高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收讲义含解析新人教A版选修4_5

1、第三讲柯西不等式与排序不等式考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视， 利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题真题体验1(2017 江苏高考) 已知 a，b，c，d 为实数，且a2 b2 4，c2 d2 16，证明： acbd 8.证明：由柯西不等式可得： ( ac bd) 2 ( a2 b2)( c2d2) 因为 a2b2 4， c2d216，所以 ( ac bd) 2 64，因此 ac bd 8.2(2015 陕西高考) 已知关于 x 的不等式 | x a| b 的解集为 x|2 x

2、4 (1) 求实数 a， b 的值；(2) 求 at 12 bt 的最大值解： (1) 由 | x a| b，得 b a x b a，b a 2，a 3，则解得b a 4，b 1.(2) 3t 12t 34 t t(3) 2 12(4 t ) 2 (t ) 2 24 t t 4，4tt当且仅当3 1 ，即 t 1 时等号成立，故 ( 3t 12t ) max 4.利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为222222 a2b2 ( a1 a2 an )( b1 b2 b n ) ( a1b1nn)2( i ，i R，1， 2， ，) ，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式

3、，a ba bin可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解 例 1已知 a， b 为正实数， ab 1， x1， x2 为正实数1(1) 求2的最小值； a b x1x2(2) 求证： ( ax1 bx2)( ax2 bx1) x1x2.x1x2 解 (1) a，b 为正实数， ab1， x1， x2 为正实数， x1 x 2 33x x 2 332 212a b x1 x2a b x1x2ab32x1223 6，当且仅当x， a b，a babx x22121x1x22即 ab 2，且 x1 x2 1时， a b x1x2有最小值 6.(2) 证明： a，b R ， a b1， x1， x

4、2 为正实数， ( ax1bx2)( ax2 bx1 ) (ax1) 2(bx2) 2(ax2)2 (bx1) 2 (2122 1x2)212()212，a x xb xx x a bx x当且仅当 x1 x2 时取等号 .利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现： 多个变量的排列与其大小顺序有关， 特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷aA bB cC例 2在 ABC中，试证： 3 a b c 2 .证明不妨设 a b c，于是 AB C.由排序不等式，得aA bB cC aA bB cC，aA bB cC bA cB aC，aA bB

5、 cC cA aB bC.以上三式相加，得3( aAbB cC) ( a bc)( A B C) (a b c) aA bB cC得a b c 3 ，又由 0 b ca, 0 ab c, 0a c b，有0 A( b c a) C( a b c) B( a c b) a( B C A) b( A CB) c( A B C) a( 2A) b( 2B) c( 2C) ( ab c) 2( aA bB cC) aA bB cC得a b c 2 . 2由得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这

6、类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 例 3已知 5a23b2 158，求 a2 2ab b2 的最大值 解 5232(5a) 2( 3b) 2535 5a 3 3b 25322235 ( ab) a 2ab b ，当且仅当5a 3b 即 a8， b 8时取等号 a2 2ab b2 8 (5 a2 3b2) 8 15 1.15158 a2 2ab b2 的最大值为1. 例 4已知 a b c 1.(1) 求 S 2a2 3b2c2 的最小值及取得最小值时a，b， c 的值；(2) 若 2a2 3b2 c21，求 c 的取值范围 解 (1)根据柯西不等式，11得 1a b c 2

7、a 3 b1 c23111222111 16 S， 2 32(2 a 3b c ) 2即1163， S 1， S，当且仅当 a6111126b 11， c 11时等号成立，3，2，6时，S6当 .a11b11c1111min(2) 由条件可得a b1 c，22 32 1c2，ab根据柯西不等式，得 (21212(22 (25232a) a)3)(2a) ，b23b6b (1 c252) ，解得1c 1.) (1 c61131 c 的取值范围为11， 1 .( 时间： 90 分钟，总分120 分)一、选择题 ( 本大题共10 小题，每小题5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

8、符合题目要求的)1设 ，11) R且 16，则 的最小值是 (a babab11A. 4B. 811C. 16D. 211a112111解析：选 A( a b)ab b 4， a b 4.ab11当且仅当ab，ba即 ab 8 时取等号2已知 x 3y 5z 6，则 x2 y2 z2 的最小值为 ()66A. 5B. 3536C. 35D 62222222221解析：选C由柯西不等式，得x y z (135 )(x y z) 12 3252 ( x212136yz3y 5z) 35 6 35 35，当且仅当 x3 5时等号成立3已知 a， b， c 为正数且a b c32，则a2 b2b2 c

9、2c2 a2的最小值为()A 4B 42C 6D 62解析：选Ca， b， c 为正数 2a2 b2 1 1a2 b2 a b.同理 2b2 c2 b c， 2 c2 a2 c a，相加得2 (a2 b2 b2 c2c2 a2) 2( bc a) 62，即 a2 b2 b2 c2 c2 a26，当且仅当 ab c 2时取等号4设 a， b， c 均大于 0，a2 b2 c2 3，则 abbc ca 的最大值为 ()4A 0B 13C 3D.33解析：选 C设 a bc 0，由排序不等式得a2 b2c2 ab bc ac，所以 abbcca 3，故选 C.5已知 a， b，c 为正数，则 ( a

