4 + c$ ) + g62 g3g5闭环系统的总传递函数例试简化图示系统结构图，并求系统传递函数c(s)g2g)c(s) =0（s）=g（5*2（s）r(s) 1 + gi (s) + g2 (5) + gr (s)g2 (s)hx (s)三、控制系统传递函数自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类输入信号的 作用，一类是给定的有用信号，另一类则是对系统正常工作进 行干扰的扰动信号。闭环控制系统的典型结构可用图2. 31表示图2. 31闭环控制系统

23、的典型结构图(1)系统开环传递函数系统开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分 析系统的主要数学模。在图2.31中，将反馈环节h(s)的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递g1(s)g2(s)h(s)称为系统的开环传递函数。相当 于 b(s)/e(s)。输入信号u(t)作用下的系统闭环传递函数闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。令n(t)=o,图2.31变为图2.32,输出c (t)对输入u(t)的传递数为(s)=c(s)g(s)g2(s)r(s) 1 + g1(s)g2(s)h(s)(2-19)称(s)为u作用下的系统闭环传递函数。 g(s)a g2(s)c(s)b(s)h(

24、s) 图2. 32输入信号作用下的系统结构(3) n作用下的系统闭环传递函数为了研究扰动对系统的影响，需要求出c(t)对n(t)的传递函数。令n(t)=o,图2. 31转化为图2. 33,图2.33干扰作用下的系统结构由图可得g2(s)m5)- 1 + g(s)g2(s)8(s)( 23)(s) =c(s)称为n(t)作用下的系统闭环传递函数。(4)系统的总输出当给定输入和扰动输入同时作用于系统时,根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各 输入信号引起的输出之总和。因此有。=r(s) +n(s)1 + g(s)g2(s)h(s)k(s) +g?(s)1 + g(s)g2(s)7/(s)在上式中

25、，如果满足同g2(s)(s)|1及(s)(s)| 的条件，可简化为斐丁/、 r(s)+ 6n(s)h(s)r(s) 1 n(s)r(s)i i c j l = h g(s)(s)h(s)(2-21)式(2-21)表明，在一定条件下，系统的输出只取决于反馈通道传递函数h(s)及输入信 号r(s),即与前向通道传递函数无关，也不 受扰动作用的影响。特别是当h(s)=1,即单 位反馈时，从而近似实现了对输入信号的完 全复现。这说明反馈系统对扰动具有较强的 抑制能力。(5)闭环系统的误差传递函数误差大小直接反映了系统的控制精度。 在此定义误差为给定信号与反馈信号之差， 即e(s)=r(s)-b(s)1

26、) u作用下闭环系统的误差传递函数中式5)令n(t)=o,则可由图2.33转化得到的图2.31求得图2.34 u作用下误差输出的结构图 2)n(t)作用下闭环系统的扰动误差传递函数 取u(t)=o,则可由图2. 35,求得 .(s)_- g2(s)(s)e n(s) + g(s)g2(s)(s)b(s)gms) a = 1 + cf + bedga =1+ 0 x f + oxoxoxg = l例29试用梅逊增益公式计算总传输。-dh ；z l = -abcdem - fdem - bg - dhh=0z l l c=bgdh + bgfdem 不接触回环：有两对两两不接触回环回环：4个a = l-zla + jlblc =l + abcdem+tdem+bg + dh + bgdh + bgtd