椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程 教学目标 1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 2了解椭圆的标准方程的推导及简化过程(难点) 3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点) 教材整理1椭圆的定义 阅读教材P32探究思考以上部分，完成下列问题 把平面内与两个定点 Fi, F2的距离之和等于常数(大于|FF2|)的点的轨迹叫做椭 圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 课堂练习 判断(正确的打“V”，错误的打“X”) (1) 已知Fi(-4,0),F2(4,0),到Fi ,F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.() (2) 到Fi(-4,0)，F2(4,0)两点的

2、距离之和等于12的点的轨迹是椭圆.() (3) 到F1(-4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.() 【解析】(1)X .因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在， 故错. V 由椭圆定义知，对. X .其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错. 【答案】(1)X V (3)X 教材整理2椭圆的标准方程 阅读教材P32思考P34例1以上部分，完成下列问题 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 2 2 拿+1(a b 0) 22 眷+皆1 (a b 0) 焦点坐标 (c,0), (c,0) (0, , (0， c) a, b, c的关系 c2= a2

3、 b2 判断(正确的打“V”，错误的打“X”) (1) 椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2= b2 + c2.() (2) 平面内到两个定点Fi, F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.() (3) 椭圆的特殊形式是圆.() 椭圆4x2+ 9y2= 1的焦点在y轴上.() 【答案】(1) VXXX 2 2 (1)椭圆25+ y9 = 1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的 距离为() A.5B.6C.4D.10 2 2 (2)椭圆X9 + 看 1的焦点为F1, F2, AB是椭圆过焦点F1的弦，则厶ABF2的周长 是() A.20B.12C.10D.6 【自主解答

4、】(1)设P到另一焦点的距离为r，贝U r + 5= 2a= 10,二r= 5. 伯 F1|+ |BF2| = 2a, t AB过F1,二AB|=AF1| + |BF1|.由椭圆定义知， |AF1|+ |AF2|= 2a, AB|+AF2| + |BF2|= 4a = 20. 【答案】(1)A (2)A 在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的 轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决 再练一题 2 2 1. (1)设p是椭圆25+16= 1上的点，若Fi, F2是椭圆的两个焦点，则|PFi|+ |PF2| 等于() A.4B.5C.8D.10 已知Fi(-4,0)

5、, F2(4,0),则到Fi, F2两点的距离之和等于 8的点的轨迹是 a=2,、x22 则二所求椭圆的方程为4 + y= 1; b= 1.4 J 2 2 当椭圆的焦点在 y轴上时，设方程为拿+1(ab0). 椭圆经过两点 (2,0), (0,1), 04, a2 + b2二 1, a=1, 则与ab矛盾，故舍去. b = 2, 2 XQ 综上可知，所求椭圆的标准方程为 -+ y2二1. 法二 设椭圆方程为 mx2+ ny2= 1(m0, n0,n). 椭圆过(2,0)和(0,1)两点, 4m= 1, $ n= 1, 1 m=4, 综上可知，所求椭圆方程为 n= 1, 椭圆的焦点在y轴上， 2

6、 2 可设它的标准方程为* +存=1(ab0). P(0, 10)在椭圆上， a= 10. 又：P到离它较近的一焦点的距离等于 2, c ( 10)= 2,故 c= 8. b2 = a 一c = 36. 2 2 .所求椭圆的标准方程是100+3x6= 1. 1求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出 方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量. 2. 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2+ ny2 = 1(mn, m0, n0).因为 它包括焦点在x轴上(mv n)和焦点在y轴上(m n)两类情况，所以可以避免分类 讨论，从而达到了简化

7、运算的目的. 再练一题 2.根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1) 两个焦点的坐标分别是(一4,0), (4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离之 和等于10; (2) 求经过两点(2, 2), 1,弓4的椭圆的标准方程 2 2 【解】(1) 椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为a2+器=1(ab0). T 2a= 10,2c= 8,二 a= 5, c= 4. 2 2 b2 = a2 c2= 52 42= 9.故所求椭圆的标准方程为 务+弋=1. 2 2 法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为生=1(ab0). 4211 a2+ 芦1，孑 8， 由已知条件得“解得 1 114II 孑+

8、话=1，用=4. 2 2 所以所求椭圆的标准方程为8+1=1. 2 2 1 1 产8, 解得 11 孑=4. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 事+含=1(ab0). r 4 2 , +a2二1, 由已经条件得彳 “ 114 尹荷二1, 即a2= 4, b2= 8,则a2 b0矛盾，舍去. 2 2 综上，所求椭圆的标准方程为 侖+ 4 = 1. 法二 设椭圆的方程为 Ax2 + By2= 1(A0, B0, AmB). 将两点(2, 2), T,今代入， 4A+ 2B= 1, 得 14 A+B二 1, A= 8, 解得 彳 4, 2 2 所以所求椭圆的标准方程为倉+y4=i. 探究轨迹和轨迹