10、b c)11a b c 的最小值为 ()A 1B.3C 3D 4解析：选 D( a b c)11a b c221212 ( a b) ( c) a bc a b 1 c 1 2 22 4.a bc当且仅当 a b c 时取等号6已知 ( x 1) 2( y 2) 2 4，则 3x4y 的最大值为 ()A 21B 11C 18D 28解析：选 A 根据柯西不等式得 ( x 1) 2 ( y 2) 23 2 42 3( x 1) 4( y 2) 2 (3 x 4y 11) 2， (3 x 4y 11) 2100.可得 3x 4y 21，当且仅当x 1y 223 4 5时取等号7设 a， b， c

11、为正数， a b 4c 1，则ab 2c 的最大值是 ()A. 5B.3C 23 D.32解析：选 B1a 4c (a) 2(b) 2(2c) 2b1222 (1222 (a) (b) (2 c)11)3 ( a b 2c)21 3， (a b 2c) 2 3，当且仅当a b 4c时等式成立，故ab 2c的最大值为3.58函数 f ( x) 1 cos 2 x cos x，则 f ( x) 的最大值是 ()A.3 B.2C 1D 2解析：选 A因为 f ( x) 1 cos 2 x cosx，所以 f ( x) 2sin 2 x cos x(2 1)(sin2x cos 2x)3 3，当且仅当

12、 cos x 3 时取等号2 2x222)9若 5x 6x 7x 4x 1，则 3x5xx 的最小值是 (12341234782B.15A.7821525C 3D. 3254922222解析：选 B 318 5 163 x1 2x2 5( x3) x4 (5 x1 6x2 7x3 4x4) 1，222215即 3x1 2x2 5x3 x4782.10已知 a， b， c R ，则 a2( a2 bc) b2 ( b2 ac) c2( c2 ab) 的正负情况是 ()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零解析：选 B设 a b c0，所以 a3 b3 c3，根据排序不等式，得 a3 a b3

13、b c3 c a3b b3c c3a.又 ab ac bc， a2 b2 c2，所以3 33222.a b b cc aa bc b cac ab所以 a4b4 c4 a2bcb2ca c2ab，即 a222222( a bc) b (b ac) c( c ab) 0.二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分把正确答案填写在题中横线上)11设a，b，c是正实数，且 222 9，则 的最小值为 _abcabc解 析 ： ( a b c)222(a )2 (b )2a cb22 22 22 2( c) ab c222 2aa bb cc 18，6222 2，当且仅当 a b c

14、3 时等号成立abc222 ab c的最小值为 2.答案： 212已知 A， B， C是三角形三个内角的弧度数，则111A B C的最小值是 _11121119解析： ( ABC) ABC (1 11) 9，而 AB C，故 A BC ，当且仅当 A B C 3 时，等号成立9答案： 13设有两组实数： a1， a2，a3， ， an 与 b1， b2， b3， ， bn，且它们满足： a1 a2 a3 an，b1b2 b3 bn，若 c1，c2，c3， ， cn 是 b1，b2，b3， ， bn 的任意一个排列，则 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2b

15、n 1 anb1，反序和与顺序和相等的条件是 _解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等答案： a1 a2 an 或 b1 b2 bn14设a，c为正数，且 2b3 13，求3 2 c的最大值为 _bacab2212a 32b112解析： ( 2b 3 )( 3) 13c (3aac332b c) 2， ( 3a 2b c)2132 3 . 3 2c133.ab3a 2b3c当且仅当 3 1 1 时取等号3又 a2b 3c13，3 1 a 9， b 2，c 3时，3a2 c有最大值13 3.b3133答案：37三、解答题 ( 本大题共4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证

16、明过程或演算步骤 )15 ( 本小题满分12 分) 已知实数a， b， c， d 满足 a b c d 3， a2 2b2 3c2 6d2 5，求实数 a 的取值范围解：由柯西不等式，得：2221112(2 b 3c 6d) 236 ( b c d) ，2222即 2b 3c 6b ( b c d) .由条件可得5a2(3 a) 2，解得 1 a 2.所以实数 a 的取值范围为 1,216 ( 本小题满分12 分) 求函数y1 sinx 4sin 1的最大值x解：由 1 sinx 0,4sinx 10，1x 1，得 4 sin则 y21 sin x 2sin x1241 (1 4) 1 sin

17、 x sin x 41515 4 ，即 y2 ，117当且仅当 4(1 sin x) sinx 4，即 sinx 20时等号成立，所以函数y 1sin xx15 4sin1的最大值为2 .17 ( 本小题满分 12分 ) 设 a1， a2， ， a 是 1,2 ， ， n 的一个排列，求证：1223 nn 1 a1a2an 1 .naaa23n证明：设b1，2， ， n1 是a1，a2， ，an 1 的一个排列，bb且 b1b2 bn 1； c1， c2， ， cn 1 是 a2， a3， ， an 的一个排列，且c1c2 1 1且 b1 1， b2 2， ， bn 1 n 1， c1 2， c23， ， cn 1 n.c1c2cn 1a1a2an 1b1b2b1 2n 1利用排序不等式，有n 1aa acc c n.2312n 12 3n原不等式成立18 ( 本小题满分 14分 ) 已