椭圆的定义与标准方程基础练习(含答案)

1、.选择题（共19小题） 椭圆的定义与标准方程 1.若Fi （ 3, 0）, F2 （- 3, 0）,点P到Fi, F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是（ A. 2 2 匚二1 25 16 2 T 7 2 C. D. 2 2 2 2 或 25 16 25 16 . . . . 2 2 . . . 2 2 . . . 2.一动圆与圆 x +y +6x+5=0及圆x +y - 6x- 91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（） A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 2 2 3.椭圆討戶上一点p到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为（ A. 4 B. 5 C. 6 ) D. 10 4.已知坐标平面

2、上的两点 A（- 1 , 0）和B（ 1 , 0）,动点P到A、B两点距离之和为常数 2,则动点P的轨迹是（ A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.线段 5 .椭圆务律1上一动点P到两焦点距离之和为（） A. 10 B.8 C. 6 D.不确定 6.已知两点 F1 (- 1 , 0)、F2 (1, 0)，且 |F 1F2I 是 |PF1| 与|PF2| 的等差中项，则动点 P的轨迹方程是（） A. 2 2 16+V=1 B. 2 2 16412=1 D. 7. 已知F1、F2是椭圆 =1 的两焦点，经点 F2的直线交椭圆于点 A B, 若 |AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ A. 16

3、 B. 11 C. 8 D. 3 8. 设集合 A=1 , 2, 3, 4, 5, a, b A,则方程 2 2 +竺二1表示焦点位于y轴上的椭圆（ a b A. B. 10个 C. 20 个 D. 25 个 9. 方程 2 2 B-2 2 C- 2 2 D.匸 2 鼻厲1 春* 1 25 16 25 21.1 25 4 25 21 1 化简的结果是（ ) A. I -;=10, 10. 平面内有一长度为 2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是() A. 1，4B. 2，6C. 3，5D. 3，6 11. 设定点Fi (0, - 3), F2 (0, 3)

4、,满足条件|PFi|+|PF 2|=6，则动点P的轨迹是() A.椭圆B.线段 C.椭圆或线段或不存在D.不存在 12.已知 ABC的周长为20,且顶点 B ( 0,- 4), C (0, 4),则顶点 A的轨迹方程是( (xm 0) (xm 0) (xm 0) (xm 0) 13. 已知 P是椭圆齢沪 上的一点，则 P到一条准线的距离与 p到相应焦点的距离之比为( ) A. 4 B. 5 C.亚 D.4 5 4 V7 14 .平面内有两定点 A B及动点P,设命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以 A B为焦 点的椭圆”，那么() A.甲是乙成立的充分不必要条件

5、B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件 2 2 15如果方程_ 表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是() 4 _ m iri- 3 C. 2 2 )条件. B.充分不必要 D.既不充分又不必要 A. 3v m0” 是“ mx2+ny2=mn为椭圆”的( A.必要不充分 C.充要 17. 已知动点 P (x、y)满足10.,|-=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定 18. 已知 A (- 1 , 0) , B (1, 0),若点 C ( x , y)满足吋 G - 1)盯/二 |厂4|,贝

6、 |0+应|=() A. 6B. 4C. 2D.与x , y取值有关 2 2 19. 在椭圆|：中，F1 , F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF 2| ,则该椭圆离心率的取值范围是 芒bZ A已 i)B 已 i)C 丄)D 4i 3333 二填空题(共7小题) 2 I I 2| 20 方程云+工=1表示椭圆，则k的取值范围是 则 |AC|+|BC|= k _ 3 k+3 21.已知 A (- 1 , 0), B (1, 0),点 C (x, y)满足: 2 2 22设P是椭圆上的点若R、F2是椭圆的两个焦点，则PFg _ 23. 若k Z,则椭圆 2 2 J F =1 1+k 3 -

7、 k2 的离心率是 2 2 24 P为椭圆=1上一点，M N分别是圆(x+3) 2+y2=4和(x - 3) 2+y2=1上的点，贝U |PM|+|PN|的取值范围是 25 16 2 2 25. 在椭圆仝_+M_=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是 25 9 2 2 26. 已知O Q (x - 1) +y =16，动OM过定点P (- 1, 0)且与OQ相切，则M点的轨迹方程是： 三解答题(共4小题) - 27 已知定义在区间(0, +R)上的函数f (x)满足-f (，且当x 1时f ( x)v 0 七12 (1) 求f (1)的值 (2) 判断f ( x)的单