9、方程有什么不同？ 【提示】轨迹和轨迹方程是两个不同的概念. 求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型. 求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 2 2 已知点M在椭圆36+ y9 = 1 上, MP垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足 为P,且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程. 【精彩点拨】设P(x，y) f用x，y表示M的坐标 -把M坐标代入椭圆方程化简得所求轨迹方程 【自主解答】设P点的坐标为(x, y), M(xo, yo)，Px(, 0). 2 2 点 m 在椭圆上，36+yo= 1. 又 M是线段PP的中点, xo= x, 沪2, 2 2 代入上式，得36+3

10、6= 1, 即x2 + y2= 36.故P点的轨迹方程为x2 + y2 = 36. 小结 1. 本题中由点P, M的关系，得到等式xo = x, yo =2是关键利用点M在椭圆上, 将含xo, yo的式子代入椭圆方程便得到了动点 P的轨迹方程，此法称为“代入 法”，此类问题一般使用此法. 2. 求轨迹方程的主要方法 (1)定义法 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合 椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可 相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动 点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去， 即

11、可解决问题，这 种方法称为相关点法 用相关点法求轨迹方程的步骤： 设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y) = 0上的动点Q(x, (1x，y y，找出P，Q之间坐标的关系，并表示为，丿 将x，y代入f(x， ly =屉(x，yj. y)二0,即得所求轨迹方程 再练一题 3. 如图2-1-1，设P是圆x2 + y2= 25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为 4一 PD上一点，且|MD|= 5IPDI.当P在圆上运动时，求点 M的轨迹C的方程. 解 设点M的坐标是(x, y), P的坐标是(xp, yp), 4 因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=

12、 5IPDI,所以xp = x, f、22 且 yp=fy 因为P在圆x2 + y2= 25上，所以x2+ 5y 2 = 25,整理得务+也=1, 2 2 即c的方程是2f+焉=1. 练习 2 2 1. 已知椭圆a2+专=1的一个焦点为(2,0),贝u椭圆的方程是() 2 2 2 2 2 2 2 A.+ A 1 B.+ y2 = 1C.x2 + A 1D* +=1 解析由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c= 2,由a2= b2 + C2, 2 2 得a = 2 + 4 = 6,因此椭圆方程为6 +与=1,故选D.【答案】D 2 2 2. 若方程25L m +帚旨=1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U实数

13、 m的取值范围是 () A. 9v mv 25B.8v mv25 C.16v mv 25 D.m 8 7-125 m 0, 【解析】由题意知 m+ 90,解得8vmv25,故选B. m+ 9 25 m, 【答案】B 3已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为2. 15, 则此随圆的标准方程为. 【解析】由题意知 2a = 8, a a = 4, 2c= 2.15, a c= . 15,二 b 2 a动点P的轨迹C的方程为中+卷=1. = a2 c2= 1, 2 2 故此椭圆的标准方程为x2+6= 1.【答案】x2+6= 1 2 2 4. 已知椭圆49 + 24= 1上

14、一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线夹角为直角，贝U |PF1| |PF2| =. PF1|+ |PF2|= 14, 【解析】由题意可得22解得|PF1| |PF2|= 48.【答案】48 JPF1T+ |PF2| = 100, 5. 已知M(4,0), N(1,0),若动点P满足MN MP = 6|NP|.求动点P的轨迹C的方程. - 【解】 设 P(x, y),则 MN = ( 3,0), MP = (x 4, y), NP= (x 1, y), , 2 2 由题可得一3(x 4) = 6x 1 2+ y2,化简得 3x2 + 4y2= 12,即乡 + = 1, ”可见，一个人的心胸和眼光

15、，决 清代 红顶商人”胡雪岩说： 做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。 定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。 人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥 泞；走过了失败，就走向了成功！ 一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万 击还坚劲，任尔东南西北

16、风。” 梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为 顺境，将梦想变为现实。 实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上! 【解析】：a= 5, |PFi| + |PF2|= 2a = 10. (2)由于动点到F1, F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段 F1F2. 【答案】(1)D (2)线段F1F2 根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(一4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和 (0,1)两点； 焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0,-10), P到离它较近的一个焦点的 距离等于2. 【精彩点拨】本题考查椭圆标