8、调性 (3) 若 f (3) =- 1,解不等式 f (|x| )v 2 28. 已知对任意x.yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)- t (t为常数)并且当 x0时，f(x)v t (1) 求证：f (x)是R上的减函数； 2 (2) 若 f (4) =- t - 4,解关于 m 的不等式 f (m- m) +2 0. 29. 已知函数y=f (x)的定义域为 R,对任意x、xR均有f (x+x) =f (x) +f (x)，且对任意x 0,都有 f (x)v 0, f (3) =- 3. (1) 试证明：函数 y=f (x)是R上的单调减函数； (2) 试证明：函数 y=f (x)是

9、奇函数； (3) 试求函数 y=f (x)在m, n (m nZ,且mrx 0)上的值域. 30. 已知函数 f (k) F - 一 I (a是 奇函数. 2X+1 (1) 求a的值；(2)求证f (x)是R上的增函数；(3)求证xf (x)0恒成立. 参考答案与试题解析 .选择题(共19小题) 1. 若Fi( 3,0),F2(-3,0),点P到Fi,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是() 2 2 B. D. C. 考点： 椭圆的定义。 专题： 计算题。 分析： 由题意可知点P的轨迹是以F1、F为焦点的椭圆，其中c-3f b= Ja2 - c=4，由此能够推导出点 P的轨迹方程. 解答：

10、解：设点P的坐标为(x, y), |PF1|+|PF 2|=10 IF1F2F6 , 点P的轨迹是以F1、F为焦点的椭圆， 其中 a=5f c=3f b=a2 - c2=4, 2 2 故点M的轨迹方程为丄+乙二1 , 25 16 故选A. 点评： 本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答， 避免出现不必要的错误. 2. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2 - 6x- 91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是() A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 考点：椭圆的定义；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定。 专题：计算题。 分析：设动圆的半

11、径为r，由相切关系建立圆心距与 r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可 解决问题. 解答： 解：x +y +6x+5=0 配方得：(x+3) +y =4; x +y - 6x- 9仁0 配方得：(x - 3) +y =100; 设动圆的半径为r，动圆圆心为P (x, y), 因为动圆与圆 A: x +y +6x+5=0及圆B: x +y - 6x - 9仁0都内切， 贝U PA=r- 2, PB=10- r . PA+PB=8 AB=6 因此点的轨迹是焦点为 A、B,中心在(0 , 0)的椭圆. 故选A. 点评：本题主要考查了轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线

12、的定义直接写出轨迹方程. 2 2 3. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为 5,贝U P到另一个焦点的距离为() 25 9 _i A. 4B. 5C. 6D. 10 考点：椭圆的定义。 专题：计算题。 分析：由椭圆方程求出 a的值，再由椭圆的定义即|PFi|+|PF 2|=2a进行求值. 解答： 解： ： 了 - , a=5, 25 由于点P到一个焦点的距离为 5,由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为 2a- 5=5. 故选B. 点评：本题考查了椭圆的标准方程和定义的应用，属于基础题，比较简单. 4.已知坐标平面上的两点 A(- 1 , 0)和B( 1 , 0),动点P到A、B两点距离之和为常数

13、 2,则动点P的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.线段 考点：椭圆的定义。 专题：转化思想。 分析：计算出A、B两点的距离结合题中动点P到A B两点距离之和为常数 2,由椭圆的定义进而得到动点P的轨 迹是线段. 解答：解：由题意可得：A (- 1, 0)、B (1 , 0)两点之间的距离为 2, 又因为动点P到A B两点距离之和为常数 2, 所以|AB|=|AP|+|AP| ，即动点P在线段AB上运动， 所以动点P的轨迹是线段. 故选D. 点评：解决此类问题的轨迹收视率掌握椭圆的定义，以及椭圆定义运用的条件|AB| V|AP|+|AP| ,A、B为两个定点， P为动点. 2 2 5

14、 .椭圆 上一动点P到两焦点距离之和为() 9 16 A. 10 B.8 C. 6 D.不确定 考点：椭圆的定义。 专题：计算题。 分析：由于点P在椭圆上，故其到两焦点距离之和为2a,从而得解. 解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为 2a=8, 故选B. 点评：本题主要考查椭圆定义的运用，属于基础题. 6.已知两点F1(- 1 ,0)、F2(1,0),且|F 1F2I是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是() A. 门汽1 B 2 2 C. 16+ 9 1 12 1 汀3一1 罰4 考点：椭圆的定义。 专题：计算题。 分析： 根据|F 1F2I是|PFi|

15、与 |PF2|的等差中项，得到2|FiF2|=|PF i|+|PF2|，即 |PFi|+|PF2|=4，得到点P在以Fi,F2 为焦点的椭圆上，已知 a, c的值，做出b的值，写出椭圆的方程. 解答：解：TF i ( 1, 0)、F2 (1 , 0), |F 冋=2 , / |F 1F2I是|PFi|与|PF2|的等差中项， 2|F iF2|=|PF i|+|PF 2| , 即 |PFi|+|PF 2|=4 , 点P在以Fl, F2为焦点的椭圆上， / 2a=4, a=2 c=1 2 -b =3, 2 2 椭圆的方程是 兰一+丫_二1 43 故选C. 点评：本题考查椭圆的方程，解题的关键是看清

16、点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相 关点法可以应用. 2 2 7.已知Fi、F2是椭圆 二一J_=1的两焦点，经点 F2的直线交椭圆于点 A B,若|AB|=5，则|AFi|+|BF i|等于() 169 A. 16B. 11C. 8D. 3 考点：椭圆的定义。 专题：计算题。 分析：根据A, B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a,根据AB的长度写 出要求的结果. 解答：解：直线交椭圆于点A、B, 由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF 1|+|AB|=4a , |AF1|+|BF 1|=16 - 5=11, 故选B 点评：本题考查椭圆的定

17、义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是 一个定值二倍的长轴长. 2 2 a=1, a=1, a=1, 2 ； 2, 3; 2, 3, 4; 共10个 故选B. 点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出av b 属基础题. A. 9.方程 （計2） 2 + y? = 10，化简的结果是（ B. 25416=1 D. 所以椭圆的方程为: 考点： 椭圆的定义。 专题： 计算题；转化思想。 分析： 首先对等式进行化简，进而由椭圆的定义得到点P的轨迹是椭圆，再计算出 a, b, c即可得到答案. 解答： 解：根据两点间的距离公式可得： J（K -2

18、）片/表示点P（x, y）与点F1 （2, 0）的距离，寸（计鮎片/表示点P （x, y）与点F2 （- 2, 0 ）的距离， 所以原等式化简为|PF1|+|PF 2|=10 , 因为 |F 1F2|=2 v 10, 所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且 a=5, c=2, 2 所以b=21. 故选D. |PFi|+|PF 2| IF1F2I . 点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义，以及掌握形成椭圆的条件是 10. 平面内有一长度为 2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（） A. 1, 4B. 2, 6C. 3, 5D. 3, 6 考点

19、：椭圆的定义；椭圆的简单性质。 专题：计算题。 分析：根据|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A, B为左，右焦点，定长 2a=8的椭圆，利用 P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出 |PA|的最大值和最小值. 解答：解：动点P的轨迹是以A, B为左，右焦点，定长 2a=8的椭圆 / 2c=2,. c=1, 2a=8, a=4 TP为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值 |PA| a - c=4 - 1=3, |PA| a+c=4+ 仁5 |PA|的取值范围是：3 |PA| 8 点A到两个定点的距离之和等于定值， 点A的轨迹是椭圆， / a=6,

20、 c=4 2 b =20, 2 2 椭圆的方程是 +-=1 20 3G 故选B. 点评： 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题， 容易忽略掉不合题意的点. 2 2 13.已知P是椭圆 匚+竺二1上的一点，贝U P到一条准线的距离与 P到相应焦点的距离之比为( 916 4 B. 5 C.肩 D孚 4 A. 考点：椭圆的定义。 专题：计算题。 分析：先根据椭圆的方程可知 a和b,进而求得c,则椭圆的离心率可得.最后根据椭圆的第二定义可知P到焦点 的距离与P到一条准线的距离之比为离心率，求得答案. 解答：解：根据椭圆方程可知 a=4, b=3,

21、 c=JWP=.厂 e= 由椭圆的定义可知 P到焦点的距离与 P到一条准线的距离之比为离心率 故P到一条准线的距离与 P到相应焦点的距离之比为 二=I 故选D. 点评： 本题主要考查了椭圆的第二定义的应用考查了考生对椭圆的基础知识的理解和灵活运用属基础题. 14 .平面内有两定点 A B及动点P,设命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以 A B为焦 点的椭圆”，那么（） A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件 考点：椭圆的定义。 专题：阅读型。 分析：当一个动点到两个顶点距离之和等于定

22、值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨 迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB| 是定值. 解答：解：命题甲是：“ |PA|+|PB|是定值”， 命题乙是：“点 P的轨迹是以A. B为焦点的椭圆 当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时， 再加上这个和大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 而点P的轨迹是以A B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值， 甲是乙成立的必要不充分条件 故选B. 点评：本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离 之和. 2 2 15.如果方程 - _ 表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是（ 4 一 m m_ 3 A. 3 m 0, m- 3 0 并且 m- 3 4 -求得 m的范围. 解答： 2 2 解：由题意可得: 方程宀十 二1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 4 _ ro IT- 3 所以4 - n 0, m- 3 0 并且 m- 34 - m, 解得：4 . x轴还是在y轴. 故选D. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在 16